Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007
.pdfãäå kòð = L1/M коэффициент |
R |
|
XS |
|
|
′ |
R ′ |
|
||
òðàнсформàöèè. Êàê âèäíî, â |
1 |
I1 I2 |
|
XS |
|
|||||
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|||||
äàííîì ñëó÷àå |
отношение нàï- |
|
|
|
I0 |
|
|
|
|
|
ряжений не зàâèñèò îò íàãрузки, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Zí′ |
U2′ |
|||
à отношение токоâ |
çàâèñèò îò |
U1 |
|
Uô |
G0 |
B0 |
||||
Zí. Òàêîé òðàнсформàòîð íàçû- |
|
|
Iï |
|
I |
ô |
|
|
||
âàþò ñîâершенным. Äëÿ íåãî êî- |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
эффициент сâÿçè k = 1, à êîýô- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
фициент рàссеяния σ = 0. |
|
|
Ðèñ. 3.30 |
|
|
|||||
Сущестâóåò |
åùå |
понятие |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
èäåàëüíîãî òðàнсформàòîðà, у котороãо потери рàâíû íóëþ, |
||||||||||
èíäóêòèâности кàтушек бесконечно âелики, à их отношение рàâ- |
||||||||||
но коэффициенту трàнсформàöèè kòð = L1/L2 = ω1/ω2, ãäå ω1, |
||||||||||
ω2 число âèòêîâ ïåðâичной и âторичной кàтушек. В иäåàльном |
||||||||||
òðàнсформàторе отношение кàê òîêîâ, òàê è íàпряжений не зàâè- |
||||||||||
ñèò îò íàãрузки и опреäеляются только коэффициентом трàíñ- |
||||||||||
ôîðìàöèè kòð. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Трансформатор с ферромагнитным сердечником. Ферромàãíèò- |
||||||||||
íûé ñåðäечник применяется äëÿ óâеличения мàãнитноãо потокà è |
||||||||||
ñâÿçè ìåæäó êàòóøêàìè, ÷òî ïðèâîäит к росту мощности, отäàâàå- |
||||||||||
ìîé âî âторичную цепь трàнсформàòîðà. Ïðè ýòîì ïî ñâîèì ñâîé- |
||||||||||
ñòâàм он приближàåòñÿ ê èäåàльному трàнсформàòîðó, íî ñòàíî- |
||||||||||
âèòñÿ â общем случàе нелинейным устройстâîì âñëåäñòâèå ïîÿâ- |
||||||||||
ления äополнительных потерь нà ãистерезис и âèõðåâûå òîêè. Îä- |
||||||||||
íàêî íà ïðàктике òðàнсформàтор с ферромàãнитным серäå÷íè- |
||||||||||
êîì ñòàðàются конструироâàòü òàêèì îáðàзом, чтобы нелинейность |
||||||||||
áûëà ìàëà и ею можно было пренебречь. Тоãäà ðàñ÷åò ïîäîáíîãî |
||||||||||
òðàнсформàòîðà можно осущестâèòü íà îñíîâå äâухконтурной схе- |
||||||||||
ìû çàмещения, изобрàженной нà ðèñ. 3.30 ñ ïàðàìåòðàìè, ïðèâå- |
||||||||||
äенными к пàðàìåòðàì ïåðâичной обмотки. Дàííàÿ ñõåìà может |
||||||||||
быть полученà ïî àíàëîãии со схемой рис. 3.28 с учетом потерь â |
||||||||||
ñòàëè G0 è íàìàãíè÷èâàíèÿ Â0. Ïðèâåäенные знàчения Õ′s2, I′2 îï- |
||||||||||
ðåäеляются соãëàñíî ðàâåíñòâàì: |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
′ |
2 |
′ |
|
|
U |
′ |
|
U |
|
|
Xs2 |
= kòðXs2; |
R2 |
= kòðR2; I2 |
= I2 |
kòð; |
2 |
= kòð |
2; (3.115) |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
Z′í |
= kòð2 Zí. |
|
|
|
|
|
|
ãäå Õs1, Õs2 èíäóêòèâные сопротиâления перâичной и âторичной кàтушек (инäóêòèâности рàссеяния). Величины токà потерь â ñòàëè
Iï = G0Uô è íàìàãíè÷èâàþùåãî òîêà Iô = B0Uô îïðåäеляют сум- мàрный ток потерь:
I0 = Iô + jIí = I0e jδ , |
(3.116) |
ãäå àðãумент δ íàçûâàåòñÿ óãлом потерь.
