Тервер 00
.docxМОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ
И ИНФОРМАТИКИ
Контрольная работа
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
(специальные главы)
ОСНОВЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОв
Выполнил: Решенина И. И.
Факультет ЗФ, группа БРС1251
Москва
2014 г.
Вариант 00
Задание 1.
Задан случайный процесс: Х(t) = u (t3 + 5). Найти математическое ожидание ковариационную функцию и дисперсию случайных процессов: ,
где u - случайная величина с известной плотностью распределения:
k=3, m=5
Р е ш е н и е:
Найдем параметр а из условия: .
Потребуем, что бы это условие выполнялось для заданной функции:
Тогда плотность распределения будет иметь вид:
-
По определению математического ожидания случайной величины найдём:
Используя свойство дифференцирования и интегрирования случайных процессов получим, что:
-
По определению дисперсии имеем: где:
Тогда дисперсия равна:
-
Найдём ковариацию случайного процесса.
Предварительно найдём:
Тогда:
Используя свойство дифференцирования и интегрирования случайных процессов получим, что: - равна второй смешанной производной.
Задание 2.
На вход сглаживающего фильтра (см. рис.) подаётся "белый" шум, имеющий спектральную плотность S0= 100(мкв)2/Гц. Для данной схемы R = 103кОм, L = m*10-3Гн, где m = 3. Найти:
-
комплексную передаточную функцию K(jω) фильтра;
-
спектральную плотность S(ω) на выходе фильтра;
-
ковариационную функцию K(τ) на выходе фильтра;
-
дисперсию D сигнала на выходе фильтра.
При вычислениях воспользоваться формулой:
Р е ш е н и е:
Дифференциальное уравнение, описывающее связь между входным и выходным напряжением LR - цепочки, имеет вид: – апериодическое звено.
Апериодические звенья относятся по классификации к позиционным звеньям. Апериодическое звено - это звено, которое описывается следующим дифференциальным уравнением (учитывается демпфирование): .
-
Преобразуем уравнение к стандартному виду: где: T1 = 3*10-9,
k = 1– статистический коэффициент усиления безынерционного звена.
Решение данного Д.У. , если у(0) = 0 и t = 0, то
-
Используя преобразования Лапласа получим:
Передаточная функция апериодического звена:
Передаточной функцией звена называется комплексный коэффициент, связывающий изображение входного и выходного сигнала при нулевых начальных условиях.
Передаточной функцией звена называется отношение Лапласа выходной к входной величин, т.е. при нулевых начальных условиях.
а преобразования входного сигнала 1(t) имеет вид: . Подставляя вместо S =jω, получим комплексную передаточную функцию: .
-
Следовательно, преобразование Лапласа переходной функции имеет вид: . Разложив на элементарные дроби правую часть последнего выражения получим: и, переходя к оригиналу, окончательно получим: Переходная функция: . Продифференцировав это уравнение, получим импульсно-переходную функцию: . Подставляя коэффициенты своего уравнения получим импульсно-переходную функцию: .
-
Спектральной плотностью SX(ω) стационарного случайного процесса X(t) называется предел отношения дисперсии, приходящейся на интервал частот ∆ω к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю .
Спектральная плотность SX(ω) для заданной ковариационной функции равна: . . Так как
SХ(0) = 100(мкв)2/Гц. = 100*10-12 (в)2/Гц
.
Задание 3.
На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением: подаётся стационарный случайный процесс x(t) с ковариационной функцией .
Если m + k = m*k = 0, то считать m = 7, k = 3.
Получаем: . Найти дисперсию случайного процесса на выходе из системы в установившемся режиме.
Р е ш е н и е:
Вычисляя преобразование Лапласа от обеих частей при начальных условиях, получим формулу для передаточной функции линейной системы:
Подставляя вместо λ =jω, найдём амплитудночастотную характеристику системы:
Спектральная плотность SX(ω) для заданной ковариационной функции равна:
.
Найдём спектральную плотность с.п. на выходе системы:
Дисперсия случайной величины y(t) находим по формуле:
, где несобственный интеграл:
Рассмотрим неопределенный интеграл:
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
Получаем систему:
Решим эту систему методом Крамера:
Далее находим коэффициенты:
Получаем интеграл:
Далее возвращаемся к определённому интегралу:
Окончательно получаем: .
Задание 4.
Цепь Маркова с тремя состояниями S1, S2, S3 характеризуется однородной стохастической матрицей:
(m =2)
где: Р11 = Р22 = Р33 = m/(m+2) = 0,5; P13 = P21 = 2/(m + 2) = 0,5; P31 =P32 =1/(m + 2) = 0,25.
Требуется:
-
Изобразить граф состояний системы;
-
найти вероятность Pj(3) состояния системы на третьем шаге, если в начальный момент времени система находилась в состоянии S1.
Р е ш е н и е:
Имеем матрицу:
-
Изобразить граф состояний системы;
-
найти вероятность Pj(3) состояния системы на третьем шаге, если в начальный момент времени система находилась в состоянии S1.
То есть Р1(0) = 1, Р2(0) = Р3(0) = 0; Р11 = Р22 = Р33 = 0,5; Р13 = Р21 = 0,5; Р12 = Р23 = 0; Р31 = Р32 = 0,25.
Тогда:
Следовательно: Р1(3) = 0,375; Р2(3) = 0,1875; Р3(3) = 0,4375.