Матан курсач (дифференциальные уравнения)
.pdf
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 11
11.1exsin 2 y + (1 + e2 x )cosy × y¢ = 0 .
11.2xy¢ = yln y .
x
11.3y¢ = 3x2 y + x5 + x2 ; y (0) =1.
11.42x (1 + 
x2 - y )dx - 
x2 - ydy = 0 .
11.5y¢¢ = 2xlnx .
11.6y¢¢(ex +1)+ y¢ = 0 .
11.7y × y¢¢ = y¢2 - y¢3 .
11.8y¢¢¢ + 4 y¢¢ + y¢ - 6 y = 0; y (0) = 9, y¢(0) = -13, y¢¢(0) = 47 .
11.9y¢¢ + 2 y¢ + y = ex (x + 3).
11.10y¢¢ + 4 y = 2sin2x - 3cos2x +1.
11.11y¢¢ + 0,25 y = 0, 25ctg (x / 2).
11.12y¢¢ = xy¢ - y2 ; y (0) =1, y¢(0) = 2 .
11.13Записать уравнение кривой, если известно, что расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания.
11.14Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При прохождении через катушку электрического тока выделяется теплота. Вывести формулу для температуры T = T (t ) установившегося режима как функции
времени t .
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 12
12.1 y2 sin xdx + cos2 x × ln ydy = 0 .
12.2 (x - 2 y -1)dx + (3x - 6 y + 2)dy = 0 . 12.3 x2 y¢ + xy +1 = 0 .
12.4 (x + y2 )dx - 2 y dy = 0 . x2 x
12.5y¢¢ - 2ctgx × y¢ = sin3 x .
12.6xy¢¢ = y¢ + x2 .
12.7y¢¢ = y¢æç1 + ln y¢ ö÷; y (1 )= -2
e, y¢(1 )= 
e.
xè x ø
12.8y¢¢¢ + 2 y¢¢ = 0; y (0) = 6, y¢(0) = -7, y¢¢(0) = 20 .
12.9y¢¢ - 3y¢ + 2 y = e3 x (3 - 4x).
12.10y¢¢ - 4 y¢ + 8y = e2 x + sin2x .
e-x
12.11y¢¢ + 3y¢ + 2 y = 2 + ex .
12.12xy¢¢ + ysinx = x; y (p ) =1, y¢(p ) = 0 .
12.13Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2 / 3 абсциссы точки касания.
12.14Колебательный контур, представляющий собой замкнутую электрическую цепь, обладает емкостью C , индуктивностью L и активным сопротивлением R . При переходе энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки (и обратно) часть энергии контура затрачивается на активном сопротивлении, в результате чего величина напряжения на конденсаторе постепенно уменьшается. Найти закон изменения тока I в контуре.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 13
13.1y + xy¢ = a(1 + xy); y æç 1 ö÷ = -a .
èa ø
13.28x + 4 y +1 + (4x + 2 y +1) y¢ = 0 .
13.3xdx = (x2 y - y3 )dy.
|
æ 2 y |
ö |
|
æ |
1 |
ö |
||||
13.4 |
ç |
|
|
+ y cos xy ÷dx + ç x cos xy - |
|
|
÷dy = 0 . |
|||
x |
3 |
x |
2 |
|||||||
|
è |
|
ø |
|
è |
|
ø |
|||
13.5 |
xy¢¢ = y¢ + xsin |
y¢ |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
13.6. (1 + x2 )y¢¢ - 2xy¢ = 0; y (0) = 0, y¢(0) = 3
13.7y × y¢¢ - y¢2 = y4 .
13.8y¢¢¢ + 2 y¢ = 0; y (0) = 8, y¢(0) = 0, y¢¢(0) = -6 .
13.9y¢¢ + 2 y¢ = 4x2 + 3 .
13.10y¢¢ + 6 y¢ +10 y = 3xe-3 x - 2e3 xcosx .
13.11 y¢¢ + 2 y¢ + y = |
|
5e- x |
|||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
3 |
|
x +1 |
|||
13.12y¢¢¢ + xsiny = 0; y (0) = p 2 , y¢(0) = 0, y¢¢(0) = 0 .
13.13Записать уравнения кривых, обладающих свойством: длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равна 2l .
13.14Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, подающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 1 м поглощается ¼ первоначального светового потока. Какая часть светового потока дойдет до глубины h ?
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 14
14.1(a2 + y2 )dx + 2x
ax - x2 dy = 0; y (a )= 0 .
14.2(x + y)dx + (x + y -1)dy = 0 .
14.3y¢ + ycosx = cosx; y (0) =1.
14.4(2 - 9xy2 )xdx + (4 y2 - 6x3 ) ydy = 0 .
14.5xy¢¢ + y¢ = 0 .
24
14.6y¢¢¢ = .
