Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Схема, изображенная на рис. 4.33 полностью описывается следующей таблицей со- единений:

R1 ;	1, 2;	100
L1 ;	2, 3;	0.0001
R2 ;	3, 0;	200

Первый символ указывает тип (R, L, C) и порядковый номер элемента ветви. Вто- рая и третья цифры в спецификации указывают номера узлов, между которыми включен элемент. Последняя цифра характеризует значение параметра.

2. Расчет передаточной функции цепи. Приведем последовательность расчета пе- редаточной функции цепи с использованием метода узловых напряжений:

-По введенной в ЭВМ схеме определяется структурная матрица A0 .

-Формируются матрицы эдс источников напряжения Eâ и проводимостей ветвей

â.

-Формируется матрица узловых проводимостей Yy .

-Формируется матрица узловых токов Iy .Y

- Определяется матрица узловых напряжений: Vy =

y−1 × Iy .

Y

- Положив

U

âõ = 1 В, определяется матрица комплексной передаточной функции

Hy = Vy .

- Рассчитываются и строятся графики АЧХ (H ( f )) и ФЧХ (jí ( f )) .

Структурная матрица

=

é -1

1

0

ù .

A

0

ê

-1

1

ú

ë 0

û

Матрица эдс источников напряжения

r

é

U

âõ

ù

Eâ

= ê

0

ú .

ê

0

ú

ë

û

Матрица проводимостей ветвей.

é1 R

0

0 ù

= ê

0 1 ( jwL)

0 ú .

Y

â

ê

0

0

ú

ë

1 Rû

Матрица узловых токов

r

r

é -1

1

0

ù

æ

= A0

× ç

-

Iy

(-Yâ Eâ ) = ê

0

-1

1

ú

ë

û

ç

è

é1 R 0			0	ù	é	U	âõ ù ö		;
ê	0	1 ( jwL)	0	ú	ê	0		ú ÷
ê	0	0		ú	ê	0		ú ÷
ë			1 Rû		ë			û ø

r

éU

Rù

Iy

=

ê

âõ

ú .

ë

0

û

Матрица узловых проводимостей

T = é -1 1 0ù

é1 R 0

0 ù

é -1 0 ù

=

ê 0 1 ( jwL) 0 ú

× ê 1 -1ú ;

Y

A

Y

A

y

0 â 0

ê

-1

1

ú

ê

ú

ê

ú

ë 0

û

0

0

ë

1 Rû

ë 0

1 û

é

1

+

1

-

1

ù

ê

ú

R

jwL

jwL

Y =

ê

ú .

y

ê

-

1

1 +

1

ú

ê

ú

jwL

R

ë

jwL û

141

Обратная матрица

y−1

Y

%

−1

= A

,

Y

y

D

%

где A – присоединенная матрица,

D – определитель Yy .

é

1

+

1

1

ù

ê

ú

%

é A11 A21

ù

=

R

jwL

jwL

,

A =

ê

A22

ú

ê

1

1

+ 1

ú

ë A12

û

ê

ú

ê

ú

jwL

R

ë

jwL û

где A11, A12, A21,

A22 – алгебраические дополнения.

æ 1

1

ö

2

æ 1

ö2

1

2

2R + jwL

D = ç

+

÷

- ç

÷

=

+

. D =

2 .

R

2

jwLR

jwLR

è R

jwL ø

è jwL ø

			é	R( R + jwL)
			ê
		−1			2R + jwL
			= ê
	Y
		y	ê		R2
			ê
					2R + jwL
			ë

	R2		ù
			ú
	2R + jwL
			ú .
R( R + jwL) ú
			ú
	2R + jwL
			û

Матрица узловых напряжений

						é	U		R + jwL ù
r			r			ê		âõ			ú
									2R + jwL
V	=	Y	−1I	y	=	ê					ú .
y			y			êU			R		ú
								âõ
						ê			2R + jwL		ú
						ë					û

Принимàåì Uâõ = 1 Â è íàõîäèì ïåðåäàточную функцию по нàпряжению:

r

V

Hu =

y

.

