Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

DKR_MatAn_2_semestr_2014

.pdf
Скачиваний:
163
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
1.41 Mб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Ю.Л.Александров, Н.П.Андреева, Р.В. Арутюнян, А.В.Куприн, А.Р.Лакерник, А.М. Райцин

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ

по темам

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Москва 2013

План УМД 2013/2014 уч. г.

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ

по темам

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Составители: Ю.Л.Александров Н.П.Андреева Р.В. Арутюнян А.В.Куприн А.Р. Лакерник А.М. Райцин

Утверждено Советом ОТФ-1

Протокол № от

Отв. редактор Р.В.Арутюнян, к.ф.-м.н., профессор

Рецензент: Данилов В.Г., доктор физ.мат. наук, профессор

СОДЕРЖАНИЕ

1.Варианты контрольных заданий по темам:

Определенные и несобственные интегралам. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля……………………… …………………………......4

2.Решение типового варианта………………………………………………..49

3.Варианты контрольных заданий по дифференциальным уравнения……67

4.Решение типового варианта………………………………………………..97

3

1.Варианты контрольных заданий по темам: Определенные и несобственные интегралам.

Вариант 1. Часть 1.

I.

Вычислить интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

1.

1

 

 

ex dx

 

;

2. 2 (3x + 2)ln xdx;

3. 2 cos4 x sin3 xdx;

4. 3

 

 

dx

; 5.

 

 

 

 

 

 

 

x

2

6x +5

 

e

x x

 

0

 

 

 

+ e

1

 

0

2

 

 

 

dx

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 + x

 

 

 

 

 

 

 

; 6. 0

8 x dx;

 

 

 

 

 

 

x2 +1

 

 

 

 

 

 

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

 

 

 

 

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

 

 

 

 

 

1.

y = 2 x 1, y = x 1.

 

 

 

 

 

 

2.Внутри окружности ρ = 6cosφ и одновременно вне лемнискаты ρ2 =9cos2φ. Вычислить длинудуги кривой:

3.Вычислить длину дуги кривой x2 + y2 =17, расположенной внутри ветвей

гиперболы xy = 4 .

4. ρ = cos1ϕ , 0 ϕ π3 .

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для

D

областиD : y = 4 x2 , y = 3x, x 0.

2. Найти массу неоднородной пластины D : y2 = x, x =3, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 2y = 0, x y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : x = 6(y2 + z2 ), y2 + z2 =3, x = 0.

5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : y2 = x2 + z2 , y = 4.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 =9x, x = y, x + y = 2 .

4

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

3 y2

(x2

2)dx +

x2

(1+ xy)dy, где L контур треугольника

ABC : A(1;1),

 

L

4

 

2

 

 

B(2;2), C (1;3).

 

 

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 2y2 + 2z2 =1 в точке M (1,1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz.

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F =(x y)i + zk .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =3xi +(y + z) j +(x z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x +3y + z =3 и координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию

векторного поля

F

= (x y)i

+ (2x + y) j + (x2 + 2z + 4)k

по контуру

 

 

2

 

2

 

 

2

,.

 

 

L :

x

 

+ y

 

= (z + 2)

 

 

 

 

z = −4

 

 

 

 

 

 

Вариант 2. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.

Вычислить интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

1

 

 

xdx

 

 

 

 

 

3

 

1+ x2

1

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1.

 

 

 

 

;

2.

 

 

 

 

 

 

dx;

3.

3 2x + x

 

dx;

4. tg

 

xdx;

x

2

+3x

+ 2

 

x

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

lnxxdx2 ;

 

4

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

1

6. 2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = 2ln x, y = ln(x + 2), x = 4.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно внутри окружности ρ =1. Вычислить длинудуги кривой:

3.(12)ch2x , y ( 12)ch 6.y =

4.

x = cos2t,

0 t

π

.

 

 

24

 

y =sin 2t,

 

 

5

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : x2 = 2y, 5x 2y 6 = 0.

2.Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, x + y =1, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 2x = 0, x + y 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : y =3x2 + z2 , x2 + z2 =36, y = 0.

5.

Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox ,

занимающего область V : x = y2 + z2 , x = 2.

6.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = 5,

z x2 + y2 +1.

7.

Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

(xy + x + y)dx +(xy + x y)dy , где L парабола y = x2 и хорда y = 4.

L

 

8.

Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 y2 + 2z2 = 2 в точке

M (1,1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = ez (i j +(x y)k ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(3x 1)i +(y x + z) j + 4zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x y 2z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию

векторного поля

F = (3x + 2y)i + (5x 2y) j + (3z y2 3)k по контуру

 

2

 

2

 

 

2

,.