101
3.10. Баланс мощности
Ïðåäñòàâèì ïàññèâную электрическую цепь, нàõîäящуюся поä âîçäåéñòâием источникà ãàрмоническоãî íàпряжения, â форме äâухполюсникà (ñì. ðèñ. 1.1). Ïîä âîçäåéñòâèåì íàпряжения èàb = = Umsin wt â цепи протекàåò òîê i = Imsin( wt j). Îòäàâàåìàя источником â öåïü çà периоä Ò ñðåäняя мощность
|
T |
ò |
2 |
|
P = P = |
1 |
T uidt = |
UmIm cos j = UI cos j. |
(3.117) |
|
||||
ñð |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Ñîãëàñíî çàêîíó Îìà U = ZI или с учетом (3.35) U = RI/cos j. Òîãäà óðàâнение (3.117) принимàåò âèä
P = I2R = U2G . |
(3.118) |
Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíÿÿ çà периоä мощность Ð ðàâíà мощности, рàññåèâàåìîé íà резистиâном сопротиâлении (проâîäимости) цепи. В этой сâязи мощность Ð носит нàçâàíèå àêòèâíîé и измеряется â âàòòàõ (Âò).
Кроме àêòèâной мощности Ð â цепях гармонического тока используют понятие ðåàêòèâной мощности
Q = UI sin j = I2X = U2B |
(3.119) |
è комплексной мощности |
|
S = P + jQ. |
(3.120) |
Ìîäуль комплексной мощности нàçûâàåòñÿ полной мощностью:
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
S |
|
= P2 + Q2 . |
(3.121) |
||
|
|
Åäèíèöà измерения реàêòèâной мощности ВАр, à полной âîëüò- àìïåð (Â×À).
Мощности P, Q, S можно âûðàçèòü è â äðóãой форме. Преä-
ñòàâèì S с учетом (3.117) и (3.119) â âèäå |
|
|
||||||||
|
|
S = UI cos j + jUI sin j = UIe jϕ = U I* . |
(3.122) |
|||||||
Òîãäà нетруäíî âèäåòü, ÷òî |
|
|
|
|
||||||
P = Re[U I*] = Re[S]; Q = Im[U I*] = Im[S]; S = UI = |
|
S |
|
(3.123) |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò. å. àêòèâíàя мощность рàâíà ðåàльной чàñòè, à ðåàêòèâíàя мнимой чàсти комплексной мощности S. Êàê ñëåäует из формул (3.117) и (3.123):
cos ϕ = P S . |
(3.124) |
Это отношение â ýíåðãетике нàçûâàåòñÿ коэффициентом мощности (косинусом j) è ÿâляется âàæíîé õàðàктеристикой электри- ческих мàшин и линий электропереäà÷è. ×åì âûøå cos j, òåì
102
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
Q>0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
> 0 |
|
|
|
|
Xã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rí |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Rã |
|
|
Uí |
|
|
|
|
|
|
|
|
à) P |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ |
Uã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xí |
|
|
|
|
ϕ < 0 |
Q<0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ðèñ. 3.31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.32 |
|
меньше потери энерãèè â линии и âыше степень использоâàния электрических мàøèí è àïïàðàòîâ. Ìàêñèìàльное знàчение cos ϕ = l, ïðè ýòîì Ð = S, Q = 0, т. е. цепь носит чисто àêòèâíûé õàðàêòåð è ñäâèã ôàç ìåæäу током i è íàпряжением è ðàâåí íóëþ.
Óñëîâèå ïåðåäà÷è ìàêñèìàльной мощности от ãåíåðàòîðà â íà- ãрузку можно нàéòè èç óñëîâèÿ
* |
|
|
|
Zã = Zí , |
(3.125) |
||
ãäå Zã комплексное âнутреннее сопротиâление |
источникà; |
* |
|
Zí |
комплексно-сопряженное сопротиâление нàãрузки. Это услоâèå ñëåäует непосреäñòâåííî èç ðàссмотрения экâèâàлентной схемы, приâåäенной нà ðèñ. 3.31. Òîê â äàííîé öåïè äîñòèãàåò ìàксимумà ïðè Õã = Õí è âыполнении услоâèÿ Rã = Rí (ñì. § 2.6), ÷òî è äî- êàçûâàåò ðàâåíñòâо (3.125). При этом мощность â íàãрузке буäåò îïðåäеляться урàâнением
P = U2 |
4R . |
(3.126) |
í ã |
ã |
|
Ïî àíàëîãèè ñ òðåóãольникàìè òîêîâ è íàпряжений, сопротиâ- лений и проâîäимостей (§§ 3.4 и 3.5) можно ââåñòè òðåóãольники мощностей. Òàê ñîãëàñíî (3.121) è (3.122) òðåóãольник мощностей äля цепи, носящий инäóêòèâíûé õàðàêòåð áóäет иметь âèä, изобрàженный нà ðèñ. 3.32, à, à äля цепи с емкостным хàðàктером нà ðèñ. 3.32, á.
Ðàссмотрим услоâèå áàëàíñà мощности â цепях при ãàрмони- ческом âîçäåéñòâèè. Â ñèëó ñïðàâåäëèâîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî çà- êîíîâ Êèðõãîôà äля комплексных äåéñòâующих знàчений токà I è íàпряжений U â êàæäîé èç âåòâåé ðàññìàòðèâàемой цепи можно зàïèñàть теорему Теллеäæåíà (1.35) â комплексной форме:
nB |
|
åUk Ik = 0. |
(3.127) |
k=1
Îäíàко поскольку ЗТК спрàâåäëèâ и по отношению к сопряженным токàì I*k , òî óðàâнение (3.127) можно зàïèñàòü â âèäå
103
nB |
U |
* nB |
|
å |
k Ik = å Sk = 0. |
(3.128) |
|
k=1 |
|
k=1 |
|
Óðàâнение (3.128) отрàæàåò áàëàнс комплексной мощности, со- ãëàсно которому суммà комплексных мощностей, потребляемых âñåìè âåòâÿìè öåïè, ðàâíà íóëþ. Áàëàнс комплексной мощности можно сформулироâàòü è â äðóãой форме: суммà комплексных мощностей, отäàâàåìûõ íåçàâисимыми источникàìè, ðàâíà сумме комплексных мощностей, потребляемых остàльными âåòâями электрической цепи:
nB |
nB |
|
å Skèñò = å Skïîò . |
(3.129) |
|
k=1 |
k=1 |
|
Èç óñëîâèÿ áàëàíñà комплексной мощности слеäóþò |
óñëîâèÿ |
|
áàëàíñà àêòèâíûõ è ðåàêòèâных мощностей: |
|
|
nB |
nB |
|
å Pkèñò = å Pkïîò ; |
(3.130) |
|
k=1 |
k=1 |
|
nB |
nB |
|
å Qkèñò = å Qkïîò . |
(3.131) |
|
k=1 |
k=1 |
|
Óñëîâèå áàëàíñà àêòèâных мощностей непосреäñòâåííî âûòåêàåò èç çàêîíà ñîõðàнения энерãèè.
3.11. Модели электрических цепей с зависимыми источниками
Интегрирующие и дифференцирующие цепи. Èíòåãрирующие и äифференцирующие цепи íàõîäят широкое применение â ðàз- личных устройстâàх импульсной и âычислительной техники äля формироâàния линейно изменяющихся нàпряжений и токоâ, селекции сиãíàëîâ, линейноãо преобрàçîâàíèÿ ðàзличных импульсоâ è ò. ä. Èíòåãрирующàя цепь описыâàåòñÿ óðàâнением
|
t |
|
|
|
|
f2(t) = k1ò f1(t) dt , |
(3.132) |
||||
|
0 |
|
|
|
|
à äифференцирующàÿ óðàâнением |
|
|
|||
f2 |
(t) = k2 |
df1(t) |
, |
(3.133) |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
ãäå k1, k2 коэффициенты пропорционàльности.
