Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ан_геом(мтуси)_10 (1)

.pdf
Скачиваний:
73
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
530.22 Кб
Скачать

Вариант 1

1. Какая кривая определена уравнением 9x2 4y2 36x 8y 4 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты вершин и постройте эту кривую.

2.

Составьте каноническое уравнение эллипса с фокусами F1( 1, 1) , F2 (3, 1) и

директрисой x 5 .

3. Заданы точки A 1, 2, 0 , B 1, 3, 1 , C 1, 2, 3 и D 2, 1, 1 . Найдите:

1)

скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3)

смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки

A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение z x2 y2 4x 2y к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

 

2x1 x2 x4 2,

 

 

x2 x3 2x4 1,

5. Исследуйте на совместность систему

x1

 

x 2x x 4,

 

 

 

2

3

 

4

 

 

4x

8x

4

12.

 

 

3

 

 

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

1

2

1

 

2

4

6. Решите матричное уравнение

 

1

1

5

 

X

 

4

2

 

 

 

 

.

 

 

3

3

3

 

 

 

0

6

 

 

 

 

 

 

 

7. Пусть P4

– линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и

p(x) P4 . Найдите матрицу оператора A в базисе 1,

x, x2 , x3 , если

Ap (x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1) p (x) (x 1) p

(x) p(x) .

 

 

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

линейного преобразования в некотором базисе. Укажите

9. Дана матрица A

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 2

1. Какая кривая определена уравнением 16x2 4y2 16x 12y 9 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с фокусами F1(1, 1) и F2 (1, 5) , угол между асимптотами которой равен 600 .

3. Заданы точки A 1,2,0 , B 1, 2 ,1 , C 2, 0, 2 и D 3, 1, 1 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение z 4x2 9y2

4x 6y 3 к каноническому виду и определите тип

поверхности, заданной этим уравнением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 2x2 x3 2x4 x5 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 x3 x4 2x5 2,

 

 

5. Исследуйте на совместность систему

x1

 

 

 

 

6x1 2x4 x5 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x4

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите

 

фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

0

 

 

 

1

2

 

 

 

 

6. Решите матричное уравнение

 

X

 

.

 

 

 

 

 

 

 

5

7

 

2

 

 

 

3

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Пусть P4

 

– линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и

p(x) P4 . Найдите матрицу оператора A в базисе 1, x,

x2 , x3 , если

 

 

Ap (x 1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p (x) 2(x 1) p (x) 2 p(x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

 

 

 

 

 

8

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

1

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

9. Матрица линейного преобразования A

2

3

4

 

задана в базисе e , e , e . Найдите

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрицу этого преобразования в базисе

f1, f2 , f3 , где f1 2e1 2e2 2e3 , f2

3e1

e3 ,

f3 e1 e2 2e3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 3

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 36y2 8x 36y 9 0? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение параболы с фокусом F( 2,4) и директрисой, совпадающей с осью ординат.

3. Заданы точки A 4, 1, 2 , B 3, 1

,0 , C 2, 1, 2 и D 1, 3, 1 . Найдите:

1)

скалярное произведение (AC, AD)

и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3)

смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки

A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 2y2 6x 18y 8z 49 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 3x2 4x4 8,

5. Исследуйте на совместность систему 2x1 4x2 4x3 x5 1,

3x1 x2 x3 4x4 4x5 4,

x1 x2 3x3 4x4 3x5 12.

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

1

0

1

 

 

 

1

1

 

6. Решите матричное уравнение

 

3

4

 

X

 

 

4

2

 

1

 

 

.

 

 

1

2

 

 

 

 

2

0

 

 

1

 

 

 

 

 

7. Пусть P4 – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и p(x) P4 . Найдите матрицу оператора A в базисе 1, x, x2 , x3 , если

Ap (x2 5x 3) p (x) (4x 10) p (x) .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

1

2

2

 

 

2

5

4

 

 

.

 

1

2

2

 

 

 

3 2

9.Дана матрица A линейного преобразования в некотором базисе. Укажите

2 3

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 4

1. Какая кривая определена уравнением 9x2 25y2 18x 100y 108 0? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с директрисами y 2 , y 8 и эксцентриситетом 3 / 5 , если центр эллипса лежит на прямой y x .

3. Заданы точки A 0, 2, 1 , B 1, 1 , 2 , C 1, 1, 1 и D 3, 2, 2 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 y2 2z 1 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

 

2x1 3x2 x3 3x4 x5 1,

 

 

3x2 x3 x4 2x5 3,

5. Исследуйте на совместность систему

x1

 

3x4 x5

4,

 

 

 

 

3x1 x4

0.

