Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

xñâ = ( A1 + A2t + A3t2 + K + Amtm−1 ) ept.

(6.8)

Ïðåäñòàâëÿåò ïðàктический интерес и случàé, êîãäà корни по- пàрно комплексно-сопряженные ðk,k 1 = α ± jωñ. Ïðè ýòîì â формуле (6.7) соотâåòñòâóþùàÿ ïàðà корней ðk,k 1 çàменяется слà- ãàемыми âèäà

Ae−αt sin ( ω t + θ ) ,	(6.9)
c

ãäå A, θ постоянные интеãðèðîâàíèÿ, îïðåäеляемые тàêæå èç íà÷àльных услоâèé.

6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка

Ðàссмотрим применение клàссическоãî ìåòîäà ê ðàсчету перехоäных процессоâ â цепях перâîãî ïîðÿäêà. Ýòî öåïè, ñîäåðæàщие только оäнотипные реàêòèâные элементы (емкости или инäóêòèâности), процессы, â которых описыâàþòñÿ äифференциàльными урàâнениями перâîãî ïîðÿäêà

b	dx + b x = w (		t	) .	(6.10)
1	dt	0

Примером цепей перâîãî ïîðÿäêà ÿâляются простейшие RL è RC öåïè.

Переходные процессы в RL-цепях. Ðàссмотрим âключение RL-

цепи к источнику нàпряжения u(t) (ðèñ. 6.1). Èç ðèñ. 6.1 ñëåäóåò, ÷òî äо коммутàöèè êëþ÷ Ê ðàзомкнут, поэтому ток iL(0 ) = 0 è öåïü íàõîäèòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àльных услоâиях. В момент t = 0 ключом Ê çàìûêàем (осущестâим коммутàöèþ) öåïü, ïîäключиâ ее к источнику нàпряжения u(t). После зàìûêàíèÿ êëþ÷à Ê â öåïè íàчнется перехоäный процесс. Для еãî ìàòåìàтическоãî îïèñàíèÿ âыберем â êà÷åñòâå íåçàâисимой переменной iL = i è ñîñòàâèì îò-

носительно нее äифференциàльное урàâнение по ЗНК:
Ri + uL = Ri + L di	= u (t ) .	(6.11)
dt

Óðàâнение (6.11) относится к линейным неоäíîðîäíûì äифференциàльным урàâнениям перâîãî ïîðÿäêà òèïà (6.3), решение котороãо можно зàïèñàòü ñîãëàñíî (6.5) â форме

i = iïð + iñâ ,

ãäå iñâ ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà, обуслоâëåííàÿ ñâîáîäными процессàìè,

протекàющими â öåïè áåç ó÷àстия источ- никà u(t); inp принужäåííàÿ ñîñòàâ- ëÿþùàÿ òîêà, обуслоâëåííàÿ äåéñòâием источникà íàпряжения u(t).

	(6.12)
K			R
u(t)						uL
				L
	Ðèñ. 6.1

161

Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ

òîêà iñâ есть общее решение оäíî-

ðîäíîãî äифференциàëüíîãî óðàâнения

Ri

+ L diñâ = 0

(6.13)

ñâ

dt

è ñîãëàñíî (6.7)

i

= Aept,

(6.14)

ñâ

ãäå À постояннàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ; ð корень хàðàктеристиче-

ñêîãî óðàâнения типà (6.6);

pL + R = 0.

(6.15)

Îòñþäà

p =

R/L. Величинà 1/ | ð | носит

íàçâàние постоянной

âремени цепи. В нерàçâåòâленной RL-öåïè τ = L/R.

Принужäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ iïp может

áûòü îïðåäåëåíà êàê

÷àстное решение урàâнения (6.11). Оäíàêî, êàê áûëî óêàçàíî âû-

øå, iïp можно нàйти более просто метоäàìè ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøå-

ãося режимà öåïè. Ðàссмотрим äâà ÷àстных случàÿ:

1) u (t ) = U = const;

2) u ( t ) = Um sin ( ωt + ϕu ).

 ïåðâîì ñëó÷àе принужäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàя может быть оп-

ðåäåëåíà èç óñòàíîâèâøåãося режимà: iïp = U/R. Äëÿ íàõîæäåíèÿ

постоянной интеãðèðîâàíèÿ A перепишем (6.12) â форме i = Àå t/τ +

+ U/R и учтем нà÷àльные услоâèÿ äëÿ i, à òàêæå ïåðâûé çàêîí

коммутàöèè (6.1):

i ( 0− ) = i ( 0+ ) = 0 = A + U R.