Простейшàÿ èíòåãрирующàÿ è äифференцирующàÿ öåïè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íà áàçå RÑ-цепочки (рис. 3.33, 3.34). Дейстâи- тельно, если пàðàметры интеãрирующей цепочки (рис. 3.33) тàêî-
104
|
R |
|
|
|
|
C |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uâõ |
|
|
|
|
C |
|
uâûõ |
|
uâõ |
|
|
R |
|
uâûõ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.33 |
|
|
Ðèñ. 3.34 |
|
|
C |
|
|
|
C |
1 |
R |
2 |
1 |
R |
2 |
|
∞ |
|
|
|
+ |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
U1 |
U2 |
|
U1 |
-HuU3 U2 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
à) |
|
|
á) |
|
Ðèñ. 3.35
âû, ÷òî τ = RÑ ? tè, ãäå tè äлительность âõîäíîãî ñèãíàëà, òî íà âûõîäå òàкой цепи имеем
1 t
u2(t) ≈ RC 0ò u1(t) dt .
Àíàëîãè÷íî, åñëè äëÿ äифференцирующей цепочки (рис. 3.34) âы- полнено услоâèå τ = RÑ = tè, òî
u2(t) ≈ RC |
du1(t) |
. |
(3.134) |
|
dt |
||||
|
|
|
Îäíàко точность интеãðèðîâàíèÿ è äифференцироâàíèÿ òàêîé ïàñ- ñèâíîé öåïè íåâûñîêà. Поэтому нà ïðàктике оперàöèè (3.132) è (3.133) ðåàлизуют с помощью àêòèâных цепей с зàâисимыми источникàìè, íàпример нà áàçå ÎÓ.
Íà ðèñ. 3.35, à изобрàæåíà ñõåìà èíòåãðàòîðà, à íà ðèñ. 3.36, à äифференциàòîðà íà ÎÓ. Îïðåäелим комплексное äåéñòâующее нàпряжение нà âûõîäå èíòåãðàòîðà. Äëÿ ýòîãî âоспользуемся эк- âèâàлентной схемой зàмещения ОУ â âèäå ÈÍÓÍà (ðèñ. 3.35, á).
Приняâ потенциàë áàзисноãî óçëà V4 = 0 ñîñòàâèì óðàâнение рàâíîâåñèÿ óçëîâых потенциàëîâ:
V3 (G + jωC ) − V2 jωC − V1G = 0;
V2 = −HuV3, ãäå G = 1R. Îòêóäà, после несложных преобрàçîâàний получим
V2 = − + ω HuG + V1.
G j CHu (1 1 Hu)
105
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
1 |
C |
∞ |
2 |
|
1 |
C |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
U1 |
|
|
U2 |
|
U1 |
|
|
|
-HuU3 |
U2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
à) |
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
Y4 |
Ðèñ. 3.36 |
|
|
Y4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Y5 |
|
|
|
|
|
Y5 |
|
|
1 |
Y1 |
Y3 |
Hu |
2 |
1 |
Y1 |
|
Y3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
3 |
4 |
|
+ |
|
|
U1 |
Y2 |
|
U2 |
|
U1 Y2 |
|
U3 |
U4 |
-HuU4 U2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
à) |
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.37 |
|
|
|
|
|
Учитыâàÿ, ÷òî U1 = V1 V4 = V1; U2 U4 = V2 è äëÿ èäåàëüíî- ãî ÎÓ Íu = ¥, окончàтельно нàõîäèì
|
U |
2 = (-1 jw) |
U |
1 RC . |
(3.135) |
|
|
À òàê êàê äеление U1 íà jw ñîîòâåòñòâóåò îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ
âõîäíîãî ñèãíàëà u1(t) (ñì. § 3.6), òî ñõåìà, изобрàæåííàÿ íà ðèñ. 3.34 ÿâляется моäåëüþ èäåàëüíîãî èíòåãðàòîðà.
Àíàëîãично можно получить äëÿ èäåàëüíîãî äифференциàòîðà (ñì. ðèñ. 3.36):
|
U |
2 = −jωRCU1, |
(3.136) |
|
ò. å. u1(t) è u2(t) ñâÿçàíû ìåæäу собой зàâисимостью, àíàëîãичной (3.134). Знàê « » â óðàâнении (3.135) и (3.136) обуслоâëåí ïîâо- ротом нà óãîë p ôàçû âõîäíîãî ñèãíàëà ïîäàííîãî íà èíâертирующий âõîä ÎÓ.
ARC-цепь второго порядка. Íà рис. 3.37 изобрàæåíà àêòèâíàÿ RC-öåïü (ARC-öåïü) âòîðîãî ïîðÿäêà, которàÿ íàõîäит широкое применение â êà÷åñòâå òèïîâîãî çâåíà ðàзличных устройстâ: фильтроâ, корректороâ è äð. (ñì.ãë.14, 17, 18).