U

âõ

é R + jwL ù

Óçëû

( 2) .

r

ê

ú

2R + jwL

Hu = ê

R

ú

ê

ú

( 3 )

ê

ú

ë

2R + jwL û

На рис. 4.33

U

âûõ = V3 , следовательно,

ju ( w) = - arctg wL .

Hu =

R

; Hu ( w) =

R

;

2R + jwL

4R2 + ( wL)2

2R

Hu

0,5

0

w

ϕí
0	w
− p
2

Ðèñ. 4.34

142

Начало

Задание схемы,

Uâõ = 1,n

Формированиеr матриц

A0,E â,Yâ

Формированиеr матрицы

Ió

Формирование

Yó

Формированиеr r

Vy = Yy−1 × Iy

Hu =Vn

Расчет АЧХ, ФЧХ

Вывод АЧХ и ФЧХ

Конец

Ðèñ. 4.35

На рис. 4.34 приведены графики АЧХ – Hu ( w) и ФЧХ – ju ( w).

3. Алгоритм расчета АЧХ и ФЧХ. На рис. 4.35 приведен алгоритм расчета АЧХ и ФЧХ цепи на основе метода узловых напряжений.

Вопросы и задания для самопроверки

1.×òî òàêîå À×Õ è Ô×Õ öåïè, åñëè ðàññìàòðèâàется ее комплекс- нàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция по нàпряжению?

2.Почему резонàíñ â послеäîâàтельном колебàтельном контуре нà- çûâàется резонàíñîì íàпряжений?

3.×òî òàêîå äобротность колебàтельноãо контурà?

4.×òî òàкое полосà пропускàния колебàтельноãо контурà?

143

R1 L

R1

C

R1

R1

R2

R2

R2

R2

L

C

a)

á)

â)

ã)

Ðèñ. 4.36

5.Почему резонàíñ â ïàðàллельном колебàтельном контуре нàçû- âàется резонàíñîì òîêîâ?

6.Êàêîâû ýêâèâàлентные схемы послеäîâàтельноãî è ïàðàллельно- ãо контуроâ íà резонàнсной чàстоте?

7.Почему послеäîâàтельный контур äолжен рàáîòàть с источником сиãíàëà, имеющим мàëîå âнутреннее сопротиâление, à ïàðàл- лельный контур с источником, имеющим большое âнутреннее сопротиâление?

8. ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ äостоинстâî ñâÿçàнных колебàтельных контуроâ ïî ñðàâнению с оäиночным?

9.Êàêîâû îñíîâíûå ñâîéñòâà ðåàêòèâíûõ äâухполюсникоâ?

10.Êà÷åñòâенно построить АЧХ цепей, получàåìûõ íà рисунке 4.36.

11. Послеäîâàтельный колебàтельный контур, имеющий L = = 100 ìêÃí, C= 2,5 íÔ, R = 6 Îì, ðàáîòàет с источником сиã- íàëà, у котороãî Rã = 2 Îì. Êàêîâà áóäет полосà пропускàния системы äо и после поäключения нàãрузки к емкостному элементу с сопротиâлением Rí = 10 êÎì?

Îòâåò: fà = 12,7 êÃö íåíàãруженноãî è

fà.í = 19,1 êÃö íàãруженноãо контуроâ.

ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ В РЕЖИМЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

5.1. Негармонические периодические сигналы. Разложение в ряд Фурье

Ïðè ïåðåäàче информàöèè ïî êàíàëàì ñâÿçè â процессе преобрàçîâàíèÿ ñèãíàëîâ â ðàзличных устройстâàõ, êàê ïðàâило, используют неãàрмонические колебàния, поскольку чисто ãàрмони- ческие колебàíèÿ íå ìîãóò ÿâляться носителями информàöèè. Äëÿ ïåðåäàчи сообщений осущестâëÿþò ìîäуляцию ãàрмоническоãо колебàíèÿ ïî àмплитуäå àмплитуäíàÿ ìîäуляция (AM), чàстоте

