Понятие функции - копия

Понятие функции.

Функция – понятие, отражающее связь между элементами множеств. Функция – это «закон», по которому каждому элементу одного множества (Область определения, аргумент) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (Область значение, значение).

Графики элементарных функций

• Пропорциональные y = k*x. График – прямая линия, проходящая через начало координат

• Линейные A x + B y = C. График – прямая линия.

• Обратно пропорциональные . График – гипербола.

• Квадратичные y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a ≠ 0. График - квадратная парабола. Вершина –

• Степенные y = axⁿ

• Показательные y = a^x

• Логарифмические y = log_a x

• Тригонометрические

• 1. y = sin x. График – синусоида.

2. y = cos x. График – косинусоида.

3. y = tg x; y = ctg x

• Обратные тригонометрические (аркфункции)

y = Arcsin x, y = Arccos x

y = arcsin x, y = arccos x

y = Arctan x, y = Arccot x

y = arctan x, y = arccot x

Монотонная функция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция Тогда

функция f называется возрастающей на M, если

.

функция f называется строго возрастающей на M, если

.

функция f называется убывающей на M, если

.

функция f называется строго убывающей на M, если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).

Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат). Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).

Взаимно-однозначное отображение – отображение, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отношение, которое обладает тем же свойством.

Обратная функция – функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

f(g(y)) = y для всех

g(f(x)) = x для всех

Сложная функция – Функция, имеющая в качестве аргумента результат другой функции, «функция от функции».

Предел функции – величина, к которой стремится функция при стремлении её аргумента к заданной точке. Определение Коши:

Число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к х₀ если для любого положительного  найдется такое положительное , что для всех х принадлежащих интервалу |х-х₀|<, будет выполнено условие |f(х)-А| < :

Геометрический смысл предела функции: , если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки хо, что для всех х¹х₀ из этой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.

Методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа: по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Подобные неопределенности можно вычислить с помощью правила Лопиталя, либо с помощью разложение Тейлора.

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: или

Односторонний предел

Предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Бывает левосторонним и правосторонним.

Число называется правосторонним пределом [левосторонним пределом] функции в точке a, если для всякого положительного числа  отыщется отвечающее ему положительное число  такое, что для всех точек x из интервала [] справедливо неравенство .

Непрерывность функции на отрезке и в точке.

Функция f(x) непрерывна в точке если предел в точке x₀ равен значению функции в этой точке, . Функция непрерывная в каждой точке промежутка (a,b) называется непрерывной на промежутке.

Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Функция непрерывная на отрезке [a,b] достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Непрерывность сложной функции.

Если функция f непрерывна в точке a и функция g непрерывна в точке f(a), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке a. Непрерывная функция от непрерывной функции

есть функция непрерывная.

Доказательство: По условию теоремы, f непрерывна в a, поэтому .

Далее, по условию, g непрерывна в f(a), поэтому . Полученное равенство и означает, что сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке a. ■

Классификация точек разрыва функции.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

1.Функция f(x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

2.Функция f(x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

бесконечно большая функция – это функция, предел которой в данной точке равен бесконечности определенного знака.

Теоремы о бесконечно малых.

1. Для того чтобы необходимо и достаточно бесконечно малая.

2. Результат произведения бесконечно малой на бесконечно малую есть бесконечно малая.

3. Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Понятие эквивалентных бесконечно малых.

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().

Использование бесконечно малых при нахождении пределов.

При замене бесконечно малой функции эквивалентной эй функцией предел отношения не изменится. Таблица эквивалентных бесконечно малых: