Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Определителииматрицы..doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
311.81 Кб
Скачать

12

Определители. Определители второго порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными.

a11 x1 + a12 x2 = b1 , │∙ a22

-

a21 x1 + a22 x2 = b2. │∙ a12

______________________

(a11 a22 – a12 a21) x = b1 a22 – a12 b2 , a11 a22 – a12 a21 ≠ 0.

Рассмотрим четыре числа, расположенных в виде квадратной таблицы.

а11 а12

а21 а22

Определителем второго порядка, соответствующим данной таблице, называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

а11, а22- главная диагональ, а12, а21- побочная диагональ.

Решение системы имеет вид:

Определитель ∆ называется определителем системы.

Если ∆ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если ∆ = 0, то система либо не имеет решений вообще, либо имеет их бесконечное множество.

Определители третьего порядка.

Рассмотрим девять чисел, расположенных в виде квадратной таблицы. Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

=

a11,a22,a33- главная диагональ,a13,a22,a31– побочная диагональ.

Свойства определителей.

  1. При замене строк столбцами величина определителя не изменится.

  1. При перестановке двух строк (столбцов) определитель лишь меняет знак.

= -.

  1. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

.

  1. Рассмотрим некоторый элемент определителя. Вычеркнем строку и столбец, на которых стоит данный элемент. Оставшийся определитель второго порядка называется минором,соответствующим данному элементу.

Алгебраическим дополнениемэлемента определителя называется соответствующий ему минор, взятый со знаком(+), если сумма номеров строки и столбца четная, и со знаком(-), если эта сумма нечетная.

Аij = (-1)i + j Mij

Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна определителю.

a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = ∆,

a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 = ∆.

.

  1. Сумма произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

a11A12 + a21 A22 + a31A32 =.

(разложение определителя с двумя одинаковыми столбцами по элементам второго столбца).

  1. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя умножить на одно и то же число, то величина определителя умножится на это число.

k

(справедливо для любой строки или столбца определителя).

  1. (справедливо для любого ряда).

Следствие.Определитель не меняет своего значения, если ко всем элементам какого-нибудь ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любой общий множитель.