Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дифференциальноеисчисление.doc
Скачиваний:
33
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
439.81 Кб
Скачать

19

Дифференциальное исчисление.

Понятие производной связано с понятиями скорости различных процессов.

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x). ∆x– приращение аргумента, ∆у – приращение функции.

-

(справа и слева)

- производная функции f(x).

Обозначение производной:

Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Дифференцирование – это нахождение производной.

Замечание: для существования производной необходимо, чтобы ,т.е. функция должна бытьнепрерывной.

Задача о касательной.

Определение касательная есть предельное положение секущей, проведенной через две точки кривой при неограниченном сближении этих точек. М1→ М0, М0М1→ М0Т.

T

М1 М1 .

М1

Гладкая кривая Негладкая кривая.

(в каждой точке можно провести одну касательную)

Выясним геометрический смысл производной функцииy=f(x) в точке х = х0.

Пусть М1 → М0, М0М1→М0Т, tgα→tgφ,

Производная равна угловому коэффициенту касательной.

Основные правила дифференцирования.

  1. Производная постоянной равна нулю. (с)′ = 0.

  2. Производная суммы равна сумме производных (u + v)′ = u′ + v′.

  3. Производная произведения (uv)′ = uv + uv′. Следствия.

1.Постоянный множитель можно вынести за знак производной (сu)′ = cu′.

2. (uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′.

  1. Производная частного

  2. Производная степенной функции (xn)′ =nxn-1

П р и м е р ы. 1. y=x3,y′ = 3x2.

2.

3. y = 1/x , y′ =

4. x′ = 1.

  1. Производная сложной функции. y = f(u), u =φ(x), y– сложная функция х.y = f(φ(x)).Примеры.

П р и м е р ы.

  1. y = 1/3x+2, y′ = -1∙(3x + 2)-2∙3.

Важные частные случаи (нужно помнить).

Производные тригонометрических функций.

1. y = sin x,

(sin x)′ = cos x

  1. Аналогично (cos x)′ = -sin x.

Производные логарифмических функций.

Производные неявных функций.

Определение: у есть неявная функция х, если уравнение, связывающее х и у, не решено относительно у.

F(x,y) = 0. (*)

П р и м е р .

  1. x2 + y2 = 1,

  2. sin(x + y) + xy = 0

Правило. Чтобы найти производную у′ от функции, заданной неявно, нужно почленно продифференцировать уравнение (*) по х, учитывая, что у есть функция от х. Полученное уравнение решить относительно у′.

  1. 2х + 2у∙у′ = 0, y′ = -x/y .

  2. cos(x + y) ∙(1 + y′) +y +xy′ = 0,

Производная показательной функции.

y=ax,lny=x∙lna,1/yy′ =lna,y′ =ax∙lna (ax)′ = axlna (ex)′ = exlna

Производная степенной функции

Логарифмическое дифференцирование.

y= (u(x))v(x)П р и м е р .y = (x2 + 1)cos x, lny = cosx ln(x2 + 1),

1/y y′ = −sin x∙ ln(x2 + 1) + cos x∙ .

Производные обратных тригонометрических функций.

Производные высшего порядка.

y =f(x), y′ = f′(x), y′′ = f′′(x), y′′′ = f′′′(x), ….

2-я производная – это производная от первой производной и т.д.

Другие обозначения:

П р и м е р ы.

  1. y = x4, y′ = 4x3, y′′ =12x2, y′′′ =24x, y1V =24, yV = 0.

  2. y = ekx, y′ =kekx, y′′ =k2ekx, y′′′ = k3ekx, …. y(n) = knekx.

Параметрическое задание функций.

x = φ(t), Совместно эти уравнения определяют функцию или кривую, заданную

y=ψ(t) параметрически.y

Пр и м е р.

  1. Окружность.x = a φ(t), x

y = a ψ(t). tt x

Точка М обегает окружность, если tпроходит интервал длиной 2π.

  1. Эллипс. x=a φ(t), Если исключитьt, то получится каноническое уравнение

y = b ψ(t). эллипса. .

  1. Циклоида. x = a(t – sin t), y = a(1 – cos t). 0

πa а x

Производные функций, заданных параметрически.

x=φ(t),φ(t) и ψ(t) – непрерывны, следовательно, ∆xи ∆y→ 0 при ∆t→ 0,

y= ψ(t)t- промежуточная переменная.

yx = yttx , yt = ψ′(t), 1 = φ′(t)∙tx, tx= 1/φ′(t).

П р и м е р .