Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Л-я вышмат1.doc
Скачиваний:
57
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
435.71 Кб
Скачать

Лекция 1

Функции многих переменных.

Предел и непрерывность функции многих переменных.

Дифференцирование функций нескольких переменных.

Дифференцирование неявных функций

Вопросы

1.Определение функции многих переменных и примеры таких функций в экономике.

2. Предел и непрерывность функции многих переменных.

3. Что называется частной производной функции многих переменных и их экономический смысл?

5. Какими правилами и формулами можно воспользоваться для вычисления частных производных?

6. Что называется дифференциалом функции многих переменных?

7. При каком условии значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования.

8. Производные неявных функций, пример неявной функции из экономики.

    1. Основные понятия о функциях нескольких переменных

До сих пор в курсе высшей математики мы рассматривали в основном действительные функции одной действительной переменной вида , т.е. функции, области определения и области значений которых являлись некоторыми подмножествами на числовых осях.

Однако на практике широко используются функции, имеющие более одного аргумента, исследование которых имеет свои особенности.

Например, если иесть долгота и широта точки на поверхности Земли и– высота этой точки над уровнем моря, то поверхность Земли задает функцию двух переменных

,

определенную для всех допустимых значений ,и принимающую действительные значения.

Если – координаты точки находящейся внутри некоторой детали и– температура в этой точке детали, то закон распределения температуры внутри детали задается функцией трех переменных

,

область определения которой, определяется формой этой детали.

Определение. Функцией двух (трех) переменных называется функция, область определения которой есть некоторое подмножество на плоскости (в пространстве), а область значенийпринадлежит действительной оси.

Если принадлежит плоскости, аоси, то такую функцию двух переменных записывают в виде

.

Если а, то эту функцию трех переменных можно записать в виде

.

Введем некоторые определения, относящиеся к областям на плоскости или в пространстве.

Определение. Окрестностью точки на плоскости (илив пространстве) радиусаназывается круг без окружности (или шар без сферы) радиусас центром в точке.

Такую окрестность будем обозначать .

На плоскости определяется неравенством

а в пространстве – .

Определение. Точка называется граничной точкой для множества, если окрестность любого радиусаэтой точки пересекается как с множеством, так и с его дополнением.

Множество всех граничных точек множества называетсяграницей этого множества и обозначается .

Определение. Множество , содержащее всю свою границу, называется замкнутым. Множество, не содержащее ни одной точки своей границы, называется открытым.

Примеры.

1) Окрестность не содержит ни одной точки своей границы – окружности (или сферы), поэтому– открытое множество.

2) Круг на плоскости задаваемый неравенством

содержит свою границу – окружность

поэтому он – замкнутое множество.

3) Четверть плоскости определяется системой неравенств

содержит часть своей границы, расположенной на оси и не содержит часть границы на осиЭто множество не является ни открытым, ни замкнутым.

Пусть – число. Линией уровняфункцииназывается множество всех точекиз области определения, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Таким способом изображаются, например, линии равной высоты на географических картах. Они являются линиями уровня функции определяющей высоту точки местности с координатаминад уровнем моря.

Например. Найдем линии различного уровня функции

.

Такие линии определяются уравнением

.

При , получим;.

Поэтому линия уровня есть окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

При , получим. Линия уровняесть окружность радиусас центром в начале координат. При, уравнениеопределяет точкуначало координат (см. рис.1).

Рис.1.

Определение. Поверхностью уровня функцииназывается множество всех точекиз области определенияфункции, координаты которых удовлетворяют уравнению

Пример. Рассмотрим функцию . При, ее поверхностями уровня являются сферы радиусас центрами в начале координат. При, поверхность уровняесть начало координат. Поверхности уровняу этой функции отсутствуют.

Примеры функций нескольких переменных по экономике.

  1. Предприятие производит n видов продукции, которые реализует по ценам . При объемах реализациивыручка составляет.

  2. Функция полезности - субъективная оценка полезности набора товаров. Она не убывающая функция.

Типичная функция полезности для функции 2 переменных

.

  1. Наиболее известной многомерной функцией, используемой в экономике является произвоственная функция Кобба-Дугласса. Производственная функция представляет собой зависимость объема или стоимости выпускаемой продукции от объема перерабатываемых ресурсов.

Функция Кобба-Дугласса имеет вид: ,

где - объем фондов в стоимостном, либо в натуральном выражении (например, число станков),- объем трудовых ресурсов- число рабочих, число человеко-дней и т.п.,- выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]