Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Курсовая работа Мат. Анализу 1 семестр

.pdf
Скачиваний:
80
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
402.96 Кб
Скачать

Вариант 1

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

x50 50x + 49

; б) lim(2x 1)x/(x2 1)

x100 100x +99

x1

x1

2. Провести исследование и построить график функции: y = 3 x2 (x 5).

4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.

5.Вычислить ) sin x .y(15) функции y =(x2 + x +1

3

6.Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно 1,012 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 625 1010 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

t

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

x = 2sin

 

в точке

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2cos3 t

 

 

 

= π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

0

и вычислить y′′

(x

).

 

 

 

 

 

 

 

 

3

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

sin y = 7x +3y .

 

 

 

cos(

 

 

2x)

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ex2

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

10.Известно, что (ex )=ex для всех x . Существуют ли еще какие-нибудь функции, совпадающие со своими производными всюду?

11.По графику функции построить график ее первой производной

 

 

 

 

 

Вариант 2

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

 

а) lim

5x3 x 2x

; б)

lim (sin x)tg2 x

 

 

 

x1

5 x2 1

xπ 2

2.

Провести исследование и построить график функции: y = 3 x3 3x .

4.

На дуге полуокружности

y = 1 x2 найти точку, ближайшую к точке (12;5).

5.

Вычислить y(20) функции

y =(x2 x) ex .

6.Используя формулу Тейлора 2 го порядка, вычислить приближенно значение cos610 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую

 

r

 

1

 

π

3

 

 

оценку:

 

 

 

.

 

 

 

 

 

6

180

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x = 3 cost

в точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =sin t

 

 

 

 

 

= π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

0

и вычислить y′′

(x

).

 

 

 

 

 

 

 

3

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

x4 + y4 =1.

 

 

 

 

 

 

 

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

cos2

x ex2

.

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

10.В формуле Лагранжа определить значение c для функции f (x)= 4x3 5x2 + x 2 на отрезке [0;2].

11.По графику функции построить график ее первой производной

 

 

 

 

Вариант 3

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

 

а) lim

ln ((2arccos x)/ π )

; б)

lim (x +1) x+1

 

 

 

x0

ln (1 + x)

x→−1+

2.

Провести исследование и построить график функции: y =(x 3) x .

4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольшую полную поверхность.

5.

Вычислить y(5)

функции

y = ex sin x .

 

 

 

 

 

 

6.

Используя формулу Тейлора 4 го порядка, вычислить приближенно значение

 

sin100 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую

 

 

 

 

r

 

 

1

 

 

π

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оценку:

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

120 18

 

 

 

 

 

t

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x =e

в точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =et sin t

 

 

 

t

 

=0 и вычислить y′′

(x

).

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

x2 + y2 = e

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2 sin2

x 2cos x

.

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x)=1 3 x2 на отрезке [1;1]?

11.По графику функции построить график ее первой производной

 

 

 

 

 

Вариант 4

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

 

 

xx 1

1/

(xe)

 

а) lim

 

 

; б) lim(ln x)

 

 

 

ln x

 

 

 

x1

xe

 

x 2

2.

Провести исследование и построить график функции: y =

x2 +1

 

 

 

 

 

 

4.Найти радиус основания R и образующую l прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольший объем.

5. Вычислить y(10) функции y = x log2 x .

6.Используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно значение e и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 1921 .

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2t t

2

 

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x

 

в точке

 

=

3t t3

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

t

 

= 2 и вычислить y′′

(x

).

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

y = x +arctgy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

xex1

x2

.

 

 

 

(x 1)2

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= arctgx и найти c на [0;1].

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 5

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

xarcsin x2

; б) lim

(1

x

)xsin x

x cos x sin x

x0

x→+0

 

 

2. Провести исследование и построить график функции: y = 3 (x + 2)2 3 (x 2)2 .

4.На прямой l : y = −2x +1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов

расстояний от неё до двух прямых: l1 : x y 3 =0 , и l2 : x + y +5 = 0 , была наименьшей.

5. Вычислить y(100) функции y = x2 shx .

6.Используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно значение ln 54 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую

оценку: r 10241 .

x =t sin t

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

y = 2 cost

t

0

= π

и вычислить y′′

(x

).

 

 

2

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

8. ex+y = xy .

 

 

 

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2cos x + xsin x

 

 

 

 

 

x0

x4

в точке

2 .

10.Написать формулу Коши для функций f (x)= x3 и g (x)= x2 , и найти c на отрезке [a;b].

