Integraly_MTUSI

ВАРИАНТ 1

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1.

ò

dx

;

4. ò

3x4 + 2x -1

dx ;

5

x3 - x2

2 - 5x

2.

ò

ln xdx ;

5. ò

xdx

;

x

3

dx

x + 2

3.

ò

;

6.

òsin3 2x ×cos2 2xdx .

2 + 3x -

2x

2

II. Вычислить определенные интегралы:

2

dx

1/ 2

1.

ò

;

4.

ò arcsin 2xdx ;

2

1

x

+ x

0

p

1

1 + cos 2x

xdx

2.

ò

dx ;

5. ò

.

x

2

0

2

0

+ 3x + 2

2dx

3.ò1 x1 + x2 ;

III. Вычислить несобственные интегралы:

	¥	dx			e		dx
1.	ò			;	3. ò					.
		(x -1)	2
								2
	2				1 x 3		(ln x )
	¥
2.	òe-ax sin bxdx, a > 0;
	0

Определить сходимость несобственных интегралов:

								1 ln (1 + 5					)
¥			x5dx									x
4. ò							;	5. ò						dx .
	x	15	+ 3x	10	- x	8			e	x	-1
1								0

IV. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éy = 4 - x2 ,

1.êë y = x2 - 2x.

2.r = a sin 3j, a > 0 .

3.Вычислить длину дуги той части кривой y = ln sin x , которая расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми

x =	p	и	x =	2p	.
3			3

ВАРИАНТ 2

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò xe

-3 x2

dx ;

4. ò

dx

;

x3 - x2 - x +1

ln x

2. ò

dx;

5. ò

xdx

;

x2

1 + 2 4

x

3.

ò

2x + 5

dx ;

6. òsin5 x ×cos2 xdx .

x

2

+ 4x + 5

II. Вычислить определенные интегралы:

p

1

e

2 x

dx

3

1. ò

;

4. òtg 4 x ×sec4 xdx ;

2 x

0

1 + e

p

4

8

xdx

2

dx

2. ò

;

5. ò

.

1 + x

2

+ 4x - 4

3

1 x x

p

2

3. ò x cos xdx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

-7

dx

1.

ò

;

3. ò

.

x

2

+ 4x + 9

x

2

-2

-10

+ 8x + 7

3

dx

2. ò

;

4x - x

2

- 3

1

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥

1

x2 + x +

7

dx

4.

ò

dx ;

5. ò

.

x

16

- 3x

2

+ 8

3

0

tgx - x

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y = x2 - 4x + 4,

ê

1. ê y = x + 4, êë y = 0.

2. r = cos 4j

3. Вычислить длину дуги всей кривой y = ln (1 - x2 ), которая расположена выше прямой y = ln 3 - 2ln 2 .

ВАРИАНТ 3

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

2 -

3

dx ;

x5dx

x -1

4. ò

;

1 - x

2

x -1

2. ò

2x + 3

5. ò

dx

dx;

;

x3 - 2x2 + 4x

4 sin2 x + cos2 x

ò

x

2

2

2xdx ;

ò

æ

p ö

æ

p ö

3.

cos

6.

sin ç5x -

÷cos ç x +

÷dx .

4

è

4 ø

è

ø

II. Вычислить определенные интегралы:

p

1

xdx

2

1. ò

;

4.

òcos4 x ×sin3 xdx ;

0

x +1

0

1

3

ex dx

dx

2. ò

;

5. ò

.

e

x

+ e

- x

2

0

2 x x

- x + 3

2

3. ò(3x + 2)ln xdx ;

1

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

7

x2dx

1. ò x2 e-x3 dx ;

3. ò

.

49 - x

2

0

-7

2dx

2.ò ;

01 - x2

Определить сходимость несобственных интегралов:

1

ln x

¥

3x2 +15x -1

4. ò

dx ;

5. ò

dx .

10x

10

+ 8x

8

+ 7x

x

0

2

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éxy = 6,

1. êëx + y - 7 = 0. 2. r = 2 (1 + sinj ).

3. Вычислить длину дуги всей кривой		y = 2(ex / 4 + e-x / 4 ), которая
	æ	1 ö
расположена ниже прямой y = 2	çe +		÷ .
	è	e ø

ВАРИАНТ 4

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

arcsin x

dx ;

4. ò

(x + 5)dx

;

x4 + 2x3 + x2

1 - x2

-1

dx ;

2.

ò x cos5xdx;

5. ò

x +1

3

x -

3

x +1 +1

3.