Îòñþäà À = U/R. Òàêèì îáðàçîì, çàкон изменения токà â RL-

öåïè îïðåäеляется урàâнением

i = U

(1 − e−t τ ).

(6.16)

R

Íàпряжение нà èíäóêòèâности соãëàñíî (1.9)

u, i

uL = L di = Ue−t τ.

(6.17)

U

iïð

dt

U/R

i(t)

Íà рис. 6.2 изобрàæåíû ãðàôèêè

çàâисимости i(t) è uL(t). Àíàëèç ïî-

U/e

лученных урàâнений (6.16) и (6.17)

u (t)

ïîêàçûâàет, что чем больше посто-

L

0

τ

t

ÿííàÿ âремени

öåïè τ, òåì ìåäëåí-

U e

t

τ

íåå

çàòóõàåò

перехоäíîé

процесс.

=

Íà

ïðàктике принято считàòü ïåðå-

i â

R

ñ

õîäной процесс зàконченным

ïðè

-U/R

t = (3 ... 5) τ, ïðè t = 3τ òîê äîñòèãà-

Ðèñ. 6.2

åò 95% ñâîåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà-

162

чения, à ïðè t = 5τ более 99%. Грàфически постояннàÿ âремени τ может опреäелиться кàк интерâàë âремени нà îñè t îò t = 0 äо точки пересечения кàñàтельной к uL (ðèñ. 6.2), â óêàçàнный момент нàпряжение нà uL уменьшàåòñÿ â å ðàç ïî ñðàâнению с нà÷àльным.

Àíàлиз полученных результàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè íóëåâûõ íà÷àльных услоâèÿõ â момент t = 0+ èíäóêòèâность âåäåò ñåáÿ êàк бесконечно большое сопротиâление (рàçðûâ öåïè), à ïðè t = ∞ êàк бесконечно мàлое сопротиâление (короткое зàìûêàíèå öåïè).

Äëÿ âòîðîãî ñëó÷àя принужäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà ñîãëàñ-

íî § 3.6 iïð = Im sin ( ωt + ϕu − ϕ ) , ãäå Im = Um R2 + (ωL)2 , ϕ = = arctg(ωL/R). Постояннàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäеляется из урàâ-

нения

iL ( 0− ) = iL ( 0+ ) = 0 = A + Im sin ( ϕu − ϕ ),

îòêóäà A = −Im sin ( ϕu − ϕ ). Ñëåäîâàтельно, зàкон изменения токà
â öåïè â ýòîì ñëó÷àå áóäåò
i = Im sin ( ωt + ϕu − ϕ ) − Im sin ( ϕu − ϕ ) e−t τ.	(6.18)

Íà рис. 6.3 изобрàæåíà âременнàÿ çàâисимость токà (6.18). Íà- пряжение нà èíäóêòèâности

uL = L di	= UmL sin ( ωt + ϕu − ϕ + π 2) +
dt		(6.19)
+UmL		R	sin ( ϕu − ϕ ) e−t τ,
		ωL

ãäå UmL = ωLIm.

Àíàëèç óðàâнения (6.18) покàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå ïîäключения цепи к источнику u(t) â момент, коãäà ϕu = ϕ ± π/2 â послеäíåé ìîãóò âозникàòü ñâерхтоки. Если постояннàÿ âремени цепи τ äîñòà- точно âåëèêà, òî ñêà÷îê òîêà â íà÷àльный периоä может äîñòèãàòü

imax ≈ 2Im. Íàпротиâ, ïðè âключении цепи â момент, коãäà ϕu = ϕ, â íåé ñðàçó íàñòóïàåò óñòàíîâèâшийся режим. Анàëîãè÷íàÿ êàðòè-

íà íàáëþäàåòñÿ è ñ íàпряжением нà èíäóêòèâности (6.19).

 êà÷åñòâå âòîðîãо примерà ðàñ÷åòà ðàссмотрим случàй ненулеâûõ íà÷àльных услоâèé â RL-цепи (рис. 6.4). К моменту ком-

ìóòàöèè â äàííîé öåïè áûëà çàïàñåíà ýíåðãèÿ ìàãнитноãî ïîëÿ, ðàâíàÿ WL = Li2(0 )/2, ãäå i(0 ) = U/(R0 + R). После коммутà-

öèè â RL-öåïè âозникàет перехоäный процесс, описыâàåìûé óðàâнением:

L di	+ Ri = 0,	(6.20)
dt

ò. å. iïp = 0. Ðåøàÿ óðàâнение (6.20), нàõîäим с учетом (6.13) (6.15):

i = iñâ = Aept = Ae−tτ.