11.По графику функции построить график ее первой производной

 

 

 

 

 

 

Вариант 6

 

 

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

 

 

 

 

(x +1)ln (1 + x)x

 

1

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

а) lim

x2

 

 

 

e

x

x 1

; б) lim

 

 

 

 

x0

 

x0

x

x

 

2.

Провести исследование и построить график функции: y =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x2 1

4.Найти стороны a и b прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр.

5. Вычислить y

(3)

функции

y =

x2

+ x +1

в точке x = 0 .

 

 

 

 

 

x2

x +1

 

 

 

 

 

6.Используя формулу Тейлора 3 го порядка, вычислить приближенно значение ln11 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую

оценку: r 25 106 .

 

 

 

 

 

 

 

x =1 / t

 

 

 

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

 

 

в точке

 

+t2 )

 

 

 

 

 

 

 

y =1 / (1

 

 

 

 

 

 

(x

).

 

 

 

 

 

 

t

0

= −1 и вычислить y′′

 

 

 

 

 

 

 

xx

0

 

 

 

 

 

 

8.

y =tg(x + y) .

 

 

ln (1 + x)sin x +0,5x2

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

 

 

 

 

.

 

x3

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

10.На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(1;10) и B(2;44).

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 7

1.Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) (ln (1 + x)/ (1 x))2x ; б) lim (ln x)xlim

x0

x sin x

x→+0

2.Провести исследование и построить график функции: y = x2 1 .

x2 +1

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.

5. Вычислить y

(7)

функции y =

1 + x2

.

 

1 x2

 

 

 

 

6.Используя формулу Тейлора 2 го порядка, вычислить приближенно значение функции 1,5 и доказать, что при этом погрешность r допускает нижеследующую оценку: r 1281 .

 

 

 

 

 

 

 

=

t

 

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x

в точке

 

=1 / t 1

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

(x ).

 

 

 

 

 

 

t

0

= 2 и вычислить y′′

 

 

 

 

 

 

 

xx

0

 

 

 

 

 

 

8.

x3 + y3 =3xy .

 

x 2 ln (x 1)

 

 

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

.

 

 

 

 

 

 

 

x2

(x 2)2

 

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x)= x4 3 и найти c на [1;1].

11.По графику функции построить график ее первой производной

(x 2)3

 

 

 

 

 

 

Вариант 8

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

 

 

2tg3x 6tgx

 

 

2

x

 

а) lim

 

; б)

lim

 

arctgx

 

3arctgx arctg3x

π

 

x0

 

x→+∞

 

2.

Провести исследование и построить график функции: y = 3 x2 ex .

4.

На дуге полуокружности

x = 1 y2 найти точку C , ближайшую к прямой l :

y=3 x .

5.Вычислить y(8) функции y = x2e2 x .

6.Вычислить с помощью формулы Тейлора 3 127 с точностью до 103 .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x =sin t

в точке

 

 

 

 

 

 

 

y =1 / cost

 

t

0

= π

и вычислить y′′

(x

).

 

 

 

3

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. x + y = exy .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim xsin (x 2)x2 + 2x .

x2

10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x)= ln sin x на отрезке π 6 ;5π 6 ?

11.По графику функции построить график ее первой производной

 

 

 

Вариант 9

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

 

а) lim

tgx x

; б) lim (1 x)ln x

 

arcsin x ln (1 + x)

 

x0

x1

2.

Провести исследование и построить график функции: y = xln x .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность.

5.

Вычислить y(9) функции

(

)

cos x .

 

 

y = 1 x2

 

 

 

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора 4 83 с точностью до 103 .

 

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x = 2ln tgt

в точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =tgt +ctgt

 

 

t

0

= π

и вычислить y′′

(x

).

 

 

 

 

 

 

4

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

y =3 xey .

 

 

 

 

 

 

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

xsin x ex2 +1

.

x4

 

x0

 

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x)=arcsin x и найти c на [0;1].

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 10

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim

tgx x

; б) lim

(

ln (x +e)

)

1

x3

ln3 (1 + x)

x0

x0

 

 

2. Провести исследование и построить график функции: y =(x 1)ex .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.

5.

Вычислить y(10) функции

y =

1 + x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора 5 250 с точностью до 103 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

x =t cost

в точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =t sin t

 

 

 

t

0

= π

и вычислить y′′

(x

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

y = x ln y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2xex1

x3 x

.

 

(x

1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

10.

Написать формулу Коши для функций f (x)=sin x и g (x)=cos x , и найти c

 

на 0;π

.

 

 

2

11.

По графику функции построить график ее первой производной