ò

dx ;

6. òcos 7x ×sin 3xdx .

x

2

- 2x + 5

II. Вычислить определенные интегралы:

5

xdx

3

dx

1. ò

;

4. ò

;

2

0

1 + 3x

2 x

- 6x + 5

p

6

x2 - 9

4

2. ò

3

dx ;

5. òtg

xdx .

x

4

3

0

1

3. ò x ln (1 + x2 )dx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

8

8 + x

1.

ò

;

3. ò

dx .

x

2

+1

8 - x

-¥

0

¥ dx

2.ò1 x1 + x4 + x8 ;

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥		7x5 + 3x2 -1							1	dx
4. ò								dx ;	5. ò		.
	15x		12	+ 7x	3	+ 5				ln x
0									0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éê y = (x -1)3 ,

1.êx = 0, êêx = 3,

êy = 0.

ë

2.r = 3 - 2 cosj .

3.Вычислить длину дуги той части кривой y = x2 - ln x , , которая

4 2

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми x =1 и x = 2 .

ВАРИАНТ 5

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

sin 3x

4. ò

dx

dx ;

;

3 - 5cos 3x

x4 - x2

-1

dx ;

2.

ò xe2 x dx;

5. ò

x

3

2x - 3

x +1

3.

ò

dx ;

6. òcos4 x ×sin2 xdx .

x

2

- 4x - 7

II. Вычислить определенные интегралы:

3

1 + x

2

1

2

1. ò

dx ;

4. ò

3 - 2x + x

dx ;

x

2

1

-1

p

p

3

xdx

3

3

2.

ò

;

5. òctg

xdx .

sin

2

p

2x

p

4

4

3

dx

3. ò2

;

x2 - 2x + 8

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥ ln xdx

3

3 + x

1. ò

;

3. ò

dx .

x

2

3 - x

1

0

¥

dx

2. ò

;

2

2 x

+ x - 2

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥	(x2 + 4)5					1	ln xdx
4. ò					dx ;	5. ò					.
	(x		+ 8)	3
		4					1 - x		2
3						0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y2 = 4 (2 - x)3 ,

1.êê 9 ëx =1.

ìr = aemj , 0 £ j £ 2p; a > 0; m > 0,

2.í

îj = 0.

-первым витком логарифмической спирали и полярной осью.

3.Вычислить длину дуги всей кривой y = arcsin e-x , которая расположена левее прямой x =1.

ВАРИАНТ 6

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

sin 2x

4. ò

dx

dx ;

;

cos3 x

3 + 2 cos 3x

(

x3

+

)

dx

2. ò

1 dx

;

5. ò

;

x3 - 2x2 + 3x

ex -1

3.

òarctg

6. òtg4

x

dx .

xdx ;

3

II. Вычислить определенные интегралы:

p

2

x2 -1

1.

òx2 cos xdx ;

4. ò

dx ;

0

1

x

3

25

(x + 2)2

1

dx

2. ò

dx ;

5. ò

,0

< a < p .

2

+ 3 (x +

2)

2

-1 3

-1 x

- 2x cosa +1

1/ 2

arcsin xdx

3.

ò

;

0

1 + x

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

- x2

4

dx

1. ò xe

dx ;

3. ò

.

x

2

- 4

0

2 x

1 x3

+ 3

- 2

x

2. ò

dx ;

5

x

3

0

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥	3x	2			1	cos (	1/	x)
4. ò			+ 5x + 7	dx ;	5. ò				dx .
	7x		8			3
1			+ x -8		0		x

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éy2 = x3 ,

1.êëx + y2 = 2

ìr = aj, 2p £ j £ 4p; a > 0,

2.í

îj = 0.

-первым и вторым витками спирали Архимеда и полярной осью.

3.Вычислить длину дуги всей кривой y = x - x2 + arcsin x .

ВАРИАНТ 7

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

3x3

dx ;

4. ò

xdx

;

1 + x8

x3 -1

2.

ò

xdx

;

5. ò

xdx

;

ex

x +1

3. ò

(2 - x)dx

;

6. ò

dx

.

2

1 - 2x - x

8 - 4sin x + 7 cos x

II. Вычислить определенные интегралы:

1

1

xdx

x5dx

1.

ò

;

4. ò

;

0

1 + x

-1 x + 2

a

dx

2

ln xdx

2. ò

, a > 0 ;

5. ò

.

x

5

x +

a

2

- x

2

0

1

p

2

3. òsin x ×sin 2x ×sin 3xdx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥ arctgx

2

dx

1. ò

dx ;

3. ò

.

2

(x +1)ln

p

x( +1)

1 1 + x

0

3a

2x

2.