163

i
	iïð
0 ϕi /ω	t
	i
iñâ
	Ðèñ. 6.3

+			R0				R i
		U				K				L

Ðèñ. 6.4

u,	i
U
R + R0
		i(t)
	0	t
		uL(t)
uL(0+)
		Ðèñ. 6.5

K		i	R
u(t)				C				uC

Ðèñ. 6.6

Постоянную À íàõîäèì èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ i(0 ) è çàêîíà коммутàöèè (6.1):

i ( 0− ) = i ( 0+ ) = U( R + R0 ) = A.

Окончàтельно зàкон изменения токà â перехоäном режиме описы- âàåòñÿ óðàâнением

i =	U	e−t τ.	(6.21)
	R + R
	0

Íàпряжение uL îïðåäеляется кàê

	uL = L di	= −	U	Re−t τ .	(6.22)
			R + R0
	dt

Íà рис. 6.5 изобрàæåíû ãðàôèêè i è uL. Ñëåäует отметить, что âñÿ ýíåðãèÿ WL, çàïàñåííàÿ â èíäóêòèâности с течением âремени, рàñõîäуется нà теплоâые потери â R. При ненулеâûõ íà÷àльных услоâèÿõ L âåäåò ñåáÿ êàк источник токà.

Переходные процессы в RÑ-цепях. Ïðè ðàсчете перехоäных процессоâ â RÑ-цепях â êà÷åñòâå íåçàâисимой переменной âûáèðàþò uC. Çàòåì òàêæå ñîñòàâëÿþò äифференциàльное урàâнение äëÿ çà- äàííîé RÑ-öåïè, решение котороãо с учетом нà÷àльных услоâèé äëÿ uC(0) è îïðåäеляет зàкон изменения нàпряжения нà емкости.

Ðàссмотрим âíà÷àëå RC-öåïü ïðè íóëåâûõ íà÷àльных услоâиях (рис. 6.6), которàÿ ïîäêëþ÷àåòñÿ â момент t = 0 к источнику по-

стоянноãî è(t) = U или синусоиäàëüíîãî è(t) = Um sin(ωt + ϕu) íàпряжения. Перехоäный процесс â äàнной цепи описыâàåòñÿ äèô-

ференциàльным урàâнением

164

uC + Ri = RC duC	+ uC = u,	(6.23)
dt

решение котороãî èùåì òàêæå â форме суммы общеãî è ÷àñòíîãо решений, опреäеляющих сâîáîäную и принужäенную состàâляющие:

uC = uC ñâ + uC ïð.

(6.24)

Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ÿâляется решением оäíîðîäíîãî äифференциàëüíîãî óðàâнения

	RC	duC ñâ	+ uC ñâ	= 0;	(6.25)
		dt
		uC ñâ = Aept,			(6.26)

ãäå ð îïðåäеляется из хàðàктеристическоãî óðàâнения

RCp + 1 = 0; p = −1RC.

Величинà RC носит нàçâàние постоянной âремени RC-цепи и обознà÷àется через τ.

Îïðåäелим принужäенную состàâляющую uCïp äëÿ ñëó÷àÿ, êî- ãäà u(t) = U = const. Èç ðèñ. 6.6 ñëåäóåò, ÷òî â óñòàíîâèâшемся режиме uCïp = U. Ñëåäîâàтельно, с учетом (6.24) и (6.26) урàâнение äëÿ èC примет âèä èC = Ae t/τ + U. Äëÿ íàõîæäения постоянной интеãðèðîâàíèÿ À учтем нулеâûå íà÷àльные услоâèÿ äëÿ uC (0 )

è âторой зàкон коммутàöèè (6.2): uC (0 ) = uC (0+) = 0 = A + U, îòêóäà À = U. Òàêèì îáðàзом, получàем окончàтельно:

uC = U (1 − e−t τ ).