L : x

 

+ y

 

= (z 1)

 

z = 3

 

 

 

 

 

6

Вариант 3. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

 

2

2x 1

 

 

2

 

3

 

 

 

x2 + 4

 

 

 

 

π

 

xsin xdx

 

 

3

 

x

 

1.

 

dx;

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

dx;

3.

 

 

 

 

 

;

4. xarctg

 

dx;

2x +1

 

 

 

x

2

 

 

1

+ cos

2

x

4

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

dx

 

 

1

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

; 6.

 

4

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(1+ x) x

 

 

1 x 2x

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1. y = arctg x и прямая, проходящая через начало координат и через точку с абсциссой x =1 на заданной линии.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно вне кардиоидыρ =3(1cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3.y = e2x +12, (12)ln3 x (12)ln 24.

 

a

 

0 ϕ π.

4.

ρ = cos3 (ϕ3 ),a > 0

,

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : x= 8 y2 , y 0, y x.

2. Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, 2x +3y = 6, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= y2 2 .

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2y = 0, x y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : x = 7(y2 + z2 ), x = 28.

5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy ,

занимающего область V : y2 = x2 + z2 , y = 2.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 4y2 , z = 0, x = 4. 7

7.

Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

(2y + y2 )dx +(y2 + 2xy)dy, где L : x2 + y2 = R2.

L

 

8.

Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + 2y2 2z2 =1 в точке

M (1,1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = ex (yj + zk ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = xi +(x + z) j +(y + z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x +3y + z = 3 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию

векторного поля

F = (3x 4y)i + (3y x) j + (xy 2z + 4)k по контуру

 

2

 

2

 

 

2

, .

L : x

 

+ y

 

= (z 2)

 

z = 4

 

 

 

 

 

Вариант 4. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

1.

3

 

 

 

 

dx

 

;

 

2. 1 arccos xdx;

3. 4

 

dx

 

 

;

4.

π

dx

;

 

x

2

2x

8

 

 

 

 

3 + 2cos x

 

1+

x

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

2/3

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

;

6.

1/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 4x + 7

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.x = 4, y = ln x и касательная к этой линии в точке её пересечения с осьюOx .

2.Внутри окружности ρ = 6cosφ и одновременно внутри лемнискаты

ρ2 =9cos2φ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. y =

1

ln

ex ex

,

(1 4)ln 2 x (1 4)ln5 .

2

ex + ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

x = et (cost +sint),

4.y = et (cost sint), 0 t π.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : x 0, y 0, y 1, y = lnx.

2.Найти массу неоднородной пластины D : x2 + y2 = 4x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4 x.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x = 0,

x + y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.

Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : z = 2 x2 + y2 , z =8.

 

5.

Найти момент инерции однородного тела относительно оси

Ox ,

занимающего область V : x = y2 + z2 , x =9.

 

6.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 =1,

x2 + y2 = 4,

z = 0, z = 5 x.

 

7.

Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

(y x2 )dx (x + y2 )dy, L : x2 + y2 = R2 , (x 0, y 0).

 

L

 

 

8.

Найти единичный вектор нормали к поверхности 2x2 4y2 + 4z =8 в точке

M (2,1,1),составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz . 9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = y2 z(yzi +3xzj + 2xyk ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса)

поток векторного поля F =(x + z)i +(z x) j +(x + 2y + z)k

через внешнюю

поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + y + z = 2

и

координатными плоскостями.

 

 

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)

циркуляцию

векторного поля

F = (x 2y)i + (x + 2y) j + (3z 2xy +9)k

по контуру

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

L : x

 

+ y

 

= (z +3)

 

,

 

 

z = −1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

Вариант 5. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

π

3dx

1.πcos2 x sin4 x;

5. 5

 

dx; 6.

5 + x

0

5 x

2.

e

0

2

dx

 

1

 

;

x2 + x

x dx. x

3. 1 x3e2xdx; 4. 9 x 31xdx;

0

1

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ex , y = e2x 2, x = 0.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно внутриокружности ρ = 3sinφ. Вычислить длинудуги кривой:

3.Вычислить длину дуги всей кривой y = ln(1x2 ), которая расположена выше прямой y = ln3 2ln 2 .

4. ρ = asin4 ϕ4 , a > 0.

 

Часть 2.

 

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1.

Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

 

∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x2 = 2 y, x + y = 0.

 

D

2.

Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y =1, y = x, если

поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2 + 2y2.

3.

Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x 0,

x2 + y2 + 2y 0, x 0, относительно оси Ox , используя полярные

координаты.

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : z = 5(x2 + y2 ), x2 + y2 = 2, z = 0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x2 = y2 + z2 , x = 2.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

z2 = 4x,

x + y = 2, y = 0.

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

xydx + 2xy2dy , где L контур треугольника ABC :

A(1;0),

B(0;1), C (0;0).

L

 

 

10

 

 

Соседние файлы в предмете Математический анализ