Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

tablica_integralov

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
30.52 Кб
Скачать

Таблица интегралов ● Математика для заочников и не только

Таблица неопределенных интегралов

Обычно при нахождении интегралов сначала используются правила интегрирования, а затем – таблица интегралов.

Правила интегрирования:

1) Cudx C udx , здесь и далее C – постоянное число

– константу можно вынести за знак интеграла.

2)(u v)dx udx vdx – интеграл суммы двух функций равен сумме двух интегралов.

3)udv uv vdu (правило интегрирования по частям).

Таблица неопределенных интегралов:

dx x C

xn 1

xndx n 1 C ( n 1)

Следует обратить внимание, что интеграл от степенной функции – это самая используемая

вещь на практике. Многие (но не все!) корни, например 3

a

представить в виде xb для применения формулы xndx

Горячие формулы школьного курса математики: http://mathprofi.ru/matematicheskie_formuly.html)

dxx

ln

 

x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

axdx

 

 

C , в частности,

exdx ex C

ln a

 

 

 

 

Тригонометрические функции:

x5 ,

xn 1 n 1

1

 

,

1

, нужно

 

 

 

x5

7 x2

 

 

 

C (как представить – см.

sin xdx cos x C ;

cos xdx sin x C ;

cos12 x dx tgx C ;

sin12 x dx ctgx C

 

dx

1

x

 

 

a arctg

 

C , в частности

a2 x2

a

dx

 

1 x2

arctgx C ;

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Таблица интегралов ● Математика для заочников и не только

 

dx

dx

1

 

x a

 

C «высокий логарифм»

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

x2 a2

2a

x a

Примечание: часто данную формулу можно встретить немного в другом виде, например:

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

a x

 

C , но первый вариант, на мой взгляд, удобнее.

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

ln

 

a x

 

a2 x2

2a

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

x

2

 

A

C , или, то же самое:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

x

2

 

A

C «длинный логарифм».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

arcsin

x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

2

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегралы от гиперболических функций не указываю, так как они на практике не встречаются (в отличие от производных, которые встречаются, да и то очень редко).

! Важно

Иногда встречаются очень большие таблицы интегралов (порядка 100 штук). Такие таблицы рекомендую использовать только в самом крайнем случае, так как

интегралы от «других функций» на самом деле являются следствием правил и приемов интегрирования, соответственно, такое «решение» может сильно понравиться преподавателю.

Типичный пример: нередко в таблицах можно встретить: ln xdx x(ln x 1) C

На самом деле, для того, чтобы найти интеграл от логарифма, необходимо применить правило интегрирования по частям и подробно расписать ход решения.

А вот неберующиеся НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ интегралы:e x2 dx – интеграл Пуассона

sin x2dx , cos x2dx – интегралы Френеля

lndxx – интегральный логарифм

exxdx – интегральная экспонента

sin xdx – интегральный синус x

cos xdx – интегральный косинус. x

Изредка на «дурачка» проскакивают. Встретятся, не мучайтесь, в ответе достаточно указать, что интеграл не берется. А если такие интегралы «всплывут» в ходе решения какого-либо интеграла, значит, Вы ошиблись, либо интеграл является неберущимся, либо, что вероятнее всего, в условии допущена опечатка.

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта