Подготовка по физике

Волны 1. Общие свойства волн.

1.1. Определение волны

Волна — изменение состояния среды или физического поля (возмущение), распространяющееся либо колеблющееся в пространстве и времени или в фазовом пространстве.

1.2. Механические и электромагнитные волны

Механические волны – процесс распространения механических колебаний в среде (жидкой, твердой, газообразной). Следует запомнить, что механические волны переносят энергию, форму, но не переносят массу. Важнейшей характеристикой волны является скорость ее распространения. Волны любой природы не распространяются в пространстве мгновенно, их скорость конечна.

Электромагнитные волны – электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Электромагнитной волной называют распространяющееся электромагнитное поле.

1.3. Связь вида волн со свойствами среды и источника. Волновой фронт

Волны называются поперечными, если частицы среды колеблются перпендикулярно (поперек) лучу волны. Они существуют в основном за счет сил упругости, возникающих при деформации сдвига, а поэтому существуют только в твердых средах. На поверхности воды возникают поперечные волны, так как колеблется граница сред. В поперечных волнах различают горбы и впадины. Длина поперечной волны - расстояние между двумя ближайшими горбами или впадинами.

Волны называются продольными, если частицы среды колеблются вдоль луча волны. Они возникают за счет деформации сжатия и напряжения, поэтому существуют во всех средах. В продольных волнах различают зоны сгущения и зоны разряжения. Длина продольной волны - расстояние между двумя ближайшими зонами сгущения или зонами разряжения.

Плоская волна – волна, у которой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

где А - амплитуда, - фаза, - круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число.

Цилиндрическая волна – волна, радиально расходящаяся от или сходящаяся к некоторой оси в пространстве или точке на плоскости. В последнем случае эти волны называются также круговыми. Примерами ЦВ могут служить волны на поверхности воды от брошенного камня или колеблющегося поплавка, электромагнитные или акустические волны, возбуждаемые источниками, расположенными в пространстве, ограниченном, направленном двумя плоскопараллельными отражателями.

где w - круговая частота, k - волновое число. На больших расстояниях от оси (kr >> 1) волновое поле (1) приобретает вид

Сферическая волна – волна, радиально расходящаяся от источника или сходящаяся к приѐмнику. Волновой фронт еѐ — сфера. Простейшим примером является гармоническая симметричная СВ в среде без поглощения:

Волновой фронт (фронт волны) - геометрическое место множества точек, до которых дошло колебание к данному моменту времени.

1.4. Монохроматические волны

Монохроматическая волна — модель в физике, удобная для теоретического описания явлений волновой природы, означающая, что в спектр волны входит всего одна составляющая по частоте. Монохроматическая волна — строго гармоническая (синусоидальная) волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой. Стоячая монохроматическая волна — волна, формирующаяся при распространении двух плоских монохроматических электромагнитных волн одинаковой поляризации навстречу друг другу.

1.5.Волновая поверхность, фазовая скорость, длина волны, групповая скорость и еѐ физический смысл. Вектор Умова

Волновая поверхность — геометрическое место точек, испытывающих возмущение обобщенной координаты в одинаковой фазе. Если источником волны является точка, то волновые поверхности в однородном и изотропном пространстве представляют собой концентрические сферы.

Фазовая скорость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы).

Длина волны — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой .

Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн).

Физический смысл групповой скорости. Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии. Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля и т.п.). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно).

Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:

,

где — угловая частота, — волновое число.

Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору :

или (для трехмерного пространства):

Вектор Умова - вектор плотности потока энергии физического поля; численно равен энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения энергии в данной точке.

1.6. Уравнение плоской бегущей монохроматической волны. Волновой вектор.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова. Уравнение бегущей волны:

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид:

или

где А = const — амплитуда волны, — циклическая частота, 0 — начальная фаза вол-

ны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t,[ (t—x/v)+ 0] — фаза плоской волны.