144

÷àстотнàÿ ìîäуляция (ЧМ) или фàçå ôàçîâàÿ ìîäуляция (ФМ), либо используют импульсные сиãíàëû, ìîäулируемые по àмплитуäå àмплитуäно-импульснàÿ ìîäуляция (АИМ), ширине ши- ротно-импульснàÿ ìîäуляция (ШИМ), âременному положению âремя-импульснàÿ ìîäуляция (ВИМ). Сущестâóþò è äðóãие, более сложные сиãíàлы, формируемые по специàльным зàêîíàм. Отли- чительной чертой укàçàííûõ ñèãíàëîâ ÿâляется сложный неãàрмонический хàðàктер. Несинусоиäàльный âèä имеют токи и нàпряжения, формируемые â ðàзличных импульсных и цифроâых устройстâàõ (ãл. 19), несинусоиäàльный хàðàктер приобретàþò ãàрмони- ческие сиãíàлы, прохоäящие через рàзличные нелинейные устройстâà (ãë. 11) è ò. ä. Âñå ýòî ïðèâîäит к необхоäимости рàçðàботки специàльных метоäîâ àíàëèçà и синтезà электрических цепей, нà- õîäящихся поä âîçäåéñòâием периоäических несинусоиäàльных и непериоäических токоâ è íàпряжений. В осноâå ýòèõ ìåòîäîâ ëå- æàт спектрàльные преäñòàâления несинусоиäàльных âîçäåéñòâèé, áàзирующиеся нà ðàзложении â ðÿä èëè èíòåãðàл Фурье.

Èç ìàòåìàтическоãî àíàëèçà èçâестно, что периоäическàÿ íå- ãàрмоническàя функция f(t) óäîâëåòâоряющàÿ óñëîâиям Дирихле , может быть рàзложенà â ðÿä Фурье:

		a0	∞	(ak cos kω1t + bk sin kω1t );
	f ( t ) =		+ å		ω1 = 2π T , (5.1)
	2		k=1

ãäå ak, bk

ниями

ak

коэффициенты рàзложения, опреäеляемые урàâíå-

		2	T		2	T
	=		ò f ( t ) cos kω1t dt;	bk =		ò f ( t ) sin kω1t dt.	(5.2)
		T			T
			0			0

1 T

Величинà a0 2 = T 0ò f ( t ) dt ïðåäñòàâëÿåò ñðåäíåå çà периоä çíà÷å-

ние функции f(t) è íàçûâàется постоянной состàâляющей.

В теоретических исслеäîâàниях обычно âместо формулы (5.1) используют äðóãóþ, îñíîâàííóþ íà çàìåíå íåçàâисимой переменной α = ω1t:

	f (		α ) =	a0	∞	( ak cos kα + bk sin kα ),
					+ å				(5.3)
ãäå			2		k=1
		2π						2π
	1		f (α ) cos kα dα; bk =				1
ak =		ò						ò f (α )sin kα dα.	(5.4)
	π	0					π	0

Ýòè óñëîâия требуют, чтобы нà периоäå Ò функция f (t) èìåëà конечное число рàç- ðûâîâ ïåðâîãî ðîäà и конечное число мàксимумоâ и минимумоâ, ÷òî äëÿ ðåàльных электрических сиãíàëîâ обычно âыполняется.

Функция f (t) может иметь смысл кàê òîêà, òàê è íàпряжения.

145

Óðàâнение (5.3) есть триãонометрическàÿ ôîðìà ðÿäà Фурье. При àíàлизе цепей чàñòî óäобней пользоâàться комплексной формой ряäà Фурье, которàя может быть полученà из (5.3) с помощью формул Эйлерà:

cos kα = ( e jkα + e− jkα )2; sin kα = ( e jkα − e− jkα )( 2j ). (5.5)

Ïîäñòàâèâ (5.5) â óðàâнение (5.3), после несложных преобрà- çîâàний получим комплексную форму ряäà Фурье:

				∞
			f ( α ) = 12 k=å−∞ Ake jkα,							(5.6)
ãäå Ak комплекснàÿ àмплитуäà k-é ãàрмоники:
			Ak = ak − jbk		= Ake	− jϕk	,			(5.7)
ãäå A =			àмплитуäà; ϕ		= arctg (b					) íà÷àëüíàÿ ôàçà
	a2	+ b2		k				a	k
k	k	k				k

k-é ãàрмоники. Поäñòàâèâ çíàчения ak è bk èç (5.4) â (5.7), получим:

	1	2π	(k = 0;± 1;±2;K).
Ak =		ò f ( α ) e− jkαdα,		(5.8)
	π
		0

Ñîâокупность àмплитуä 0,5Àk = 0,5À k â ðàзложении (5.6), отложенных протиâ ñîîòâåòñòâующих положительных и отрицàтельных чàñòîò , îáðàзует симметричный относительно оси коорäèíàò (âñëåä- ñòâие четности коэффициентоâ àk) линейчàòûé àмплитуäный спектр.

Ñîâокупность орäèíàò ϕk = ϕ k èç (5.7), âõîäÿùèõ â ðàзложение (5.6) и отложенных протиâ ñîîòâåòñòâующих положительных и отрицàтельных чàñòîò, îáðàзует симметричный относительно нà÷à- ëà îñè êîîðäèíàò (âñëåäñòâие нечетности коэффициентоâ bk) линейчàòûé ôàçîâый спектр.

Ðàзложение (5.3) можно преäñòàâèòü è â äðóãой форме. Если учесть, что àk = Àk cos ϕk è bk = Àk sin ϕk, то после поäñòàíîâêè â (5.3) получим:

		a0	∞
	f ( α ) =		+ å Ak cos (kα − ϕk ).	(5.9)
	2		k=1

Åñëè ðàññìàòðèâàть постоянную состàâляющую α0/2 êàê íóëå- âóþ ãàрмонику с нà÷àльной фàçîé ϕ0 = 0, òî ðàзложение (5.9) примет âèä

∞
f ( α ) = å Ak cos (kα − ϕk ).	(5.10)

k=0

Â÷àстном случàå, êîãäà функция f(α) симметричнà относительно оси орäèíàò (ðèñ. 5.1, à), â ðàзложении (5.3) окàжутся только четные (косинусоиäàльные) ãàрмоники:

Понятие отрицàтельной чàстоты не имеет физическоãо смыслà, îäíàêî îíî óäîáíî â теоретических исслеäîâàниях, поэтому широко используется â специàльной литерàòóðå.

146

f(α)

f(α)

1

1

-3p

-p

0

p

3p

a

-2p

-p

0

p

2p

a

/

/

/

/

2

2

2

2

-1

-1

a)

á)

Ðèñ. 5.1

f ( a ) =

a0

∞

+ å ak cos ka,

(5.11)

2

k=1

à при симметричности f(a)

относительно нà÷àëà

êîîðäèíàò

(ðèñ. 5.1, á) нечетные ãàрмоники

∞

f ( a ) = å bk sin ka.

(5.12)

k=1

Ïðè ñäâèãå íà÷àëà отсчетà функции f(a) åå àмплитуäный спектр не изменяется, à меняется только фàçîâый спектр. Дейстâи- тельно, сäâинем функцию f(a) ïî îñè âремени âëåâî íà t0 è îáî-

çíà÷èì a1 = w1 (t + t0).

Òîãäà ðàзложение (5.9) примет âèä

		a		∞		a	0	∞	ü
	f ( a1 ) =		0	+ å Ak cos (ka1	- jk ) =			+ å Ak cos (ka - j¢k )ï		(5.13)
		2				2
				k=1				k=1	ý
	ãäå j¢k = jk + wt0.								ï
									þ

Пример. Ðàзложить â ðÿä Фурье прямоуãольные колебàíèÿ (ðèñ. 5.1, á). Учитыâàÿ, ÷òî f (a) симметричнà относительно нà÷àëà êîîðäèíàò â ðàзложении (5.3) остàнутся только синусоиäàльные ãàрмоники (5.12), ãäå bk îïðåäе- лится соãëàñíî (5.4):

		2	π	4
	bk =		ò f ( a ) sin ka da =		, ãäå k = 1,3,5,K
		p		kp
			0

Ïîäñòàâèâ bk â (5.12), получим рàзложение â ðÿä Фурье:

f ( a ) =	4	æ sin a		+	sin 3a	+	sin 5a	ö	(5.14)
	p	ç	1		3		5	+ K÷.
		è						ø

Äàëåå ñäâинем получим

f ( a ) = 4p

f (a) íà p/2 âëåâî (ñì. ðèñ. 5.1, à). Òîãäà

é sin ( a + p 2)