(x + 2)5
14.71 + y¢2 = 2 yy¢¢.
14.8y¢¢¢ - y¢¢ -16 y¢ - 20 y = 0; y (0) = 5, y¢(0) = -3, y¢¢(0) =10 .
14.9y¢¢¢ - y¢¢ + y¢ - y = 2xex .
14.10y¢¢ - 9 y = 3e3x - cosx .
14.11y¢¢ + 2 y¢ + y = 2e- x × 3
x .
14.12y¢¢ = x2 y - y¢; y (0) =1, y¢(0) = 0 .
14.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; 4) и обладающей свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания.
14.14Пустой железный шар находится в стационарном тепловом состоянии (т.е. в состоянии, при котором температура в разных точках тела разная, но в каждой отдельной точке с течением времени не изменяется). Внутренний радиус шара 6 см, внешний – 10 см, температура внутренней поверхности
2000 C , а внешней -200 C . Найти температуру в точках, находящихся на расстоянии 9 см от центра шара.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 15
¢ |
+ sin (x - y) = sin (x + y); y |
p( |
=) |
p |
|
|
2 . |
||||||
15.1 y |
||||||
15.2 (x + y)dx + (x - y - 2)dy = 0 .
15.3 y¢ = y +1; y (1 )= 0 . x
15.4(3x2 - y cos xy + y )dx + (x - x cos xy )dy = 0 .
15.52xy¢y¢¢ = ( y¢)2 +1.
15.6xy¢¢ = y¢.
15.7y¢¢ = ae- y¢ .
15.8y¢¢¢ + y¢¢ + y¢ + y = 0; y (0) = 3, y¢(0) = -2, y¢¢(0) =1.
15.9y¢¢ + 6 y¢ + 9 y =10sinx .
15.10y¢¢ - 2 y¢ + 5y = excosx - x2 .
15.11y¢¢ + 2 y¢ + y = e- x 
x +1 .
15.12y¢¢ - (1 + x2 ) y = 0; y (0) = -2, y¢(0) = 2 .
15.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(1; 5) и обладающей
свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.
15.14Ускорение локомотива, начальная скорость которого равна u0 , прямо пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m . Сила тяги локомотива F (t ) = b - ku (t ), где u (t ) - скорость локомотива в момент t , а b и k -постоянные величины. Определить зависимость силы тяги локомотива от времени t .
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ -15 ö |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16.1 |
yln |
|
y + y¢ x +1 = 0, y ç |
|
÷ |
= е . |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
16 ø |
|
||
16.2 |
(y + |
|
|
|
|
)dx = xdy . |
|
|
|
|||||||
|
|
xy |
|
|
|
|||||||||||
16.3 |
¢ |
|
|
|
|
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|||
|
xy |
- 2 y = 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||
16.4 |
|
y |
dx + (y3 + lnx)dy = 0 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
y¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.5 |
|
y¢¢ = |
+ x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
16.6 |
|
y¢¢¢ = 2( y¢¢ -1)ctgx . |
|
|
|
|||||||||||
16.7 |
|
y¢¢ + 2( y¢)2 / (1 - y) = 0, |
y(0) = 0, y¢(0) =1 . |
|||||||||||||
16.8y(IV) - 5 y¢¢ + 4 y = 0, y (0) = -2, y¢(0) =1, y¢¢(0) = 2, y¢¢¢(0) = 0 .
16.9y¢¢ - 5 y¢ + 4 y = 4x2e2 x .
16.10y(V) + 4 y¢¢¢ = ex + 3sin2x +1.
16.11y¢¢ - y =1 / (5e- x -1).
16.12 y¢¢ - xy¢ + y -1 = 0; y (0) = 0, y¢(0) = 0 .
16.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(1; 2) и обладающей
свойством: отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касательной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэффициент пропорциональности равен 3.
16.14Последовательно включены катушка с индуктивностью L , сопротивление R и конденсатор емкости C , заряд которого при t = 0 равен q . Цепь замы-
кается при t = 0 . Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 17
17.1y = lny; y (2 )=1. y¢
17.2xy¢ - y = xtg y .
x
17.3x ( y¢ - y ) = (1 + x2 )еx .
17.4yxy-1dx + x ylnxdy = 0 .
17.5y¢¢ = arctgx .
17.6(1 - x2 )y¢¢ + xy¢ = 2 .
17.7 y¢¢(1 + y) = 5( y¢)2 ; y (0) = 0, y¢(0) =1.
17.8y(IV) -10 y¢¢ + 9 y = 0; y (0) = y¢(0) = 0, y¢¢(0) = 8, y¢¢¢(0) = 24 .
17.9y¢¢¢ - 4 y¢¢ + 5 y¢ - 2 y = 2x + 3 .
17.10y¢¢ + 9 y = 2xsinx + xe3x .
