Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Puchok_3_por.docx
Скачиваний:
11
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
62.36 Кб
Скачать

Полиномиальный пучок третьего порядка и его собственные функции.

Введение. Теории полиномиальных операторных пучков посвящено очень много работ. Для изучения полиномиальных операторных пучков М.В. Келдышем был предложен метод, называемый методом линеаризации пучков операторов. Идеи работы были развиты многими исследователями. Мы отметим лишь монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна, А. С. Маркуса, работы R. Mennicken.

В работе М. Г. Джавадова установлена полнота половины собственных функций квадратичного пучка

где

В.А. Ильин в работе предложил метод исследования базисных свойств подсистемы собственных функций пучка М.В.Келдыша.

В настоящей заметке предлагается один подход изучения базисных свойств собственных функций полиномиального операторного пучка третьего порядка с инволюцией.

Основная часть. Полиномиальными операторными пучками называют выражения вида

где - спектральный параметр,линейные операторы в гильбертовом пространстве.Число называют порядком пучка. Преобразование S элементов гильбертова пространства называют инволюцией, если для любой функции выполняется равенство

В пространстве рассмотрим пучок третьего порядка с инволюцией

и соответствующее ей уравнение

. (1)

Уравнение (1) будем рассматривать вместе с какими – нибудь краевыми условиями, конкретный вид которых укажем в дальнейшем. Пока, следуя В.А. Ильину [8], собственные функции пучка будем понимать в обобщенном смысле. Регулярным решением уравнения (1) будем называть любую комплекснозначную функцию которая абсолютно непрерывна в интервале вместе со своими производными до второго порядка включительно и почти всюду в этом интервале удовлетворяет уравнению (1). Те значения параметра , для которых существует ненулевое регулярное решение уравнения(1), будем называть собственным значением пучка . Соответствующие ненулевые регулярные решения уравнения(1) будем называть собственными функциями. Наряду с уравнением (1) будем рассматривать следующую спектральную задачу

(2)

с какими-нибудь краевыми условиями. Уравнение (2) содержит инволюцию. Конкретный вид краевых условий будут указаны ниже.

Спектральные задачи для дифференциального оператора первого порядка с инволюцией типа (2) рассматривались в работах. Изучению спектральных свойств дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией посвящены работы.

Как и выше, собственные функции спектральной задачи (2) будем понимать в обобщенном смысле.

Регулярным решением уравнения (2) будем называть любую функцию из класса которая абсолютно непрерывна внутри интервале вместе со своей первой производной и почти всюду вудовлетворяет уравнению(2).

Те значения параметра , для которых существует ненулевое регулярное решение уравнения(2), будем называть собственным значением спектральной задачи (2). Соответствующие ненулевые регулярные решения уравнения (2) будем называть собственной функцией.

В следующей теореме устанавливается связь между собственными функциями пучка и спектральной задачи (2).

Теорема 1. Совственные функции спектральной задачи (2) являются собственными функциями пучка и удовлетворяют уравнению (1).

Доказательство. Пусть произвольная собственная функция спектральной задачи (2), соответствующая собственному значению .Тогда для почти всех имеет место равенство

. (3)

В равенстве (3) переменную меняем на. Тогда соотношение (3) запишется в виде

. (4)

Из равенств (3), (4) исключаем слагаемое, содержащее . Получим равенство

. (5)

Так как собственные функции абсолютно непрерывны вместе со своей первой производной внутри интервала , то обе части равенства (5) допускают двукратное дифференцирование. После двукратного дифференцирования по переменной обеих частей равенства (5), приходим к соотношению

(6)

Дифференцируя обе части равенства (3) по переменной находим

Пользуясь этим равенством, соотношение (6) запишем в виде

В правую часть последнего равенства применим (3) (или (4)). Тогда получим соотношение

.

Таким образом, любая собственная функция спектральной задачи (2) удовлетворяет уравнению (1). Это значит функция является собственной функцией пучка А.

Из теоремы 1 вытекает, что система собственных функций спектральной задачи (2) для дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией служит подсистемой собственных функций операторного пучка третьего порядка с инволюцией.

Спектральная задача (2) изучена в работе [9]. Теоремы о базисности собственных функций спектральной задачи (2), установленные в работе [9], могут быть использованы для доказательства базисности подсистемы собственных функций операторного пучка А.

В следующей теореме устанавливается базисность подсистемы собственных функций операторного пучка А с краевыми условиями

. (7)

Теорема 2. Функции

(8)

являются собственными функциями операторного пучка (1), (7), соответствующими собственным значениям и образуют базис Рисса в.

Доказательство. Первая часть утверждения теоремы проверяется непосредственной подстановкой в уравнение (1). Для доказательства второй части утверждения теоремы вычислим собственные значения и собственные функции спектральной задачи (2) с периодическим краевым условием .

Обозначим .

Область определения оператора обозначим через. Тогда уравнения (2) с периодическим краевым условием запишется в виде

(9)

. (10)

Для всех , выражение. Поэтому к обеим частям уравнения (9) можем еще раз подействовать оператором:

(11)

,

Уравнение (11) имеет вид - . Его общим решением является функция

Решение уравнения (2) ищем среди этих решений. Непосредственной проверкой находим, что функция

является решением уравнения (2).

Найдем собственные значения и собственные функции спектральной задачи (9), (10):

Полученная система собственных функций совпадает с системой (8). Собственные функции спектральной задачи (9), (10) служат собственными функциями операторного пучка А с краевыми условиями (7). Из результатов работы [9] следует, что система собственных функций спектральной задачи (9), (10) образует базис Рисса в пространстве . Значит, система (8) образует базис Рисса. Теорема доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]