Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матан курсач (дифференциальные уравнения)

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
291.44 Кб
Скачать

Варианты контрольных заданий по дифференциальным уравнениям

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора(найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 1

1.1y¢ = 5x+ y .

1.22x2 y¢ = x2 + y2 .

1.3y¢ + y = x y .

1.4

æ

 

x2 + y2 ö

x2 + y2

ç

2x +

 

 

 

÷dx =

 

 

dy .

x

2

y

xy

2

 

è

 

 

ø

 

 

1.5y3 y¢¢ +1 = 0 .

1.6x2 y¢¢ = y¢2 .

1.7y¢¢(x + 2)5 =1; y (-1 )= 121 , y¢(-1 )= - 14 .

1.8y¢¢¢ + y¢ = 0; y (0) =1, y¢(0) = -1, y¢¢(0) = 0 .

1.9y¢¢ - 3y¢ + 2 y = (x2 + x)e3 x .

1.10y¢¢¢ + 4 y¢¢ = x -1 + cos4x .

 

 

¢¢

2

 

p 2

 

1.11

y

+p y = cosp x .

 

1.12

y¢ = x - 2 y,

y (0) = 0 .

1.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(0; 2), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в 3 раза.

1.14Найти силу тока в катушке в момент t , если ее сопротивление R , индуктивность L , а электродвижущая сила (эдс) меняется по закону E = E0 sin wt . Начальная сила тока i0 = 0 .

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 2

2.1x dx + y =1. dy

2.2y¢ = x + y . y x

2.3(sin2 y + xctgy )y¢ =1.

2.4e- y dx - (2 y + xe- y )dy = 0 .

2.5(1 + x2 )y¢¢ - 2xy¢ = 0; y (0) = 0; y¢(0) = 3 .

2.6y¢¢(x +1)- 2 y¢ = 0 .

2.7y¢¢ = 1 + y¢2 .

2.8y¢¢¢ - 5y¢¢ + 8y¢ - 4 y = 0; y (0) = 0, y¢(0) = -1, y¢¢(0) = -3.

2.9y¢¢ - 2 y¢ + y = 6xex .

2.10y¢¢ - 3 y¢ = x + cosx .

2.11 y

¢¢

+ 3y

¢

=

 

9e3 x

 

1 + e3 x .

 

 

2.12y¢¢ + xy¢ + y = 0; y(0) = 0, y¢(0) =1.

2.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; 5), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в 8 раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.

2.14За сколько времени тело, нагретое до 1000 , в комнате с температурой Т0 = 200

охладится до 250 , если до 600 оно охладится за 10 мин.?

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 3

3.1y¢ = cos( y - x).

3.2y¢ = x + y .

x- y

3.3xy¢ + y = ex , y (1) =1.

3.4(3x2 - 2 - 2x - y )dx + (2 y - x + 3y2 )dy = 0 .

3.5yIV = x .

3.6x3 y¢¢ + x2 y¢ =1.

3.7(y¢)2 = y¢¢( y -1).

3.8y¢¢¢ - 5 y¢¢ = 0; y (0) = 5, y¢(0) = 28, y¢¢(0) =125 .

3.9y¢¢ + y = sin x .

3.10y¢¢ + 3y¢ - 4 y = e-4 x + xe-x .

3.11y¢¢ + 4 y = 8ctg2x .

3.12y¢¢ + x2 y = 0; y (0) =1, y¢(0) =1.

3.13Записать уравнение кривой, проходящей через точкуA(0; 4), если известно,

что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.

3.14Катер движется со скоростью 18 км/ч. Через 5 мин после выключения мотора его скорость уменьшилась до 6 км/ч. Найти расстояние, пройденное катером по инерции за 15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости движения катера.

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 4

4.1y¢ - y = 2x - 3 .

4.2(x + 2 y )dx - xdy = 0 .

4.3y¢ = y4cosx + ytgx .

4.4(2x3 - xy2 )dx + (2 y3 - x2 y )dy .

y¢

4.5 y¢¢ - x -1 = x (x -1); y 2( =)1, y¢(2 )= -1.