ò

dx ;

æ x2

ö

2

2a

- a

2

3 ç

÷

è 4

ø

Определить сходимость несобственных интегралов:

	¥			x5 + 3					a		dx			p
	4. ò							dx ;	5. ò				,0 < a £		.
		x	10	+ x	8	+ x	7							2
											cos x - cosa
	0								0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y2 + x2 = 2x,

1.êë y = x2 .

2.r = sinj + cosj , - p £ j £ p .

4 4

x

3. Вычислить длину дуги всей кривой: y = ò costdt .

-p

2

ВАРИАНТ 8

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò(1 + e

x

)e

x

dx ;

4. ò

dx

;

x3 +1

2.

ò x arcsin xdx ;

5. ò

dx

;

3

x +

x

(x

- 2)dx

3.

ò

;

6. òtg3 2xdx .

2

+ 4x - 3

x

II. Вычислить определенные интегралы:

e-1

2

dx

1. ò ln (x +1)dx ;

4. ò

;

x

2

0

1 x

+ 5x + 2

p

1

1 - x2

2

ò

4

2

2.

dx ;

5. òsin

x

×cos

xdx .

x

2

2

0

2

1

3. òx2 e3 xdx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

5

dx

¥ arctgxdx

1. ò

;

3. ò

.

(1 + x

)

2

8x - x

2

-15

2

3

0

¥

dx

2. ò

;

2

1 x

+ 4x

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥		3x2 + 5x - 7								1		ln x
4. ò									dx ;	5. ò				dx .
											1 - x		2
		4x	15	+ 3x	3	+ 2x	2
0										0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y = lg x,

1.êêx + y =11,

ê y = 0.

ë

é 2

ê1 - cosj ,

êp

2.êj = 2 ,

êj = p.

ër =

3.Вычислить длину дуги той части кривой y = (x +1)3 , которая расположена в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y = 8 и y = 27 .

ВАРИАНТ 9

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

dx

;

4. ò

1 + x2

dx ;

x

x4

5 - 4 ln2 x

2. ò

x

5. ò

dx

dx ;

;

x3 +1

- 4

2x -1

2x -1

ò

dx

6. ò x

2

3.

;

ln 1

- xdx .

cos4 2x

II. Вычислить определенные интегралы:

p

1

2

1.

òcos5 xdx ;

4. ò x (2 - x2 )12 dx ;

0

0

p

dx

3

dx

4

2. ò

;

5. ò

x

2

0

2 + cos x

1 x

+ 5x +1

p

3. òex sin xdx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

	dx							(		)	dx
¥					¥			cos 1/ x2
1. ò				;	3. ò							.
		5						x	3
3	x ln		x
						2

p

¥

2. ò xe- xdx ;

0

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥

7x + 5

4. ò 4

dx ;

x

17

+ x

8

+ 3x

2

IV.Вычислить площадь

é y2 =10x + 25,

1. ê

ë y2 = -6x + 9.

ér = cosj,

æ

2.

ê

1

ç r £

ê

=

sinj

êr

3

è

ë

1
5. ò sin (1/ x) dx .
0	1 - x

области, ограниченной кривыми:

		1		ö
	cosj; r £			sinj ÷.
		3
				ø

3.Вычислить длину дуги той части кривой y = 3x2 -1, которая расположена в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y = 3 и y = 8 .

ВАРИАНТ 10

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

ln xdx

;

4. ò

x2 + 4x - 2

dx ;

x

x3 - 4x

2.

ò

x

dx ;

5. ò

dx

;

cos2 x

(3

+ 3

)2

x2

x

3.

ò

xdx

;

6. ò

dx

.

8 -

2x - x

2

2sin x + 3cos x - 5

II. Вычислить определенные интегралы:

3

3/ 4

dx

1. ò x2

9 - x2

dx ;

4. ò

;

(x +1)

x

2

+1

0

0

p

p

dx

2

3

dx

2. ò

;

5. ò

.

0

2 + sin x + cos x

p

1 - sin x

4

1

3. ò(arcsin x)2 dx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

¥

16xdx

1. ò

;

3. ò

.

(5 + x)

4

-1

x

3

1 16x

5dx

2.ò0 x(5 - x) ;

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥	x4 - x - 5
4. ò					dx ;
	x	10	+ 2x + 3
0

	æ	p	ö
1	cos ç		÷
5. ò0	è	1 - x ø		dx .
	(1- x)2

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

ér = 3

éx

2

+ y

2

=16,

sin 2j ,

æ

3

ö

ê

1. ê

2

2.

ê

3

ç r £

; r £

3 sin 2j ÷.

2

ë y

= 4x + 4.

êr =

è

ø

2

ë

x

3. Вычислить длину дуги той части кривой y = ò

t 2 -1dt, которая

1

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми x =1 и x = 3 .