Лекция 2 Производная по направлению градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных и задачи оптимизации в экономике Вопросы.

1. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

2. Геометрический смысл дифференциала 1-ого порядка.

3. Уравнение касательной плоскости и нормали.

4. Производная по направлению, определение.

5. Что такое градиент функции в заданной точке?

6. Производные и дифференциалы высших порядков.

7. Необходимое условие локального экстремума.

8. Сформулируйте достаточное условие локального максимума в точке функции.

9. Задачи оптимизации в экономике.

1. Дифференцируемость функции нескольких переменных

При полном приращении функции, в отличие от частных приращений могут изменяться все переменные функции нескольких переменных.

Определение.Полным приращением функциив точке, соответствующим приращениямиаргументов, называется разность

.

Пример.Пусть,,,(см. пример из предыдущего пункта). Найдем полное приращение функции в точке:

Это приращение равно приращению площади прямоугольника со сторонами 3 и 4 при их увеличении на величины, равные 0,1. На рис.4 полное приращение состоит из площадей двух заштрихованных прямоугольников и площади квадрата со стороной 0,1.

Определение.Если полное приращение функциив точкеможно записать в виде:

, гдеи– постоянные, аибесконечно малые при, то выражение

называется полным дифференциалом функции в точке .

Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции.

Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Пусть функцияи ее частные производныеинепрерывны в некоторой окрестности точки. Тогда функциядифференцируема в т.и ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

. (3)

Пример.Найдем полный дифференциал функции.

Найдем вначале частные производные этой функции:

;.

Подставив их в формулу (2), получим:

+.

Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые ии заменить полное приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующую формулу для приближенного нахождения значений функции с помощью полного дифференциала.

++. (4)

Пример.Вычислим приближенно число

Для этого мы вычислим приближенное значение функции в точке, где,,,.

=:

=,,

;.

Подставив эти значения в (4), получим:

.

2. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в её точке (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Определение 2. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Пусть функция имеет в окрестности некоторой точкинепрерывные производные

Теорема.Через любую точку функцииможно провести касательную плоскость к ее поверхности.

А) для функции в явном виде :

Б) для функции в неявном виде =0:

. (2)

Для функции двух переменных перпендикулярен касательной к линии уровня этого поля и уравнение этой касательной по аналогия с (2) можно записать в виде

. (3)

Тогда уравнение нормали будет:

А) для функции в неявном виде:

(4)

Б) для функции в явном виде:

(5)