+

sin 3 ( a + p 2)

+

sin 5 ( a + p 2)

ê

1

3

5

ë

=

4

æ cos a

-

cos 3a

+

cos 5a

ö

,

p

ç

3

5

- K÷

è 1

ø

ñîãëàñíî (5.13)

+Kùú =

û(5.15)

т. е. получили рàзложение по косинусоиäàльным состàâляющим кàê è äолжно быть äля симметричноãо относительно оси орäèíàò ñèãíàëà.

147

f(α)	f(αn)
		m
0	α	2π	4π	α
	αn
		Ðèñ. 5.2

 ðÿäå ñëó÷àåâ, êîãäà периоäè÷íàя функция f(a) çàäàíà ãðà- фически и имеет сложную форму, ее рàзложение â ðÿä Фурье можно осущестâèòü ãðàôî-àíàлитическим способом. Еãî ñóòü çà- êëþ÷àåòñÿ â том, что периоä ñèãíàëà Ò (ðèñ. 5.2) ðàçáèâàþò íà m интерâàëîâ, ðàâíûõ Da = 2p/ò, причем точки рàçðûâà f(a) íå äолжны попàäàòü íà ñåðåäèíó ó÷àñòêîâ ðàзбиения; опреäеляют

çíàчение сиãíàëà f(an) â ñåðåäèíå êàæäîãî ó÷àñòêà ðàзбиения. Нàõîäят коэффициенты рàзложения àk è bk путем зàìåíû èí-

òåãðàëà â (5.2) конечной суммой

		2	m				2p		ü
ak »			å f ( an ) cos k ( n - 1 2)						,ï
		m n=1					m		ï	(5.16)
k		2	m	f ( a	n	) sin k ( n - 1 2)	2p		ý
	»		å					. ï
b
		m n=1					m		ï
									þ

Óðàâнение (5.16) леãêî ïðîãðàммируется и при âычислении àk è bk, может использоâàòüñÿ ÝÂÌ.

5.2. Действующее, среднее значение и мощность периодического негармонического сигнала

Äëÿ îïðåäеленности положим, что f(t) имеет смысл токà i(t). Òîãäà äåéñòâующее знàчение периоäическоãî íåãàрмоническоãî òî- êà îïðåäеляется соãëàñíî (3.5), ãäå i(t) îïðåäеляется урàâнением (5.10):

∞	∞
i (t ) = å Imk cos (ka - jk ) = I0	+ å Imk cos (kw1t - jk ). (5.17)
k=0	k=1

Ïîäñòàâèâ ýòî çíàчение токà â (3.5), после интеãðèðîâàния получим

		∞	I2			∞
	I =	I02 + å	mk	=		I02 + å Ik2 ,		(5.18)
			2
		k=1				k=1

ò. å. äåéñòâующее знàчение периоäическоãî íåãàрмоническоãî òîêà I полностью опреäеляется äåéñòâующими знàчениями еãî ãàрмоник Ik è íå çàâèñèò îò èõ íà÷àльных фàç jk.

148

Àíàëîãичным обрàçîì íàõîäèì äåéñòâующее знàчение перио- äическоãо несинусоиäàëüíîãî íàпряжения:

			∞	U2					∞
	U =	U02 + å			mk	=		U02 + å Uk2 ,			(5.19)
				2
			k=1						k=1

Ñðåäíåå çíàчение токà îïðåäеляется соãëàсно общему âûðà- жению (3.9). Причем обычно берут среäíåå çíàчение i(t) ïî àб- солютной âеличине

			1	T
	Iñð ( 2)	=		ò	i (t )	dt.	(5.20)
			T
				0

Àíàëîãè÷íî îïðåäеляется Uñð (2).

С точки зрения теории цепей, большой интерес преäñòàâëÿåò ñðåäíÿÿ àêòèâíàя мощность неãàрмоническоãî ñèãíàëà è ðàñïðå- äеление ее межäó îòäельными ãàрмоникàìè.