Волновой вектор — вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу. Связь между волновым вектором и частотой задаѐтся законом дисперсии. Все возможные значения волновых векторов образуют обратное пространство или k-пространство.

Наиболее общим определением волнового вектора можно считать такое: волновой вектор

есть градиент фазы волны: Для строго монохроматической плоской волны в однородной среде распространения волновой

вектор строго фиксирован (не зависит от координат и времени). Любая строго монохроматическая волна в однородной среде может быть представлена как сумма (интеграл) плоских волн с волновыми векторами, имеющими одинаковую абсолютную величину (но разное направление, если волна отличается от плоской).

1.7. Волновое уравнение

Волновое уравнение — дифференциальное уравнение в частных производных:

или

где v — фазовая скорость, — оператор Лапласа. Для плоской волны,

распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид:

2.Краткие сведения о механических волнах

2.1.Поперечные бегущие волны, распространяющиеся вдоль струны

2.2.Звуковые волны в газах (без вывода)

3.Электромагнитные волны

3.1.Вывод волнового уравнения для электромагнитного поля, фазовая скорость для электромагнитных волн

Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Фазовая скорость электромагнитной волны. В вакууме для электромагнитной волны любой частоты (по крайней мере, в тех диапазонах частот и интенсивностей, которые исследованы) фазовая скорость, измеренная в направлении волнового вектора, всегда равна одной и той же величине — скорости света в вакууме, универсальной константе.

В средах закон дисперсии электромагнитных волн достаточно сложен, и фазовая скорость может заметно меняться.

3.2.Плоская бегущая электромагнитная волна в непроводящей среде. Вывод еѐ свойств: поперечность, отношение E/H, плотность энергии, фазовая скорость

Волновое уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси x имеет вид:

Простейшим решением этих уравнений являются функции:

Уравнение электромагнитной волны в векторной форме

Скорость распространения волн в непроводящей нейтральной неферромагнитной среде:

В электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах, причем между мгновенными значениями и в любой точке существует связь

Плотность энергии электромагнитной волны

3.3. Поток энергии электромагнитной волны, вектор Пойнтинга

Для электромагнитной волны плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга S (в российской научной традиции — вектор Умова — Пойнтинга). В системе СИ вектор Пойнтинга равен (векторному произведению напряжѐнностей электрического и магнитного полей) и направлен перпендикулярно векторам E и H. Это естественным образом

согласуется со свойством поперечности электромагнитных волн. Вместе с тем, формула для плотности потока энергии может быть обобщена для случая стационарных электрических и магнитных полей и имеет тот же вид: . Факт существования потоков энергии в постоянных электрических и магнитных полях может выглядеть странно, но не приводит к какимлибо парадоксам; более того, такие потоки обнаруживаются в эксперименте.

4.Суперпозиция волн 4.1. Принцип суперпозиции волн. Стоячие волны

Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы каждой волны.

Интерференция волн – наложение двух (или нескольких) когерентных волн, в результате чего происходит усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Когерентными называются волны одного направления одинаковой частоты и постоянной разности фаз.

Рассмотрим наложение двух когерентных волн, возбуждаемых точечными источниками (для простоты начальные фазы φ0=0):

ξ1(r,t)=A1·cos[ω(t-r1/υ)] ξ2(r,t)=A2·cos[ω(t-r2/υ)].

Разность фаз этих колебаний равна: φ1-φ2=(ω/υ)·(r1-r2)=Δr·ω/υ=Δr·2π/υT=Δr·2π/λ, (115)

где Δr=r1-r2 - разность хода волн, λ=υT - длина волны.

1)если колебания происходят в одинаковой фазе, т.е. φ1-φ2=±2kπ (k=0,1,2...), (116) то наблюдается максимум интерференции. Приравниваем (115) и (116):

Δr·2π/λ=±2kπ.

Получаем условие максимума при интерференции: Δr=±kλ=±2k·λ/2 (k=0,1,2...) (117)

В этом случае A=A1+A2.

