Исхакова Kontrolnaya_160
.doc
1. Практическая задача
1.1. Условие и исходные данные
Условие задачи: По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X1), ставки по депозитам (Х2) и размером внутрибанковских расходов (Х3) (табл. 1.1).
Требуется:
1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить:
-
линейный коэффициент множественной корреляции,
-
коэффициент детерминации,
-
средние коэффициенты эластичности,
-
бетта-, дельта - коэффициенты.
Дать их интерпретацию.
4. Осуществить анализ остатков и выполнение основных предпосылок метода наименьших квадратов:
- привести график остатков,
- оценить случайный характер остатков,
- оценить нормальность закона распределения ряда остатков,
- проверить отсутствие автокорреляции остатков с использованием d-критерия Дарбина-Уотсона.
5. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.
6. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
7. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.
8. Отразить результаты расчетов на графике.
Таблица 1.1 – Исходные данные: X1 – среднегодовой ставки по кредитам; Х2 –ставка по депозитам; Х3 – размер внутрибанковских расходов; Y – объема прибыли
Обозначения |
Числовые значения |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Y |
-134,389 |
-126,32 |
-138,127 |
-123,739 |
-64,4162 |
-194,123 |
-207,626 |
-160,053 |
-131,355 |
-201,063 |
X1 |
-2065,41 |
-818,365 |
-2393,73 |
-798,044 |
-858,472 |
-1109,08 |
-505,02 |
-1299,16 |
-2501,06 |
-2757,19 |
X2 |
61,42705 |
26,83555 |
59,63133 |
98,58261 |
127,5742 |
27,96419 |
96,01261 |
24,20844 |
176,4773 |
359,3147 |
X3 |
2,094663 |
-10,116 |
-5,59951 |
-9,22056 |
-16,4177 |
-13,2244 |
-14,3741 |
-9,83166 |
-15,5738 |
1,946606 |
1.2. Решение задачи
Осуществим выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели:
Проведем корреляционный анализ, используя инструмент Корреляция (Анализ данных в Excel) (табл. 1.2).
Таблица 1.2 – Результат корреляционного анализа
|
Объем прибыли, Y |
Среднегодовая ставка по кредитам, Х1 |
Ставка по депозитам, Х2 |
Среднегодовая ставка по кредитам, Х3 |
Объем прибыли, Y |
1 |
|
|
|
Среднегодовая ставка по кредитам, Х1 |
0,119272 |
1 |
|
|
Ставка по депозитам, Х2 |
-0,20595 |
-0,55701 |
1 |
|
Размер внутрибанковских расходов, Х3 |
-0,23942 |
-0,58559 |
0,333772 |
1 |
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем прибыли имеет весьма тесную связь с тремя факторами: со среднегодовой ставкой по кредитам (), со ставкой по депозитам (), размер внутрибанковских расходов ().
Для построения двухфакторной регрессионной модели из трех переменных оставим в модели Х1 и Х2. Эти факторы наиболее тесно связаны с фактором У.
В итоге получаем двухфакторную модель с факторами Х1 (среднегодовая ставка по кредитам) и Х2 (ставка по депозитам).
Рассчитаем параметры модели:
Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов по формуле: .
Таблица 1.3 – Исходные данные двухфакторной модели
|
Y |
Х0 |
Х1 |
X2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Кредитные учреждения |
Объем прибыли |
|
Среднегодовая ставка по кредитам |
Ставка по депозитам |
1 |
-134,389 |
1 |
-2065,41 |
61,42705 |
2 |
-126,32 |
1 |
-818,365 |
26,83555 |
3 |
-138,127 |
1 |
-2393,73 |
59,63133 |
4 |
-123,739 |
1 |
-798,044 |
98,58261 |
5 |
-64,4162 |
1 |
-858,472 |
127,5742 |
6 |
-194,123 |
1 |
-1109,08 |
27,96419 |
7 |
-207,626 |
1 |
-505,02 |
96,01261 |
8 |
-160,053 |
1 |
-1299,16 |
24,20844 |
9 |
-131,355 |
1 |
-2501,06 |
176,4773 |
10 |
-201,063 |
1 |
-2757,19 |
359,3147 |
Используя данные, приведенные в таблице 1.3, и применив инструмент Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 1.4), получим следующие коэффициенты:
Таблица 1.4 – Параметры модели
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t - статистика |
1 |
2 |
3 |
4 |
Y-пересечение |
-138,3777 |
33,1275 |
-4,1771 |
Переменная X 1 |
0,0003 |
0,0233 |
0,0148 |
Переменная X 2 |
-0,0871 |
0,1918 |
-0,4541 |
Уравнение регрессии зависимости объема прибыли от среднегодовой ставки по кредитам и ставки по депозитам можно записать в следующем виде:
.
а1= -138,3777; а2= 0,0003; а3= -0,0871
Расчетные значения Y определяются путем подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения.
Для характеристики модели определим следующие показатели и дадим их интерпретацию:
линейный коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле:
,
но мы воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 1.5).Значение ; что говорит о том, что связь между факторами слабая.
Коэффициент детерминации равен (табл. 1.5). Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 20% изменений в объеме прибыли учтено в модели и обусловлено влиянием среднегодовая ставка по кредитам и ставка по депозитам.