Приняâ потенциàë óçëà V5 = 0 (áàзисный узел) состàâèì äëÿ óçëîâ 3 è 4 óðàâнения по метоäó óçëîâых потенциàëîâ (ðèñ. 3.37, á):
V3(Y1 + Y2 + Y3 + Y4) - V1 |
Y |
1 - V2 |
Y |
4 - V4 |
Y |
3 |
= 0,ü |
(3.137) |
||
|
|
|
||||||||
V4(Y3 + |
Y |
5) - V3Y3 - V2Y5 = 0. |
ý |
|||||||
þ |
|
|||||||||
|
|
106
I1 |
|
I2 |
|
I1 |
|
I2 |
|
U1 |
Gã |
|
U2 |
U1 |
|
|
U2 |
|
à) |
|
|
|
á) |
|
|
Ñ1 |
|
|
Ðèñ. 3.38 |
|
|
|
|
I1 |
I2 |
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
U2 |
Ñ2 |
|
L2 |
Ñ2 |
/G2 |
|
|
|
|
|
|
L2=Ñ2 |
|
|
à) |
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3.39 |
|
|
|
|
Учитыâàÿ, ÷òî V2 = HuV4 è Hu = ∞ (èäåàльный ОУ) после решения системы урàâнений (3.137), получим нàпряжение нà âû-
õîäå: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
= V2 |
= |
|
|
|
|
|
|
−Y1Y3 |
|
U |
1 |
. (3.138) |
|||
|
Y5 |
(Y1 |
+ |
Y |
2 |
+ Y3 + Y4) + |
Y |
3Y4 |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гиратор. Ãèðàтором íàçûâàют необрàтимый четырехполюник (рис. 3.38, à), описыâàåìûé óðàâнениями I2 = U1Gã è I1 = U2Gã, ãäå Gã ïðîâîäимость ãèðàòîðà.
Óñëîâное изобрàжение ãèðàòîðà ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.38, á. Íà- ãрузим ãèðàтор сопротиâлением нàãрузки Z2. Âõîäное сопротиâление ãèðàòîðà
Z1 |
= |
|
U |
1 = |
−I2 |
= |
1 |
, |
(3.139) |
||
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
I1 |
Gã2 |
U |
2 |
|
Gã2 Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò. å. îáðàтно сопротиâлению нàãрузки, поэтому ãèðàòîð ÷àñòî íà- çûâàþò èíâертором положительноãо сопротиâления. Ñâîéñòâî
(3.139) ÿâляется очень âàжным, поскольку позâоляет имитироâàòü
èíäóêòèâность с помощью емкости. Дейстâительно, если Z2 = = l/jωC, òî Z1 = jωLý, ãäå Lý = C/Gã2 ýêâèâàлентнàÿ èíäóê-
òèâность. Это сâîéñòâî ãèðàòîðîâ ÿâляется очень ценным äля микроэлектроники, поскольку изãîòîâление инäóêòèâностей по интеã- ðàльной технолоãèè ïðåäñòàâляет сложную зàäàчу. Использоâàíèå æå ãèðàòîðîâ ñ ìàëûì çíàчением Gã ïîçâоляет из небольших емкостей Ñ ìîäелироâàть большие знàчения инäóêòèâности L.
Сущестâóþò è äðóãèå ìíîãочисленные применения ãèðàòîðà: преобрàçîâàíèå íàпряжения и токà, ìîäелироâàíèå Ò- è Ï-îáðàç- íûõ çâåíüåâ ñ êàòóøêàìè èíäóêòèâности, трàнсформàòîðîâ, ðåçî- íàнсных контуроâ.  êà÷åñòâе примерà íà рис. 3.39 изобрàæåíà ìîäåëü ïàðàллельноãо колебàтельноãо контурà (ðèñ. 3.39, á) íà áà- çå ãèðàòîðà (3.39, à).
107
|
R2 |
|
R6 |
|
I1 |
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
||
|
R3 |
R5 |
R7 |
|
U1 |
R1 |
R4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Z2 |
U2 |
Ðèñ. 3.40
Âàæíûì ñâîéñòâîì ãèðàòîðà ÿâляется то, что он не âносит энер- ãèè â цепь и не потребляет ее из цепи, т. е. âåäåò ñåáÿ êàê ïàññèâ- ный элемент без потерь. Это слеäует непосреäñòâåííî èç óðàâнений ãèðàòîðà.
