Курсовик 1 сем.Мат.анализ.МТУСИ. 18.10.2012г

4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.

3

6. Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно 1,012 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку:

r £ 625 ×10-10

ìx = 2sin3 t

ï

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке

ïîy = 2cos3 t

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: sin y = 7x + 3y . e-x2 - cos (2x)

10.Известно, что (ex ¢)= ex для всех x . Существуют ли еще какие-нибудь функции, совпадающие со своими производными всюду?

11.По графику функции построить график ее первой производной

4.В трапеции три стороны имеют длину a . Какую длину должна иметь четвертая сторона, чтобы площадь была максимальной?

10.В формуле Лагранжа определить значение c для функции f (x) = 4x3 - 5x2 + x - 2 на отрезке [0; 2].

11.По графику функции построить график ее первой производной

4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольшую полную поверхность.

10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x )=1 - 3x2 на отрезке [-1;1]?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 4

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

2. Провести исследование и построить график функции: y =

x - 2

x2 +1

3.Построить график функции в полярной системе координат r = 2cos 2j .

4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольший объем.

5. Вычислить y(10) функции y = x × log2 x .

6.Используя формулу Тейлора 3 -го порядка, вычислить приближенно значение e и доказать, что при этом погрешность r допускает

нижеследующую оценку: r £ 1 . 192

ìx = 2t - t2

ï

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке

ïîy = 3t - t3

t0 = 2 и вычислить y¢¢xx (x0 ).

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y = x + arctgy .

xex-1 - x2

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim .

x®1 (x -1)2

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x) = arctgx и найти c на [0;1].

11.По графику функции построить график ее первой производной

4.На прямой l : y = -2x +1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов

расстояний от неё до двух прямых: l1 : x - y - 3 = 0 , и l2 : x + y + 5 = 0 , была наименьшей.

5.Вычислить y(100) функции y = x2 shx .

6.Используя формулу Тейлора 3 -го порядка, вычислить приближенно значение

ln 5 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую

4

10.Написать формулу Коши для функций f (x) = x3 и g (x) = x2 , и найти c .

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 6

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

x

2. Провести исследование и построить график функции: y = .

3 x2 -1

3.Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = sin 3j .

4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр.

6.Cчитая, что ln10 » 2,30258 и используя формулу Тейлора 3 -го порядка, вычислить приближенно значение ln11 и доказать, что при этом погрешность

r допускает нижеследующую оценку: r £ 0, 25 ×10-4 .

ìx =1 / t

ï

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке

ïîy =1 / (1 + t 2 )

10.На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(-1;10) и B (2;-44).

11.По графику функции построить график ее первой производной

6.Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно значение функции 1,5 и доказать, что при этом погрешность r допускает

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x )= x4 3 и найти c на [-1;1].

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 8

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

2.Провести исследование и построить график функции: y = 3x2 e-x .

3.Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = cos 4j .

4.Найти верхнее основание трапеции наибольшей площади, вписанной в полукруг радиуса R и имеющей нижним основанием диаметр полукруга.

5.Вычислить y(8) функции y = x2e-2 x .

6.Вычислить с помощью формулы Тейлора 3127 с точностью до 10-3 .

10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x) = ln sin x на отрезке éëp 6 ;5p 6 ùû ?

11.По графику функции построить график ее первой производной

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность.

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x) = arcsin x и найти c на [0;1].

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 10

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

2.Провести исследование и построить график функции: y = (x -1)e-x .

3.Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = 2sinj + 1.

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.