4.6 xy¢¢ = y¢ln y ' x

4.7 ( y¢ )2 = y -1 . y¢¢ 2

4.8y¢¢¢ + 4 y¢ = 0; y (0) = 3, y¢(0) = -2, y¢¢(0) = -4 .

4.9y¢¢ + 7 y¢ +10 y = 2xe-2 x .

4.10y(5) + 4 y¢¢¢ = x + 2 + 5exsinx .

4.11

y

¢¢

- 6 y

¢

+ 8 y =

 

4

 

 

 

1 + e-2 x .

 

 

 

 

 

 

4.12

y¢ = x2 y + y3 ;

y (0) =1.

точкуA(2; 3) и

 

4.13

Записать уравнение кривой, проходящей через

обладающей

 

свойством: длина перпендикуляра, опущенного

из начала

координат н

 

касательную к кривой, равна абсциссе точки касания.

 

4.14Снаряд массы m выброшен из ствола орудия со скоростью u0 под углом a к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти траекторию снаряда, время полета.

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 5

5.1

(x + 2 y) y¢ =1; y (0) =1.

5.2

y

¢

=

x + 2 y +1

 

; y (1 )= -1.

2x + 4 y + 3

 

5.3xy2 y¢ = x2 + y3.

5.42xydx + (x2 - y2 )dy = 0 .

5.5y¢¢ = 2x( y¢)2 ; y (2) = 3, y¢(2) = -0, 25 .

5.6y¢¢ = 1 .

x

5.72 yy¢¢ = y¢2 + y2 .

5.8y¢¢¢ - 3y¢¢ + 3y¢ - y = 0; y (0) =1, y¢(0) = 0, y¢¢(0) = 3 .

5.9y¢¢ + 6 y¢ + 9 y = 5e-3 xsinx .

5.10y¢¢ - 2 y¢ - 8 y = ex - 8cos2x .

5.11 y¢¢ - 9 y¢ +18y =

9e3 x

1 + e-3 x

 

5.12y¢ = x + 2 y2 ; y (0) = 0 .

5.13Записать уравнение кривой, проходящей через точкуA(4; 1) и обладающей

свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Oy , равен квадрату абсциссы точки касания.

5.14 Конденсатор С разряжается на цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности L и активного сопротивления R . Найти силу тока i в

контуре, если при t = 0;i0 = 0; di = U0 . dt L

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 6

6.1 y¢ = 4x + 2 y -1 . 6.2 y2 + x2 y¢ = xy × y¢.

6.3 (1 + x2 ) y¢ - 2xy = (1 + x2 )2 .

6.4 2 + 2xy dx - 2x dy = 0 . y y2

6.5y¢¢ = y¢(1 + y¢).

6.6xy¢¢ - y¢ = x2ex .

6.7xy(5) - y(4) = 0 .

6.8y¢¢¢ + 9 y¢ = 0; y (0) = 2, y¢(0) = 3, y¢¢(0) = 0 .

6.9y¢¢ + 2 y¢ + y = e-xcosx .

6.10y¢¢¢ - 4 y¢ = xe2 x + sinx + x2 .

 

¢¢

2

p 2

 

6.11 y

+p y = sinp x .

 

6.12y¢¢ - xy2 = 0; y (0) =1, y¢(0) =1.

6.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(4; 10), если известно, что отрезок, отсекаемый касательной к кривой на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

6.14Тело падает с высоты h при начальной скорости u0 = 0. Найти зависимость между скоростью и пройденным путем, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 7

7.1(1 + y2 )dx + (1 + x2 )dy = 0 .

7.2(y2 - 2xy )dx + x2dy = 0.

7.3y¢ + 2 y = 4x .

7.4(1 + y2sin2x)dx - 2 ycos2 xdy = 0 .

7.5(1 + x2 ) y¢¢ +1 + y¢2 = 0 .

7.6y¢¢ = x + sinx .

7.7y¢¢× y(4 ) + ( y¢¢¢)2 = 0 .

7.8y¢¢¢ - 3y¢ + 2 y = 0; y (0) = 0, y¢(0) = 5, y¢¢(0) =1.

7.9y¢¢ + 5 y¢ + 6 y = -5e-2 xcosx .

7.10y(4) + y¢¢ = 3x -10sinx + 6cosx .

4e-2 x

7.11y¢¢ + 6 y¢ + 8 y = 2 + e2 x .

7.12(1 - x) y¢ =1 + x - y, y (0) = 0 .

7.13Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь треугольника,

образованного касательной к кривой, перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная b2 .

7.14Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/с, а ее скорость через 4 с равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0,25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки?

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 8

8.1ey (1 + x2 )dy - 2x (1 + ey )dx = 0 .

8.2x + y - 2 + (1 - x) y¢ = 0 .

8.3y¢ + 2xy = y2ex2 .

8.4 xdx + ydy = ydx - xdy .

x2 + y2

x2

8.5y¢¢¢ = cos2x .

8.6y¢¢ + y¢2 = 2e- y .

8.7y¢¢(ex +1)+ y¢ = 0 .

8.8y¢¢¢ + 7 y¢¢ +11y¢ + 5 y = 0; y (0) = 2, y¢(0) =1, y¢¢(0) = -4 .

8.9y¢¢¢ + 4 y¢ = x2 .

8.10y¢¢ -8 y¢ + 20 y = 5xe4 xsin2x .

e-x

8.11y¢¢ - y¢ = 2 + e-x .

8.12y¢ + xy = 0; y (0) =1.

8.13Найти кривую, обладающую следующим свойством: если в любой точке кривой провести касательную, то точка пересечения этой касательной с осью ОХ будет являться вершиной равнобедренного треугольника, у которого основанием является отрезок, соединяющий начало координат с точкой касания.

8.14Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты h . Какой была бы скорость метеорита при достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала земная атмосфера? Радиус Земли R = 6377 км.

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9

 

 

 

 

 

 

 

= y¢(1 + x2 ).

9.1

2x

1 - y2

9.2

(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7 y - 3)dy = 0 .

9.3

 

dy

+

y

= -xy2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

x

 

 

 

 

 

9.4

 

3x

2 + y2

dx -

2x3

+ 5y

dy = 0 .

 

 

y2

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

9.5y¢¢¢ = 1 - y¢¢2 .

9.6xy¢¢ = 1 + y¢2 ; y (1 )= 0; y (e2 ) =1.

9.72xy¢y¢¢ = y¢2 -1.

9.8y¢¢¢ + 3y¢¢ = 0; y (0) = 6, y¢(0) = -15, y¢¢(0) = 36 .

9.9y¢¢¢ - 2 y¢ = x2 - x .

9.10y¢¢ + y = sinx - 2e-x .

1

9.11 y¢¢ - 3y¢ + 2 y = 3 + e-x .

9.12 y¢¢ = y¢2 + xy; y (0) = 4; y¢(0) = -2 .

9.13 Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной к кривой и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, есть величина постоянная, равная

3a2 .

9.14 В коническую воронку высотой Н и углом при вершине конуса 2a налита вода. Найти зависимость между переменной высотой уровня воды h в воронке и временем истечения t, если площадь отверстия s см2 . Определить полное время истечения воды.

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

Вариант 10

10.1y¢ = sinx - y .

10.22x - 3y - 5 + (3x + 2 y - 5) y¢ = 0 .

10.3y = x( y¢ - xcosx).

10.4(x + y)dx + (x + 2 y)dy = 0 .

10.5y¢¢¢ = 1 .

x

10.6y3 y¢¢ = -1; y(1) =1, y¢(1) = 0 .

10.7xy¢¢ + xy¢2 - y¢ = 0 .

10.8y¢¢¢ + 3y¢ = 0; y (0) = 6, y¢(0) = 0, y¢¢(0) = -3.

10.9y¢¢ + 9 y = 3cos3x .

10.10y(5) + 4 y(3) = x + 2 + 5exsinx .

10.11 y¢¢ +16 y = 16 . sin 4x

10.12(1 - x2 )y¢ + xy =1, y (0) =1.

10.13Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь треугольника,

ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная a2 .

10.14В сосуд, содержащий 20 л воды, непрерывно со скоростью 5 л в минуту поступает раствор, в каждом литре которого содержится 0,2 кг соли. В сосуде раствор перемешивается, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 4 мин?