Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Комплексныечисла

.doc
Скачиваний:
34
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
72.19 Кб
Скачать

3

Комплексные числа.

В курсе математического анализа обычно употребляются только действительные числа и действительные функции с действительными аргументами. Однако, некоторые операции (например, извлечение корня четной степени из отрицательного числа, решение квадратного уравнения) не могут быть выполнены в области действительных чисел и приводят к комплексным числам.

Рассмотрим основные положения алгебры комплексных чисел.

  1. Число вида z = x + i y, где i2 = -1, называется комплексным числом, x – действительная часть, y – мнимая часть. Их обозначают так x = Re z, y = Im z. Если x = 0, то число z = 0 + iy называют чисто мнимым. Если y = 0, то получается действительное число z = x + 0y.

  2. z = xi y – сопряженное комплексное число.

  3. Модулем комплексного числа называется действительное число

  4. Два комплексных числа считаются равными z1 = z2, если x1 = x2, y1 = y2.

  5. z = x + i y = 0 только, если x = 0, y = 0.

Известно, что действительные числа изображаются точками числовой оси. Комплексное число z = z + i y изображается точкой (х, у) комплексной плоскости.

y

А z = x + i y

ρ

y

φ

O x x

Геометрическим образом комплексного числа является также вектор ОА.

Если ввести полярные координаты, то x = ρ cos φ, y = ρ sin φ и z = ρ(cos φ + i sin φ). Здесь

Над комплексными числами вводятся действия сложения, вычитания, умножения и деления.

  1. Сложение (вычитание):

z1 ± z2 = (x1 + i y1) ± (x2 + i y2) = x1 ± x2 + i (y1 ± y2).

  1. Умножение (осуществляется по обычным правилам алгебры).

(x1 + i y1) (x2 + i y2) = x1x2 – y1y2 + i (x1y2 + y1x2), i2 = -1, i3 = i i2 =− i, i4 = i2 i2 = 1. Рассмотрим произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме.

Распространяя это правило на любое число сомножителей и, считая их равными, получим формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень (формулу Муавра).

  1. Деление. Частным двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число

 z = z1/z2, удовлетворяющее условию z z2 = z1.

B тригонометрической форме

Для проверки следует умножить делитель на частное.

Извлечение корня из комплексного числа.

Рассмотрим

Корнем n – ой степени из комплексного числа ρ(cosφ + i sinφ) называется комплексное число r (cos ψ + i sin ψ), удовлетворяющее равенству

rn (cos ψ + i sin ψ)n = ρ(cosφ + i sinφ).

По формуле Муавра

rn (cos nψ + i sin nψ)n = ρ(cosφ + i sinφ).

Отсюда

Давая k значения 0, 1, 2, …, n-1, получим n корней.

П р и м е р 1. Решить уравнение z3 +27 i = 0. Изобразить корни на комплексной плоскости.

y

z1

z2 z0 x

Формулы Эйлера.

Рассмотрим функцию w = ex + i y - показательная функция комплексного аргумента.

.

Пусть x = 0. Тогда

П р и м е р 2. Представить комплексное число z = 1 – i в тригонометрической и показательной форме.

φ x

z = 1 – i

φ = − π/4.