Производная курсовая
.docВариант 1
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а
также график производной по графику
построенной функции); б)
.
3. Найти стороны
и
прямоугольника, вписанного в окружность
единичного
радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу
Тейлора
го
порядка, вычислить приближенно значение
функции
в
окрестности точки
и доказать, что при этом погрешность
допускает
нижеследующую оценку:
.
6. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке
.?
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. Известно, что
для всех
.
Существуют ли еще какие-нибудь функции,
совпадающие со своими производными
всюду?
Вариант 2
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а также график производной по графику
построенной функции); б)
.
3. На дуге
полуокружности
найти точку, ближайшую к точке
.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу
Тейлора
го
порядка, вычислить приближенно значение
функции
в
окрестности точки
и доказать, что при этом погрешность
допускает
нижеследующую оценку:
6. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
,
.
7. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. В формуле Лагранжа
определить значение
для функции
на отрезке
.
Вариант 3
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а
также график производной по графику
построенной функции); б)
.
3. Найти радиус
основания
и образующую
прямого кругового конуса,
вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов
наибольшую полную поверхность.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу
Тейлора
го
порядка, вычислить приближенно значение
функции
в
окрестности точки
и доказать, что при этом погрешность
допускает
нижеследующую оценку:
.
6. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. Применима ли
теорема Роля к функции
на отрезке
?
Вариант 4
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а также график производной по графику
построенной функции); б)
.
3. Найти радиус
основания
и образующую
прямого кругового конуса,
вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов
наибольший объем.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу
Тейлора
го
порядка, вычислить приближенно значение
функции
в
окрестности точки
и доказать, что при этом погрешность
допускает
нижеследующую оценку:
.
6. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
,
.
7. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. Написать формулу
Лагранжа для функции
и найти
на
.
Вариант 5
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а
также график производной по графику
построенной
функции);
б)
.
3. На прямой
,
найти такую точку
,
чтобы сумма квадратов
расстояний от
неё до двух прямых:
,
и
,
была
наименьшей.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу
Тейлора
го
порядка, вычислить приближенно значение
функции
в
окрестности точки
и доказать, что при этом погрешность
допускает
нижеследующую оценку:
.
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
,
.
7. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. Написать формулу
Коши для функций
и
,
и найти
.
Вариант 6
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а также график производной по графику
построенной функции); б)
.
3. Найти стороны
и
прямоугольника, вписанного в окружность
единичного
радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наименьший периметр.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу
Тейлора
го
порядка, вычислить приближенно значение
функции
в
окрестности точки
и доказать, что при этом погрешность
допускает
нижеследующую оценку:
.
6. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная
параллельна
хорде, соединяющей точки
и
.
Вариант 7
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а также график производной по графику
построенной функции);
б)
.
3. Найти сторону
основания
и боковое ребро
правильной треугольной
призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких
призм наибольший объем.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу
Тейлора
го
порядка, вычислить приближенно значение
функции
в
окрестности точки
и доказать, что при этом погрешность
допускает
нижеследующую оценку:
.
6. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
,
.
7. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. Написать формулу
Лагранжа для функции
и найти
на
.
Вариант 8
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а
также график производной по графику
построенной функции);
б)
.
3. На дуге
полуокружности
найти точку
,
ближайшую к прямой
.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора вычислить приближенно заданную величину, с
точностью до
:
6. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
,
.
7. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. Применима ли
теорема Роля к функции
на отрезке
?
Вариант 9
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а также график производной по графику
построенной функции);
б)
.
3. Найти сторону
основания
и боковое ребро
правильной шестиугольной
пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех
таких пирамид наибольшую боковую поверхность.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора вычислить приближенно заданную величину, с
точностью до
:
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. Написать формулу
Лагранжа для функции
и найти
на
.
Вариант 10
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
2. Построить графики функций:
а)
(а также график производной по графику
построенной функции); б)
.
3. Найти сторону
основания
и боковое ребро
правильной шестиугольной
пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех
таких пирамид наибольший объем.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора вычислить приближенно заданную величину, с
точностью до
:
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
,
.
7. Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
в точке
.
8. Вычислить
производную 2-го порядка от неявной
функции:
.
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел
с помощью формулы Тейлора:
.
11. Написать формулу
Коши для функций
и
,
и найти
на
.
Вариант 11
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а)
;
б)
.
2. Построить графики функций:
а)
(а также график производной по графику
построенной функции);
б)
.
3. На прямой
,
найти такую точку
,
чтобы сумма квадратов
расстояний от
неё до двух точек
и
была наименьшей.
4. Вычислить
функции
,
используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора вычислить приближенно заданную величину, с