Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Понятие числовой последовательности - копия

.doc
Скачиваний:
27
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
125.44 Кб
Скачать

Понятие числовой последовательности.

Пусть каждому натуральному числу n соответствует число an, тогда говорят, что задана функция an=f(n), которая называется числовой последовательностью. Обозначается an,n=1,2,… или {an}.

Числа a1,a2,… называются членами последовательности или ее элементами, an– общим членом последовательности, n – номером члена an.

По определению любая последовательность содержит бесконечное множество элементов.

Примеры числовых последовательностей.

Арифметическая прогрессия – числовая прогрессия вида:

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага или разности прогрессии):.

Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами:

Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

Геометрическая прогрессия - последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где , :

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

Если b1 > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью, а при q < 0 — знакопеременной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству: то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

Если , то при , и

при .

Предел последовательности.

Последовательность называется возрастающей, если каждый её член больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый её член меньше предыдущего.

Последовательность xn называется ограниченной, если существуют такие числа m и M, такие, что для любого натурального n выполняется условие .

Может случится, что все члены последовательности {an} при неограниченном росте числа n будут приближаться к некоторому числу m.

Число a называют пределом последовательности Xn если для всякого Ε>0 найдется (зависящее от Ε) число n0=no(Ε) такое, что для выполняется неравенство для всех (натуральных) n>n­0.

В этом случае пишут или

Сходимость последовательностей.

О последовательности, имеющей пределом конечное число говорят, что она сходится к a:

.

Если у последовательности нет конечного предела (исчислимого), она будет называться расходящейся.

Геометрический смысл.

Если , то в произвольную Ε окрестность точки a попадут все члены данной последовательности, за исключением последнего числа. Геометрически ограниченность последовательности означает, что все ее значения лежат на некотором отрезке.

Теорема 1) О единственности предела:

Если последовательность сходится, то есть имеет предел, то этот предел единственный.

Теорема 2)

Если последовательность an сходится к a: , то любая её подпоследовательность имеет тот же предел.

Теорема 3) Необходимое условие существование предела.

Если последовательность сходится, то есть имеет предел, то она ограничена.

Доказательство: подберем такое n>N, чтобы выполнялось:

Теорема 4) Достаточное условие существования предела.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. .

Теорема 5)

Пусть и пусть выполняется условие xn≤yn при любых n, тогда a < b.

Теорема о трех последовательностях.

Если и для последовательностей xn, yn, zn выполняется условие xn≤yn≤zn, тогда для следует .

Свойства пределов.

Если {xn} и {yn} имеют пределы, то:

Предел отношения многочленов (дробей).

Пусть xn и yn многочлены от n степени k и m соответственно, то есть:

xn =Pk(n)=a0nk+a1nk-1+…+ak, yn =Qm(n)=b0nm+b1nm-1+…+bm

Предел отношения многочленов равен пределу отношения их старших членов:

Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при высших степенях.

Если степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен нулю.

Если степень числителя больше степени знаменателя, предел стремится к бесконечности.