(6.27)

Òîê â öåïè îïðåäеляется соãëàñíî (1.12):

i = C duC =	U e−t τ.	(6.28)
dt	R

Íà рис. 6.7 изобрàæåíû ãðàфические зàâисимости uÑ (t) è i(t). Àíàлиз полученных результàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî â момент

t = 0+ емкость Ñ (ïðè íóëåâûõ íà÷àльных услоâèÿõ) âåäåò ñåáÿ

ui	uÑ ïð
U/R	uC(t)
	i(t)
0	t
	uÑ ñâ
-U
	Ðèñ. 6.7

uÑ(t)
ϕC/ω	t
uÑ ñâ	uÑ(t)
	Ðèñ. 6.8

165

êàк короткозàмкнутый учàñòîê. Íàпротиâ, ïðè t = ¥ емкость преä- ñòàâляет собой бесконечно большое сопротиâление (рàçðûâ öåïè äля постоянноãî òîêà).

Ðàссмотрим случàé ãàрмоническоãî âîçäåéñòâия. Нетруäíî âè- äåòü ÷òî ïðè ýòîì

	uC ïð = UmC sin ( wt + ju + j - p 2),									(6.29)
	ãäå
	UmC = XCImC =	1			Um				ü
								,ï
		wC
					R2 + (1 wC )2					(6.30)
									ý
	j = arctg[1 ( wRC )],								ï
									þ
	à íàпряжение
	uC = Ae−t τ + UmC sin ( wt + ju + j - p 2).
	Постояннàÿ À íàõîäèòñÿ èç íà÷àльных услоâèé								äëÿ	uC (0+) ïðè
	t = 0+:
	A = -UmC sin ( ju + j - p 2).
	Окончàтельно зàкон изменения нàпряжения
	uC = UmC sin ( wt + ju + j - p 2) −									(6.31)
	-UmC sin ( ju + j - p 2) e−t τ.

Íà рис. 6.8 изобрàæåí ãðàôèê çàâисимости uC (t). Àíàëèç óðàâ- нения (6.31) покàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå íåóäà÷íîãî âключения при ju = p j и большой t â öåïè ìîãóò âозникàть перенàпряжения,

äîñòèãàþùèå íà емкости âеличины uC max » 2UmC.  ñëó÷àå óäà÷- íîãî âключения, коãäà ju = p/2 j, â öåïè ñðàçó íàñòóïàåò óñòà-

íîâèâшийся режим. Ток â öåïè

	i = C duC		= ImC sin ( wt + ju + j ) +
	dt		1	(6.32)
	+ ImC			sin ( ju + j - p 2) e−t τ.
		wRC

Ðàссмотрим теперь случàй ненулеâûõ íà÷àльных услоâèé, êîãäà емкость Ñ, çàряженнàÿ äî íàпряжения U, ðàçðÿæàåòñÿ íà сопротиâление R (рис. 6.9). К моменту коммутàöèè â емкости былà çàïàñåíà ýíåðãèÿ WC = CU2/2. После коммутàöèè âозникàет перехоäный процесс, опреäеляемый урàâнением

RC	duC	+ uC = 0,	(6.33)
	dt
т. е. имеет место сâîáîäный режим рàçðÿäà (емкости):
uC = uC ñâ = Aept = Ae−t τ.			(6.34)

166

i

u, i

+

1

U

2

K

uC(t)

U

R

C

uC

0

t

-U/R

i(t)

Ðèñ. 6.9

Ðèñ. 6.10

Постоянную интеãðèðîâàíèÿ À íàõîäèì èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ äëÿ uC (0+) = U è çàêîíà коммутàöèè (6.2):

uC ( 0− ) = uC ( 0 + ) = U = A.

Òàêèì îáðàзом, получàåì çàкон изменения нàпряжения нà емкости

uC = Ue−t τ		(6.35)
è òîêà â öåïè
i = C duC	= − U e−t τ.	(6.36)
dt	R

Çíàê « » â óðàâнении (6.36) äëÿ òîêà ñâèäетельстâóåò î òîì, ÷òî òîê ðàçðÿäà íàïðàâлен протиâоположно опорному нàïðàâлению нàпряжения èÑ â емкости (см. § 1.2). Нà ðèñ. 6.10 ïðèâåäåíû ãðà- фики изменения нàпряжения èÑ (t) è òîêà i(t) äàííîé RÑ-öåïè. Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что âñÿ çàïàñåííàÿ ýíåðãèÿ WC емкости с течением âремени преобрàзуется â элементе R â тепло. При ненулеâûõ íà÷àльных услоâèÿõ Ñ âåäåò ñåáÿ êàк источник нàпряжения.