2)если колебания происходят в противофазе, т.е. φ1-φ2=±(2k+1)π (k=0,1,2...), (118) то наблюдается минимум интерференции. Приравниваем (115) и (117): Δr·2π/λ=±(2k+1)π

Получаем условие минимума при интерференции: Δr=±(2k+1)·λ/2 (k=0,1,2...) (118)

В этом случае A=| A1-A2 |

Стоячая волна — колебания в распределѐнных колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражѐнной волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

,

где u — возмущения в точке х в момент времени t, — амплитуда стоячей волны, —

частота, k — волновой вектор, — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

4.2.Явление интерференции. Условие интерференции, перераспределение энергии в пространстве при интерференции, особенности интерференции в оптике. Связь максимумов и минимумов при интерференции с разностью фаз. Оптический путь, связь разности фаз с оптической разностью хода

Явление интерференции является характерным признаком волновых процессов любой природы. Интерференцией называется сложение в пространстве волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуд результирующих колебаний. При интерференции происходитпространственное перераспределение энергии волны. В одних точках наблюдается

концентрация энергии (интерференционные максимумы), в других - гашение волн (интерференционные минимумы). Причиной перераспределения энергии является разность фаз колебаний в складывающихся волнах. Необходимое условие - когерентность волн. Когерентными называются волны одинаковой частоты, разность фаз которых не изменяется со временем в каждой точке волнового поля.

Кроме того, колебания полей в этих волнах должны происходить в одной плоскости.

Условия образования максимумов и минимумов в интерференционной картине.

Результат сложения волн, приходящих в точку наблюдения М от двух когерентных источников О1 и О2зависит от разности фаз между ними (см. рис 1.)

рис. 1.

Расстояния, проходимые волнами от источников до точки наблюдения, равны

соответственно d1и d2. Величина называется геометрической разностью хода d = d2d1. Эта величина и определяет разность фаз колебаний в точке М. Возможны два предельных случая наложения волн.

Способы наблюдения интерференции. Обычные источники света не являются когерентными, так как состоят из большого числа атомных излучателей. работающих независимо друг от друга. Для получения интерференционной картины прибегают к искусственным приемам. Сущность подобных методов заключается в том, что световой пучок, идущий от одного источника, делится на два пучка, которые друг другу когерентны и при наложении интерферируют. Например, в методе Юнга свет от точечного источника падает на непрозрачную преграду с двумя близкими узкими щелями, которые расщепляют исходный световой пучок на два когерентных пучка (см. рис. 2).

рис.2 В области за преградой происходит наложение волн, идущих от щелей. Если в эту область

поместить экран, то на его поверхности наблюдается интерференционная картина, представляющая собой чередование темных и светлых полос.

Интерференцию можно наблюдать и в естественных условиях. Например, окраска мыльных пузырей или тонких пленок бензина на поверхности воды объясняется интерференцией волн отраженных от наружной и внутренней поверхности пленки. Ход лучей в тонких пленках изображен на рис. 3.

Рис. 3.

Объясним цветовую окраску интерференционных полос. Пленка освещается белым светом, состоящим из волн имеющих разную частоту (и длину волны). Разность хода лучей, отраженных от разных граней пленки, зависит от ее толщины. При определенной толщине условие максимума выполнится для какой-то длины волны ( ), и пленка в отраженном свете приобретет окраску в цвет, соответствующий данной длине волны . Если пленка имеет переменную толщину, то интерференционные полосы приобретут радужную окраску.

4.3.Примеры интерференции: двулучевая интерференция, интерференция при отражении от тонких пластинок, кольца Ньютона, многолучевая интерференция

При наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в другихминимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией волн.

Двулучевая интерференция:

Под двулучевой интерференцией понимают интерференционную картину, возникающую при сложении двух световых волн одинаковой частоты. Расщепление первоначальной волны от источника на две и последующее их сведение на экране — общий признак всех двулучевых интерференционных схем.