 

 

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

1 0

3

 

2

0

6. Решите матричное уравнение

 

1

5

 

X

 

4

1

 

1

 

 

.

 

 

2

1

 

 

 

2

4

 

 

1

 

 

 

 

7. Пусть P4 – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и p(x) P4 . Найдите матрицу оператора A в базисе 1, x, x2 , x3 , если

Ap p(x 1) 2 p(x) p(x 1) .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

3

4

8

 

 

2

5

8

 

 

.

 

2

4

7

 

 

 

 

2

1

3

 

 

 

 

9. Матрица линейного преобразования A

 

3

0

1

 

задана в базисе e , e ,

e .

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите матрицу этого преобразования в базисе

f1, f2 ,

f3 , где f1 e1 e2 ,

f2

e1

e2 2e3 ,

f3 2e1 e2 e3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 5

1. Какая кривая определена уравнением 100x2 16y2 100x 16y 17 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы, асимптоты которой заданы уравнениями x y и x y 2 , а один из фокусов расположен в точке F(1, 3) .

3. Заданы точки A 1, 1, 1 , B 2, 1, 1 , C 2, 0, 1 и D 1, 3, 2 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 4x2 9y2 8x 36y 72z 184 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

 

2x1 x2 x3 x4 x5

1,

 

 

x2 x3 x4 2x5

1,

5. Исследуйте на совместность систему

x1

 

3x 4x

x 2,

 

 

 

1

4

5

 

 

 

x1 x4

2.

 

 

 

 

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

 

 

1

2

1

2

1

6.

 

 

 

2

4

2

 

 

4

2

 

Решите матричное уравнение

X

 

.

 

 

 

 

3

6

3

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Пусть P4 – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и

p(x) P4 . Найдите матрицу оператора A в базисе 1,

x,

x2 , x3 , если

Ap p(x) p(x 1) p(x 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

 

 

7

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

0

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

0

1

линейного преобразования в некотором базисе. Укажите

Дана матрица A

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 6

1. Какая кривая определена уравнением 25x2 9y2 150x 18y 9 0? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса, один из фокусов которого расположен в точке F(3 1, 2) , а соответствующая этому фокусу директриса задана уравнением

x4 3 1. 3

3. Заданы точки A 0, 1, 3 , B 1, 1 ,2 , C 3, 1, 1 и D 1, 0, 2 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 y2 2x 2y 2z 2 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 3x2 5x4 9,

 

 

2x1 5x2 5x3 x5 1,

5. Исследуйте на совместность систему

 

 

 

 

 

 

3x1 x2 x3 5x4 5x5 4,

 

 

3x 4x 4x 5.

 

 

2

3

5

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

1

5

 

3

 

4

 

2

 

 

 

 

5

25

15

 

X

 

20

10

 

 

 

6. Решите матричное уравнение

 

 

.

 

 

 

 

2

10

6

 

 

 

8

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Пусть P4 – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и

p(x) P4 . Найдите матрицу оператора A в базисе 1, x,

x2 , x3 , если

 

 

Ap xp(x 1) xp(x) 2 p(x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

 

 

0

 

8

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

9

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

10

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

9. Матрица линейного преобразования A

2

1

 

1

 

задана в базисе e , e , e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите матрицу этого преобразования в базисе f1,

f2 , f3 , где f1 2e1 e3 ,

f2

e2 2e3 ,

f3 e1 e2 2e3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 7

1. Какая кривая определена уравнением 16x2 100y2 48x 100y 57 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены в точках F1( 2, 1) и F2 ( 2, 5) , а одна из директрис удалена от центра гиперболы на расстояние,

равное 1.

3. Заданы точки A 2, 1, 1 , B 1, 1 , 1 , C 1, 2, 3 и D 1, 0, 2 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 z2 6y 4z 20 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

 

2x1 4x2 x3 4x4 x5 1,

 

 

4x2 x3 x4 2x5 4,

5. Исследуйте на совместность систему

x1

 

12x 2x

 

x 2,

 

 

4

 

1

 

5

 

 

4x1 x4

1.

 

 

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

 

1

1

0

7

4

3

 

6.

Решите матричное уравнение X

 

1

2

3

 

 

 

 

2

3

.

 

 

 

6

3

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Линейный оператор Ap (3t 2) p(t)dt

действует из P3

в P5 , где Pn – линейное

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространство многочленов степени, не превышающей n . Найдите матрицу оператора A ,

если в качестве базиса в Pn выбрать 1,

x,..., xn .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

 

 

3

2

0

 

 

 

 

2

5

2

 

 

 

 

.

