Билеты по матану
.docxВопросы по курсу математического анализа
БИН 1205 – 1211
-
Теория пределов и непрерывность функции (вопросы коллоквиума).
-
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
-
Интегральное исчисление функции одной переменной.
II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
-
Определение производной. Ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к кривой y = f(x).
-
Снять между существованием производной и непрерывностью функции в точке. Производная сумму, произведения, частного.
-
Производная сложной функции.
-
Определение обратной функции. Производная обратной функции.
-
Гиперболические функции и их свойства.
-
Производные функции sin x, cos x, tg x, ctg x, ax, logax, xa, arcsin x, arctg x, arcos(x) arcctg(x), sh x, ch x, th x, cth x (вывод формул).
-
Дифференцирование неявных функций.
-
Логарифмическое дифференцирование.
-
Дифференциал. Геометрический смысл dy.
-
Параметрическое задание функции. Инвариантность формы дифференциала.
-
Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрически заданных функций.
-
Производные и дифференциалы высших порядков и их свойства. Формулы Лейбница для производной произведения.
-
Теоремы Ферма, Ролля, Лангранжа, Коши.
-
Раскрытие неопределенности. Теоремы Лопиталя (случай неопределенности и ).
-
Раскрытие неопределенностей типа 00, , , , .
-
Формула Тейлора для функции с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лангранжа.
-
Условие разложимости функции по формелу Тейлора. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена функции sin(x), cos(x), ex, ln(x + 1), (1+x)a.
-
Достаточное условие монотонного возрастания (убывания) функции на интервале.
-
Максимальное и минимальное значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции, на отрезке.
-
Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума (сформулированные а) с помощью первой производной, б) с помощью второй производной.
-
Выпуклость, вогнутость кривой на интервале. Достаточные условия. Точки перегиба.
-
Существование и нахождение асимптот у графика функции.
-
Общий план исследования функции и построения ее графика.
III.Интегральное исчисление функции одной переменной
-
Определение первообразной. Определение неопределенного интеграла.
-
Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
-
Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
-
Интегрирование выражений, содержащих в знаменателе квадратный трехчлен.
-
Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
-
Определение многочлена. Разложение многочлена на множители.
-
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби (формулировка правили и его применение).
-
Интегрирование тригонометрических функций.
-
Интегрирование иррациональных функций. Тригонометрические подстановки.
-
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический смысл.
-
Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
-
Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу.
-
Формула Ньютона-Лейбница.
-
Вычисление определенного интеграла подстановкой. Интегрирование по частям.
-
Вычисление площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора.
-
Вычисление объема тела по площади поперечных сечений. Объем тела вращения (относительно оси OX и OY).
-
Длина дуги плоской и кривой в декартовой и полярной системах координат.
-
Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Теорема о сходимости. Сходимость интеграла
-
Несобственный интеграл от разрывной функции. Теоремы о сходимости. Сходимость интеграла вида