Таблица 1.5 – Регрессионная статистика
Наименования |
Числовые значения |
1 |
2 |
Множественный R |
0,20602 |
R-квадрат |
0,04244 |
Нормированный R-квадрат |
-0,23114 |
Стандартная ошибка |
48,57391 |
Наблюдения |
10 |
Таблица 1.6- Вывод остатка
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.7- Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности: .
Для расчета коэффициентов используем данные из таблиц 2.6 и 2.7 соответственно.
;.
Следовательно, наименьшее влияние на объем прибыли оказывают внутрибан-ковские расходы, т.к. при неизменном размере среднегодовой ставки по кредитам объ-ем прибыли с ростом внутрибанковских расходов на 1% возрастет в среднем на 0,062%:, тогда как с повышением среднегодовой ставки по кредитам на 1% объем при-были в среднем по совокупности кредитных учреждений возрастет на 0,004% при неизменной ставке по депозитам.
Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значений остальных независимых переменных:
,где
;.
Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта - коэффициентов:
.
; .
Это означает, что размер внутрибанковских расходов в суммарном влиянии всех факторов имеет меньшее влияние на объем прибыли, чем среднегодовая ставка по кредитам.
График остатков приведен на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – График остатков
Проверку независимости проведем с помощью d-критерия Дарвина-Уотсона.
Воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 1.8):
Т.к. d > 2, то используем d = 6 – d = 6 – 2.554 = 3,446
В качестве критических табличных уровней при N=10, двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% возьмем величины d1=0,70 и d2=1,64.
Воспользуемся другими критериями.
Оценим независимости уровней ряда по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого
Первый коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
.
Следовательно, . Это означает, что с ошибкой 1% ряд остатков можно считать некоррелированным, т.е. свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.
Нулевое значение средней величины остатков проверяем с использованием данных табл. 1.6. Условие выполняется.
Случайный характер остатков ei проводится с помощью критерия пиков (поворотных точек), число которых равно 6. Т.к. 6 > [2(n-2)/3-2√(16n-29)/90], то гипотеза о случайном характере остатков принимается.
Предпосылку того, что остатки подчинены нормальному закону распределения, проверяем при помощи RS-критерия:
RS = (emax – emin) / S = 3,41
Табулированные нижняя и верхняя границы для RS-критерия с уровнем вероятности ошибки 0,05 равны соответственно 2,67 и 3,69.
Осуществим оценку надежности уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:
.
Значение F-критерия Фишера можно найти с помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel): (табл. 1.7).
Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР: при доверительной вероятности 0,95 при и составляет 4,737.
Поскольку , уравнение регрессии следует признать адекватным.
Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии:
где – коэффициенты в матрице .
Воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel (табл. 1.4):
; ; .
Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР; при уровне значимости 5% и степенях свободы составляет 2,365.
Т.к. для коэффициента a2, то коэффициент a2 несущественен (незначим).
-
t х2 = 0,0148 < tтаб=2,364624, следовательно, фактор Х1 статистически значим и информативен.
-
t х3 = -0,4541> tтаб=2,364624, следовательно, фактор Х2 статистически не значим;
По данным задачи можно построить искомую двухфакторную модель, (по условию задачи требуется построение двухфакторной регрессионной модели), поэтому оставим найденную модель без изменения. Эта модель будет надежна для прогнозных вычислений.
Построим точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.
Прогнозные значения Х1,11, Х2,11 можно определить с помощью методов экспертных оценок, с помощью средних абсолютных приростов или вычислить на основе экстраполяционных методов.
В качестве аппроксимирующей функции выберем полином второй степени (парабола), по которой построим прогноз на один шаг вперед.
В качестве аппроксимирующей функции выберем полином второй степени (парабола), по которой построим прогноз на один шаг вперед.
Уравнение для среднегодовой ставки по кредитам выглядит так:
Х1 = -76,145 x2 + 765,45х-2788,9.
Подставляя в него вместо , получим прогнозное значение среднегодовой ставки по кредитам .
Уравнение фактора – размер ставки по депозитам:
Х2 = -6,217x2 - 47514x + 127,78 и прогнозное значение .
Отобразим результаты расчетов на графике
Рисунок 1.2 – Прогноз показателя Среднегодовая ставка по кредитам: х - кре-дитные учреждения; y – среднегодовая ставка по кредитам
Рисунок 1.3– Прогноз показателя ставка по депозитам: х - кредитные учреждения; y –ставка по депозитам
Для получения прогнозных оценок зависимостей переменной по модели
подставим в нее найденные прогнозные значения факторов Х1 и Х2.
.
Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:
Верхняя граница прогноза: .
Нижняя граница прогноза: .
.
– стандартная ошибка, найдена с помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 1.5).
tкр = 2,365 (найдено выше с помощью функции СТЬЮРАСПРОБР).
Используя функции для умножения матриц МУМНОЖ и поиска обратной матрицы МОБР найдем матрицу .
Тогда получаем .
Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в таблице 1.8.
Таблица 1.8 – Таблица прогнозов (р=95%)
Упреждение |
Прогноз |
Нижняя граница |
Верхняя граница |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
-106,175 |
-216,712 |
-60,0437 |