Ðåàëèçàöèÿ ãèðàòîðà осущестâляется с использоâàíèåì àêòèâных элементоâ. Íàпример, ОУ (нà áàçå äâух источникоâ ÈÒÓÍ: íà áàçå ÈÒÓÍ è ÎÎÑ; íà îñíîâå äâóõ ÏÎÑ è äð.). Íà рис. 3.40 изобрàæå- íà ñõåìà ãèðàòîðà ñ äâóìÿ ÈÒÓÍ, âыполненными нà áàçå ÎÓ.
Вопросы и задания для самопроверки
1. ÷åì ðàзличие межäó ìãíîâенным знàчением синусоиäàëüíîãî òîêà è åãî äåéñòâующим знàчением?
2.Êàкой формулой сâÿçàíû ìåæäу собой àêòèâíàÿ, ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâляющие и комплексное нàпряжение?
3.Êàк ориентироâàíû ìåæäу собой âекторы токà è íàпряжения нà èíäóêòèâности (емкости)?
4.Может ли нàпряжение нà èíäóêòèâности (емкости) â цепочке из послеäîâàтельно соеäиненных RLC ïðåâûøàòü óðîâень приложенноãî íàпряжения?
5.Äâå èíäóêòèâности L1 = 5 ìÃí è L2 = 15 ìÃí âключены после- äîâàтельно. Опреäелить их экâèâàлентное сопротиâление нà ÷àстоте f = 1000 Ãö.
Îòâåò: ÕL = 125,6 Îì.
6.В схеме, изобрàженной нà ðèñ. 3.7, U = 10 Â, ïàäåíèå íàïðÿ-
жения нà èíäóêòèâности uL = 5 Â, íà емкости uÑ = 11 Â. Îïðå- äелить пàäåíèå íàпряжения нà резисторе uR.
Îòâåò: uR = 8 Â.
7.Вычислить экâèâàлентное сопротиâление äâóõ êîíäåíñàòîðîâ
Ñ1 = 5 ìêÔ è Ñ2 = 15 ìêÔ, âключенных пàðàллельно нà ÷àстоте f = 5 êÃö.
Îòâåò: ÕÑ = 1,59 Îì.
108
8.Амперметр, âключенный â âåòâь с резистором R íà ðèñ. 3.10,
ïîêàçûâàåò iR = 3 À, âключенный â öåïü ñ èíäóêòèâностью iL = 3 À, à âключенный послеäîâàтельно с емкостью iÑ = 7 À. Êàêóþ âеличину токà ïîêàæåò àмперметр, âключенный нà âõîäе схемы?
Îòâåò: i = 5 À.
9.Вычислить âõîäные сопротиâления схемы рис. 3.10 нà ÷àстоте f = 10 êÃö, åñëè R = 100 Îì, L = 1 ìÃí, Ñ = 1 ìêÔ.
Îòâåò Z = 4,4 j20,5 Îì.
10.×åìó ðàâíû ìàêñèìàльное и минимàльное знàчения коэффициентà ñâÿçè ìåæäó êàòóøêàìè?
11. êàêèõ åäèíèöàх измеряется âçàèìíàÿ èíäóêòèâность?
12.Может ли суммàðíàÿ èíäóêòèâность äâóõ èíäóêòèâíî ñâÿçàí- íûõ êàтушек быть рàâíîé 0?
13.К схеме рис. 3.19 приложено нàпряжение U = 10 В. Сопротиâ-
ление резистороâ R1 = R2 = 40 Îì. Èíäóêòèâные сопротиâления кàтушек XL1 = 100 Îì, XL2 = 50 Ом. Коэффициент сâÿçè ìåæäó íèìè K = 0,6. Îïðåäелить рàзность потенциàëîâ ìåæäó îäноименными зàæèìàìè ýòèõ êàтушек.
|
Îòâåò |
U = 4 + j4,88 Â. |
|
14. Â |
схеме |
íà рисунке 3.21 (á) сопротиâление резистороâ R1 |
= |
= |
20 Îì, R2 = 0 Ом, сопротиâление инäóêòèâностей XL1 |
= |
= XL2 = 30 Ом, коэффициент сâÿçè ìåæäó êàòóøêàìè Ê = 0,5. Îïðåäелить экâèâàлентное âõîäное сопротиâление цепи.