17.11y¢¢ + 5 y¢ + 6 y = e-2 x / (e2 x +1).
17.12y¢¢lnx - sinxy = 0; y (e) = e-1, y¢(e) = 0 .
17.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; -1), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности равен 6.
17.14В результате химической реакции между веществами А и В образуется вещество С. Установить зависимость в реакцию количества веществ А и В были равны соответственно a и b . Скорость реакции пропорциональна произведению реагирующих масс.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
18.1 |
( |
|
- |
|
)dx + ( |
|
+ |
|
)dy = 0 . |
||
xy |
x |
xy |
y |
||||||||
18.2 |
(xy¢ - y)arctg |
y |
= x; y (1 )= 0 . |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
18.3y¢ = y + 1 .
xy
18.4еy dx + (xе y - 2 y )dy = 0 .
18.5y¢¢ = y¢ + x2 ; y (2 )= 0, y¢(2 )= 4 .
xy¢
18.6y¢¢x ln x = y¢.
18.7 y¢¢(2 y + 3) - 2( y¢)2 = 0; y (0) = 0, y¢(0) = 3 .
18.8y¢¢¢ - y¢¢ + y¢ - y = 0; y (0) = y¢¢(0) = 0, y¢(0) =1.
18.9y¢¢¢ - y¢¢ - 6 y¢ = 6x + 2 .
18.10y¢¢ + y = 4cosx + (x2 +1)ex .
18.11 y¢¢ - 4 y¢ + 4 y = |
|
e2 x |
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
||||
3 |
x + 8 |
|||
18.12y¢¢ + xy = 0; y (0) = 0, y¢(0) =1.
18.13Записать уравнение кривой, обладающей свойством: отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
18.14Стальная шаровая оболочка с внутренним радиусом 6 см и внешним 10 см находится в стационарном тепловом состоянии. Температура на внутренней ее поверхности равна 2000 C , а на внешней 200 C . Найти температуру на расстоянии r от центра и количество теплоты, которое в I с шар отдает наружу (теплопроводность стали k = 0,14 ).
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 19
19.1y¢ + sin (x + y) = sin (x - y).
19.2xy¢ = y + xcos2 y .
x
19.3y¢cosx - ysinx = 2x; y (0) = 0 .
19.4(x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0 .
19.5xy(IV) =1.
|
|
y¢ |
|
x2 |
2 |
|
2 |
|
|
19.6 |
2 y¢¢ = |
|
+ |
|
; y (1 )= |
|
, y¢(1 )= |
|
. |
x |
y¢ |
5 |
2 |
||||||
19.7 |
4(y¢¢)2 =1 + (y¢)2 ; y (0) =1, y¢(0) = 0 . |
||||||||
19.8y¢¢¢ - 3y¢¢ + 3y¢ - y = 0; y (0) = y¢(0) = 0, y¢¢(0) = 4 .
19.9y¢¢¢ + y¢¢ = -x .
19.10y(IV) -16 y = xex + 2sin2x - 3cos2x .
19.11y¢¢ + 9 y = cosec3x .
19.12y¢ = x2 - y2 ; y (0) = 0 .
19.13Записать уравнение кривой, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в какой-либо точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
19.14Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону E = E0 sin wt , сопротивление R , катушка с индуктивностью L и конденсатор с емкостью C . Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте w сила тока наибольшая?
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
20.1 |
yy¢ = |
|
2x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
||||||
20.2 |
y¢ = е |
y |
+ |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
20.3 |
2 ydx + (y2 - 6x )dy = 0 . |
|
||||||||||||||
20.4 |
æ |
2 |
|
|
|
|
|
2 y3 ö |
æ |
3 |
|
2 |
||||
ç |
3x |
tgy - |
|
|
|
|
|
÷dx + ç x |
|
sec |
|
|||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
Вариант 20
y+ 2 y3 + 3y2 ödy = 0.
x2 ÷ø
20.5y ''' = x + cos x.
20.6y ''' = 
1 + ( y '' )2 .
20.72(y ')2 = (y -1) y '', y (0) = y '(0) = 2.
20.8y '''- y ''+ 4 y '- 4 y = 0, y (0) = -1, y '(0) = 0, y ''(0) = -6.
20.94 y '''+ y ' = 2sin (x / 2).
20.10y(IV) + 2 y '''+ 2 y ''+ 2 y '+ y = xex + 0,5cos x.
20.11y ''+ y =1 / sin3 x.
20.12y ''- sin (xy) = 0, y (0) = 0, y¢(0) =1.
20.13Записать уравнение кривой, для которой произведение абсциссы какой-либо
ееточки и длины отрезка, отсекаемого нормалью в этой точке на оси Oy ,
равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.
20.14Конденсатор емкостью C включается в цепь с напряжением U и сопротивлением R . Определить заряд q конденсатора в момент t после включения.