 

 

 

0

4

3

 

 

 

 

 

2

1

линейного преобразования в некотором базисе. Укажите

9. Дана матрица A

3

 

4

 

 

 

 

 

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 8

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 25y2 16x 50y 109 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте уравнение параболы с фокусом F( 1, 1) и директрисой x y .

3. Заданы точки A 3, 1, 1 , B 0, 2

, 0 , C 2, 1, 1 и D 3, 1, 2 . Найдите:

1)

скалярное произведение (AC, AD)

и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3)

смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки

A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение y2 z2 x 2z 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

 

2x1 5x2 x3 5x4 x5 1,

 

 

5x2 x3 x4 2x5 5,

5. Исследуйте на совместность систему

x1

 

15x 4x

 

x 2,

 

 

4

 

1

 

5

 

 

5x1 x4

2.

 

 

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

1

1

1

3

1

3

 

6. Решите матричное уравнение X

 

1

0

2

 

 

 

 

0

1

3

.

 

 

6

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

7. Линейный оператор Ap p(t 1)dt действует из P4 в P5 , где Pn – линейное

0

пространство многочленов степени, не превышающей n . Найдите матрицу оператора A ,

если в качестве базиса Pn выбрать 1, x,..., xn .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

1

1

3

 

 

3

1

3

 

 

.

 

3

1

5

 

 

 

 

5

3

1

 

 

 

 

 

9. Матрица линейного преобразования A

 

2

0

2

 

задана в базисе e , e , e .

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

4

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите матрицу этого преобразования в базисе

f1, f2 , f3 , где

f1 2e2 e3 ,

f2 e1

e3 ,

f3 e1 2e2 e3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9

1. Какая кривая определена уравнением 36x2 100y2 108x 100y 52 0? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с фокусами F1( 1, 3) , F2 (5, 3) и вершиной

A(2, 5) .

3. Заданы точки A 2, 1, 5 , B 1, 2

, 3 , C 1, 1, 0 и D 1, 1, 2 . Найдите:

1)

скалярное произведение (AC, AD)

и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3)

смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки

A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 4y2 6x 16y 9 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

 

2x1 6x2 x3 6x4 x5 1,

 

 

6x2 x3 x4 2x5 6,

5. Исследуйте на совместность систему

x1

 

18x 6x

 

x 2,

 

 

4

 

1

 

5

 

 

6x1 x4

3.

 

 

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

 

1

1

3

 

1

1

3

 

6.

Решите матричное уравнение X

 

1

2

0

 

 

 

 

1

3

.

 

 

 

4

2

6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

x

 

действует из P4 в P5 , где Pn – линейное

 

Линейный оператор Ap (t 1) p

(t)dt

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространство многочленов степени, не превышающей n . Найдите матрицу оператора A ,

если в качестве базиса в Pn выбрать 1,

x,..., xn .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

8

1

 

 

 

 

.

 

 

 

0

2

3

 

 

 

 

 

1

4

линейного преобразования в некотором базисе. Укажите

9. Дана матрица A

1

 

4

 

 

 

 

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 10

1. Какая кривая определена уравнением 16x2 y2 48x 32 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с фокусами F1( 1, 2) и F2 (9, 2) , если расстояние между ее вершинами равно 6.

3. Заданы точки A 4, 1, 1 , B 3, 2, 1 , C 1, 1, 0 и D 2, 0, 2 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение y2 z2 x2 6y 4 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

 

2x1 7x2 x3 7x4 x5 1,

 

 

6x2 x3 x4 2x5 7,

5. Исследуйте на совместность систему

x1

 

21x 8x

 

x 2,

 

 

4

 

1

 

5

 

 

7x1 x4

4.

 

 

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

4

2

2

2

6. Решите матричное уравнение X

 

1

4

2

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

0

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Линейный оператор A каждой квадратной матрице второго порядка X ставит в

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

X T . Найдите матрицу оператора A в базисе

соответствие матрицу A(X )

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

0

0

1

0

0

0

0

 

 

X T

– транспонированная матрица X .

 

 

,

 

,

 

,

 

. Здесь

0

0

0

0

1

0

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

1

2

0

 

 

2

1

2

 

 

.

 

0

2

1

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

9. Матрица линейного преобразования A

 

4

5

6

 

задана в базисе e ,

e , e .

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

7

8

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите матрицу этого преобразования в базисе

f1, f2 , f3 , где

f1 e2 2e3 , f2

e1

e3 ,

f3 e1 e2 2e3 .