Îòâåò: Zâõ = 4,76 + j7,56 Îì.
15.Êàêîâы особенности рàñ÷åòà цепей с инäóêòèâíûìè ñâязями?
16.Êàкое устройстâî íàçûâàåòñÿ òðàнсформàтором? Кàêèå âèäû òðàнсформàòîðîâ èçâестны?
17.Ñîñòàâèòü óðàâнения бàëàíñà мощности äля схемы, изобрàженной нà ðèñ. 3.15.
18.В схеме, изобрàженной нà ðèñ. 3.7, U = 10 Â, uL = 5 Â, uÑ = = 11 В, сопротиâление резисторà R = 40 Îì. Îïðåäелить комплексную мощность, потребленную цепью.
Îòâåò: Sïîòð = 1,6 j1,2.
19.Êàêèì îáðàзом можно уменьшить реàêòèâíóþ ñîñòàâляющую мощности потребляемую преäприятием из сети?
20.Êàêîâы схемы интеãрирующих и äифференцирующих цепей нà îïåðàционном усилителе?
109
ГЛАВА 4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
4.1. Комплексные передаточные функции линейных
электрических цепей
Âàжнейшей хàðàктеристикой линейной электрической цепи яâ- ляется комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция H(jω). При этом электрическую цепь уäобно изобрàæàòü â âèäе четырехполюсникà (ðèñ. 4.1), íà âõîäíûå çàæèìû (1 1′) котороãî ïîäàåòñÿ ñèãíàë â âèäå íàпряжения с комплексной àмплитуäîé Um1, èëè òîêà с комплексной àмплитуäîé Im1, à ðåàêöèÿ ñíèìàåòñÿ ñ âûõîäíûõ çàæèìîâ (2 2′) òàêæå â âèäå íàпряжения или токà с комплексными àмплитуäàìè Um2, Im2. Комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция (КПФ) опреäеляется кàк отношение комплексной àмплитуäû ðå- àкции цепи к комплексной àмплитуäå âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ.
 çàâисимости от типоâ âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ è ðåàêöèè öåïè ðàçëè÷àþò ñëåäующие âèäû ÊÏÔ:
1. Комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция по нàпряжению
Hu ( jω ) = |
U |
m2 |
U |
m1 = |
U |
2 |
U |
1 , |
(4.1) |
|
|
|
|
ãäå Um1, Um2, U1, U2 комплексные àмплитуäы и комплексные äåéñòâующие знàчения нàпряжения âîçäåéñòâèÿ íà âõîäå è íàпряжения реàêöèè íà âûõîäå.
2. Комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция по току |
|
Hi ( jω) = Im2 Im1 = I2 I1 , |
(4.2) |
ãäå Im1, Im2, I1, I2 комплексные àмплитуäû è äåéñòâующие знà- чения токà âîçäåéñòâèÿ è òîêà ðåàêöèè.
3. |
Комплексное переäàточное сопротиâление |
|
||||||||
|
HZ ( jω ) = |
U |
m2 Im1 = |
U |
2 I1 . |
(4.3) |
||||
|
|
|
||||||||
4. |
Комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ïðîâîäимость |
|
||||||||
|
HY ( jω) = Im2 |
U |
m1 = I2 |
U |
1 |
(4.4) |
||||
|
|
|
Èç äàííûõ îïðåäелений слеäóåò, ÷òî Hu(jω) è Hi(jω) ÿâляются |
|||||||||||||||||||
áåçðàзмерными âеличинàìè, |
|
|
a HZ(jω) è HY(jω) |
|
имеют соот- |
||||||||||||||
âåòñòâåííî ðàзмерности сопротиâления и проâîäимости. |
|||||||||||||||||||
1 Im1 |
|
|
Im2 |
2 |
1 I R |
|
2 |
||||||||||||
|
|
Um1 |
|
H(jω) |
|
|
|
Um2 |
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
C |
|
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1′ |
|
|
|
2′ |
1′ |
|
|
2′ |
|||||||||||
|
|
|
Ðèñ. 4.1 |
|
|
|
|
Ðèñ. 4.2 |
|
|
|
|
110