Ñðåäíÿÿ àêòèâíàя мощность периоäическоãо несинусоиäàëüíîãî

ñèãíàëà

1

T

P =

ò u (t ) i (t ) dt,

(5.21)

T

ãäå

0

∞

ü

i (t ) = å Imk cos (kw1t - jk ),

ï

k=0

ï

(5.22)

∞

ý

u (

t

) =

U

mk

cos (kw t - j

k

+ y

k

),ï

å

1

ï

k=0

þ

yk ôàçîâûé ñäâèã ìåæäу током и нàпряжением k-é ãàрмоники. Поäñòàâëÿÿ çíàчения i(t) è u(t) èç (5.22) â óðàâнение (5.21), после интеãðèðîâàния получàåì:

∞	∞
P = å UkIk cos yk = å Pk,		(5.23)
k=0	k=0

ò, å. ñðåäíÿÿ çà периоä àêòèâíàя мощность периоäическоãî íåãàр- моническоãî ñèãíàëà ðàâíà сумме мощностей отäельных ãàрмоник. Формулà (5.23) ÿâляется оäной из форм широко изâестноãî ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ.

Àíàëîãè÷íî íàõîäèì ðåàêòèâную мощность

∞		∞
Q = å UkIk sin yk		= å Qk		(5.24)
k=0		k=0
и полную мощность
	∞	∞
S = UI = å Uk2		å Ik2 .		(5.25)
	k=0	k=0

149

Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что â отличие от ãàрмонических сиãíàëîâ (ñì. (3.121)) äëÿ íåãàрмонических сиãíàëîâ

		S ¹			.	(5.26)
			P2 + Q2
Величинà Pècê =				носит		íàçâàíèå мощности
		S2 - ( P2 + Q2 )
èñêàжений è õàðàктеризует степень рàзличия â ôîðìàõ òîêà i(t) è
íàпряжения u(t).
Кроме мощности	èñêàжений периоäические неãàрмонические

ñèãíàëû õàðàктеризуются еще ряäîì коэффициентоâ: мощности, kì = P/S; формы Kô = U/Uñð (2); àмплитуäû Ka = Um/U; èñêà-

∞

жений kè = U1/U; ãàрмоник kã = å Uk2 U1 è äр. Для синусои-

k=2

äàëüíîãî ñèãíàëà kô = p/2 2 » 1,11; ka = 2 » 1,41; kè = 1; kã = 0.

5.3. Спектры периодических негармонических сигналов

Ðàссмотрим послеäîâàтельность прямоуãольных импульсоâ, изобрàженную нà ðèñ. 5.3, à. Ñèãíàëû ïîäобной формы нàõîäят очень широкое применение â ðàäиотехнике и электросâÿçè: òåëå- ãðàфия, цифроâые системы переäàчи, системы мноãîêàíàльной сâÿ- çè ñ âременным рàçäелением кàíàëîâ, ðàзличные импульсные и цифроâые устройстâà è äð. (ñì. ãл. 19). Импульснàя послеäîâà- тельность хàðàктеризуется слеäующими осноâíûìè ïàðàìåòðàìè: àмплитуäой импульсà Aè , åãî äлительностью tè и периоäîì ñëå- äîâàíèÿ Ò. Отношение периоäà Ò ê äлительности tè íàçûâàåòñÿ ñêâàжностью импульсоâ и обознà÷àется через q = T/tè. Обычно знàчения скâàжности импульсоâ ëåæàò â ïðåäåëàх от нескольких еäèíèö (â измерительной технике, устройстâàõ äискретной пере- äà÷è è îáðàботки информàöèè), äо нескольких сотен или тысяч (â ðàäиолокàöèè).

Äëÿ íàõîæäения спектрà послеäîâàтельности прямоуãольных импульсоâ âоспользуемся ряäом Фурье â комплексной форме (5.6).

f(t)

f(t)

Aè

Aè

-tè/2	0 tè/2				t	0		tè	t
	tè			T				T
	a)					á)

Ðèñ. 5.3

Величинà Aè может иметь смысл кàê íàпряжения, тàê è òîêà.

150