6.4. Переходные процессы в цепях второго порядка

Ðàíåå ðàññìàòðèâàлись перехоäные процессы â RL- è RÑ-це- пях, которые относятся к цепям перâîãî ïîðÿäêà, òàê êàк описы- âàþòñÿ äифференциàльными урàâнениями перâîãî ïîðÿäêà (6.11), (6.23). Ïðè íàличии â öåïè äâóõ íåçàâисимых нàкопителей энерãии перехоäные процессы â них описыâàþòñÿ óðàâнением âòîðîãî ïîðÿäêà. Простейшим примером тàêîé öåïè ÿâляется

послеäîâàтельный

колебàтельный

контур (рис. 6.11). Для этоãо контурà

+

1 K R i

можно по àíàëîãèè ñ RL- è RÑ-

цепью состàâèòü äифференциàльное

U

2

uL

L

óðàâнение âòîðîãî ïîðÿäêà, âûáðàâ â

C

êà÷åñòâå íåçàâисимой переменной нà-

пряжение нà емкости

uL + uR + uC = L di

+ Ri + uC = u.

uC

Ðèñ. 6.11

dt

167

Учитыâàÿ, ÷òî i = CduC / dt окончàтельно получàåì

LC	d2u	C + RC	du	C + uC = u.	(6.37)
	dt2		dt

Решение äифференциàëüíîãî óðàâнения (6.37) ищется соãëàñíî (6.5) â форме суммы сâîáîäíîé uCñâ и принужäенной uCïð ñîñòàâ- ляющих:

uC = uC ñâ + uC ïð .

(6.38)

Âèä uCïð çàâèñèò îò õàðàêòåðà приложенноãî íàпряжения, à uCñâ îïðåäелится решением оäíîðîäíîãî äифференциàëüíîãî óðàâ- нения âòîðîãî ïîðÿäêà:

	LC	d2uC ñâ	+ RC	duC ñâ	+ uC ñâ = 0.	(6.39)
		dt2		dt

Решение урàâнения (6.39) зàâèñèò îò âèäà корней хàðàктерис-

тическоãî óðàâнения
LCp2 + RCp + 1 = 0.	(6.40)

Корни урàâнения (6.40) опреäеляются только пàðàìåòðàìè öåïè

íåçàâисимо от âûáðàнной переменной:
p = -	R		±	æ	R ö2		-	1	.		(6.41)
				ç		÷
1,2	2L							LC
				è	2L ø

Величинà a = R / 2L носит нàçâàíèå коэффициентà çàòóõàния контурà, à w0 = 1LC есть резонàíñíàÿ ÷àñòîòà контурà (ñì. § 4.2). Òàêèì îáðàçîì, óðàâнение (6.41) можно переписàòü â âèäå

p	= -a ±	a2 - w2	.	(6.42)
1,2	0

Õàðàктер перехоäíîãо процессà сущестâенным обрàçîì çàâèñèò îò âèäà корней ð1, ð2, которые моãóò áûòü:

1)âещестâенными и рàзличными (при R > 2r);

2)комплексно-сопряженными (ïðè R < 2r);

3)âещестâåííûìè è ðàâíûìè (ïðè R = 2r).

Çäåñü r = LC õàðàктеристическое сопротиâление контурà (см. формулу (4.22)).

Разряд емкости на RL-öåïü. Для исслеäîâàíèÿ õàðàêòåðà перехоäíîãо процессà âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ ðàссмотрим рàçðÿä емкости Ñ íà öåïü RL (ñì. ðèñ. 6.11). Òàê êàê äо коммутàции емкость Ñ áûëà çàряженà äî íàпряжения U, то имеем ненулеâûå íà- ÷àльные услоâèÿ:

uC ( 0− ) = U; WC ( 0− ) = CU22.

После коммутàции (переключение ключà Ê из положения 1 â положение 2 емкость нà÷íåò ðàçðÿæàòüñÿ è â öåïè âозникнет сâî-

168

áîäный перехоäный процесс. Нàéäåì çàкон изменения токà è íà- пряжений нà îòäельных элементàõ öåïè äëÿ ñëó÷àÿ 1) 3).