Опыт Юнга:

Схема 1 — опыт Юнга — первый опыт по наблюдению интерференции света, осуществленный в 1827 г. Источником света служит ярко освещенная щель S. Свет, прошедший через 5, падает на две узкие щели S1 и S2. Световые пучки, прошедшие через S1 и S2, уширяются вследствие дифракции. Интерференция наблюдается на экране в области перекрытия дифракционных пучков.

Интерференция при отражении от тонких пластинок:

При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку или пленку происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают когерентные световые волны, которые могут интерферировать.

Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает параллельный пучок света, представленный на рис. 3 только одним лучом. Пластинка отбрасывает вверх два когерентных параллельных пучка света, из которых один образуется за счет отражения от верхней поверхности пластинки, второй — вследствие отражения от нижней поверхности. При входе в пластинку и при выходе из нее второй пучок претерпевает преломление. Кррме этих двух пучков пластинка отбросит вверх пучки, возникающие 'в результате трех-, пяти- и т. д. кратного отражения от поверхностей пластинки.

Интерференция в плоскопараллельной пластине:

Схема 4 — интерференция в плоскопараллельной пластинке. В таблице изображен общий случай произвольного расположения источника и плоскости наблюдения по отношению к плоскопараллельной пластинке. Свет, приходящий в точку наблюдения Р, можно рассматривать как свет от двух мнимых изображений источника S в двух гранях пластинки. Интерференционная картина в пределах достаточно малой площади экрана состоит из почти параллельных интерференционных полос. Разность хода в данном интерференционном расположении есть:

Здесь h — толщина пластинки, n — показатель преломления, r — угол преломления. Дополнительное слагаемое λ/2 возникает из-за разных условий отражения света на двух гранях пластинки.

Кольца Ньютона

Кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые в воздушном зазоре между соприкасающимися выпуклой сферической поверхностью линзы малой кривизны и плоской поверхностью стекла (рис. 8.13), называют кольцами Ньютона.

Общий центр колец расположен в точке касания. В отраженном свете центр темный, так как при толщине воздушной прослойки, на много меньшей, чем длина волны , разность фаз интерферирующих волн обусловлена различием в условиях отражения на двух поверхностях и близка к π. Толщина h воздушного зазора связана с расстоянием r до точки касания (рис. 8.13):

получаем

(m = 0, 1, 2, …).

Если линзу постепенно отодвигать от поверхности стекла, то интерференционные кольца

будут стягиваться к центру. При увеличении расстояния на картина принимает прежний вид, так как место каждого кольца будет занято кольцом следующего порядка. С помощью колец Ньютона, как и в опыте Юнга, можно сравнительно простыми средствами приближенно определить длину волны света.

Полосы равной толщины можно наблюдать и с помощью интерферометра Майкельсона, если одно из зеркал з1 или з2 (рис. 8.9) отклонить на небольшой угол.

Итак, полосы равного наклона получаются при освещении пластинки постоянной толщины

рассеянным светом, в котором содержатся лучи разных направлений. Полосы равной толщины наблюдаются при освещении пластинки переменной толщины (клина)

параллельным пучком света. Полосы равной толщины локализованы вблизи пластинки.

Многолучевая интерференция:

При наложении двух когерентных световых пучков образуются интерференционные полосы, в которых распределение интенсивности описывается функцией I~cos2(kΔ/2) (Δ — разность хода пучков). Максимумы и минимумы интенсивности, т.е. светлые и темные полосы, в двух лучевой интерференционной картине имеют одинаковую ширину. При наложении большого числа пучков распределение интенсивности в интерференционной картине существенно иное. Изменение характера интерференционных полос при увеличении числа n пучков качественно можно предсказать на основе закона сохранения энергии. Амплитуда световых колебаний в максимумах интенсивности, где сложение колебаний происходит в одинаковой фазе, в n раз больше, а интенсивность в n2 раз больше, чем от одного пучка (при условии, что когерентные пучки имеют одинаковую или почти одинаковую интенсивность). Но полная энергия, приходящаяся на одну интерференционную полосу, лишь в n раз больше, чем в одном пучке. Увеличение интенсивности в максимумах в n2 раз возможно только в случае существенного перераспределения потока энергии в пространстве: при прежнем расстоянии между светлыми полосами их ширина должна быть примерно в n раз меньше этого расстояния. Благодаря образованию узких максимумов, т.е. резких светлых полос, разделенных широкими темными промежутками, многолучевая интерференция получила важное практическое применение. Большое число когерентных световых пучков может возникнуть в результате дифракция при прохождении плоской волны через экран с одинаковыми регулярно расположенными отверстиями (метод деления волнового фронта). Распределение интенсивности в такой многолучевой интерференционной картине будет рассмотрено на примере дифракционной решетки. Здесь мы изучим интерференцию при многократных отражениях света от двух параллельных поверхностей (метод деления амплитуды). На этом принципе действует интерферометр Фабри-Перо, широко используемый в спектроскопии высокого разрешения и в метрологии.

4.4. Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля

Дифракцией света принято называть отклонение от прямолинейного распространения света вблизи препятствий, например, при прохождении света через отверстие. Строгое решение дифракционных задач может быть, в принципе, найдено, исходя из волнового уравнения и граничных условий. Однако, в такой строгой постановке решение, ввиду сложности, удается получить только в нескольких простейших случаях. В оптике, как правило, используются

приближенные методы, опирающиеся на принцип Гюйгенса-Френеля. Получаемые при этом решения вполне пригодны для практических приложений.

Принцип Гюйгенса-Френеля следует рассматривать как рецепт приближенного решения дифракционных задач. В основе его лежит допущение о том, что каждый элемент поверхности волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях (рис. 2.1.). Эти волны когерентны, так как они возбуждены одной и той же первичной волной. Результирующее поле в точке наблюдения P может быть найдено как результат интерференции вторичных волн. В качестве поверхности вторичных источников может быть выбрана не только поверхность волнового фронта, но и любая другая замкнутая поверхность. При этом фазы и амплитуды вторичных волн определяются значениями фазы и амплитуды первичной волны.

Рисунок 2.1. Принцип Гюйгенса–Френеля.

В соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля комплексная амплитуда поля в точке наблюдения P, обусловленная действием вторичных источников, заселяющих малый элемент поверхности ds, может быть записана в виде

(2.1)

Здесь – комплексная амплитуда поля первичной волны от источника на элементе ds, – длина волны (источник предполагается монохроматическим), – так называемый коэффициент наклона, зависящий от угла между нормалью к элементу

поверхности ds и радиусом-вектором . В теории Френеля не было дано конкретного вида зависимости ; многие задачи теории дифракции света могут быть решены при весьма общих предположениях относительно этой зависимости. Важно только принять во внимание, что –

медленно убывающая функция угла , принимающая значение K = 1 при . Вид функции был получен в теории Кирхгофа (1883 г.), развитой на основе анализа решений волнового уравнения. Таким образом, излучение вторичных источников не изотропно, хотя волновые фронты (то есть поверхности постоянной фазы) являются сферическими.

При более точной количественной формулировке принципа Гюйгенса–Френеля следовало бы учесть в (2.1) фазовый сдвиг на π/2 между излучением вторичных источников и первичной волной. Во многих задачах точное значение фазы колебаний не представляет интереса, поэтому не имеет смысла усложнять соотношение (2.1). Полное поле в точке Pможет быть найдено путем интегрирования (2.1) по всем вторичным источникам.

При решении дифракционных задач, когда речь идет о распространении световых волн вблизи препятствий, принцип Гюйгенса-Френеля следует дополнить постулатом Френеля о граничных условиях.