 ïåðâîì ñëó÷àå, êîãäà R > 2ρ корни p1 è ð2 â (6.41) áóäóò âå- ùåñòâенными и рàзличными, и решение урàâнения опреäелится со- ãëàñíî (6.7):

uC = uCñâ = A1ep1t + A2ep2t ,

(6.43)

ãäå A1 è A2 постоянные интеãðèðîâàíèÿ. Äëÿ îïðåäеления A1 è A2 çàпишем еще урàâнение äëÿ òîêà â öåïè:

i = C duC = C ( p1A1ep1t + p2 A2ep2t ).	(6.44)
dt

Постоянные A1 è A2 можно нàéòè èç íà÷àльных услоâèé äëÿ

uC (0 ) = U è i(0 ) = 0 (ïðè t = 0 ) è çàêîíîâ коммутàöèè (6.1), (6.2):

A1 + A2 = U,
p A + p A = 0.}				(6.45)
1	1	2	2

Из решения системы урàâнение (6.45)

A1 = −Up2 ( p1 − p2 ); A2 = Up1( p1 − p2 ).

В результàте получàåì óðàâнения äëÿ íàпряжения UC è òîêà i:

uC

=

U

( p1ep2t − p2ep1t ),

(6.46)

p1

− p2

i =

U

( ep2t − ep1t

).

(6.47)

L( p

− p

2

)

1

Çàкон изменения нàпряжения нà èíäóêòèâности опреäеляется

	ïðè ýòîì óðàâнением
	uL = L di	=	U	( p2ep2t − p1ep1t ).	(6.48)
			p1 − p2
	dt

Èç óðàâнений (6.46) (6.48) слеäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç íàéäенных âеличин uC, i, uL состоит из äâóõ ñëàãàåìûõ, çàòóõàющих по экспоненте с коэффициентàìè p1 < 0 è p2 < 0. Íà ðèñ. 6.12 ïîêàçàí õàðàêòåð çàâисимостей (6.46) (6.48). Момент âремени t1, ñîîò-

âåòñòâующий точке переãèáà uC, ìàксимуму | i| è íóëåâîìó çíà÷å-

íèþ uL îïðåäеляется из решения урàâнения di/ dt = 0, à момент t2
из решения урàâнения duL / dt = 0:
t =		1	ln p2	; t	2	= 2t .	(6.49)
1	p1	− p2	p1			1

Àíàлиз полученных криâûõ ïîêàçûâàåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àе происхоäèò àпериоäический рàçðÿä емкости Ñ, причем â интерâàëå îò 0 äî t1 ýíåðãèÿ WC ðàñõîäуется нà покрытие теп-

169

u, i
U
U1		uC(t)
0	t1	t2	t
-im	uL (t) i(t)
-U
	Ðèñ. 6.12

u, i
U
		uC(t)	uC(t + TC)
0			t
		TC
-U	i(t)
		Ðèñ. 6.13

ëîâых потерь â резистиâном сопротиâлении R è ñîçäàíèå ìàãíèò-

íîãî ïîëÿ â èíäóêòèâности (pC = uC i < 0; pL = uL i > 0). Â äàльнейшем (при t > t1) êàê ýíåðãия электрическоãо поля емкости WC,

òàê è çàïàñåííàя к моменту t = t1 ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ èíäóêòèâности WL ðàñõîäуется нà покрытие теплоâых потерь â сопротиâлении R. Отрицàтельное знàчение токà ñâèäетельстâует о протиâоположном нàïðàâлении токà ðàçðÿäà относительно опорноãî íàïðàâления.

Âî âтором случàå ïðè R < 2r, êîãäà корни p1 è p2 носят комп- лексно-сопряженный хàðàêòåð,

p	= -a ± j	w2	- a2	= -a ± jw	,	(6.50)
1,2	0			c

ãäå wc = Öw02 - a2 íàçûâàþò ÷àстотой собстâенных зàòóõàющих колебàíèé. Решение урàâнения (6.39) имеет âèä (6.9)

uC = uCñâ = Ae−αt sin ( wct + q ), (6.51)

ãäå A и q постоянные интеãðèðîâàíèÿ. Çàкон изменения токà â öåïè

i = C dudtC = -aAe−αt sin ( wct + q ) + wc Ae−αt cos ( wct + q ). (6.52)

Постоянные A è q îïðåäеляются из нà÷àльных услоâèé äëÿ uC è i è çàêîíîâ коммутàöèè (6.1), (6.2):

uC ( 0− ) = uC ( 0+ ) = U = A sin q, ü i ( 0− ) = i ( 0+ ) = -aA sin q + wc A cos q.ýþ

Îòñþäà

A = Uw0 wc; q = arctg ( wc a ). Окончàтельно урàâнения äëÿ uC, i è è принимàþò âèä

uC = U ω0 e−αt sin ( wct + q ); wc

(6.53)

(6.54)

170