Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

i = −U			1		e−αt sin ωct;	(6.55)
		ωcL
uL = U	ω0		e−αt sin ( ωct − θ ).			(6.56)
	ωc

Полученные урàâнения покàçûâàþò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àе имеет

место колебàтельный рàçðÿä емкости с чàстотой ωñ, çàâисящей только от пàðàметроâ R, L, Ñ цепи. Интерâàë âремени Òc = 2π/ωñ

носит нàçâàíèå êâàзипериоäà. Íà рис. 6.13 изобрàæåíû ãðàôèêè çàâисимостей uC (t) è i(t) îïðåäеляемых урàâнениями (6.54) и (6.55). Скорость зàòóõàния периоäическоãо процессà принято хà- ðàктеризоâàòü äекрементом зàòóõàíèÿ, который опреäеляют кàк отношение äâóõ ñîñåäíèõ àмплитуä òîêà èëè íàпряжения оäíîãî çíàêà (ñì. ðèñ. 6.13):

=		uC ( t )			= e−αTc .	(6.57)
	u	C	(t + T	)
			c

Íà ïðàктике чàще используется ëîãàрифмический äекремент зà- òóõàíèÿ

	δα = ln = αTc =			πR			.	(6.58)
			ρ2	− R2	4

Èç óðàâнений (6.57) и (6.58) слеäóåò, ÷òî çàòóõàние тем больше, чем больше R. Ïðè R = 2ρ колебàния прекрàùàются и перехоäной процесс стàíîâèòñÿ àпериоäическим. При R = 0 îêàçûâà- þòñÿ íåçàòóõàþùèå ãàрмонические колебàíèÿ ñ ÷àстотой ωñ = ω0 = = 1LC . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ñëó÷àé ïðåäñòàâляет чисто теорети- ческий интерес, тàê êàê â любом реàльном контуре имеются потери. В процессе колебàтельноãî ðàçðÿäà емкости (сâîáîäных колебàíèé â RLC-контуре) имеет место попеременное зàïàñàíèå ýíåð- ãèè WC â электрическом поле емкости и мàãнитном поле ин- äóêòèâности WL: â íà÷àëå ýíåðãèÿ WC ðàñõîäуется нà ñîçäàíèå ìàãнитноãî ïîëÿ WL èíäóêòèâности и покрытие теплоâых потерь сопротиâления R, çàòåì çàïàñåííàÿ ýíåðãèÿ WL, ðàñõîäуется нà перезàðÿä емкости и покрытие потерь â R è ò. ä. äо полноãо перехоäà ïåðâîíà÷àльной энерãèè Wc(0) â теплоâые потери â резисторе R.

Третий случàé R = 2ρ ÿâляется поãðàничным межäу колебà- тельным и àпериоäическим и соотâåòñòâует критическому рàçðÿäу емкости. Решение урàâнения (6.39) при этом имеет âèä (6.8)

u		C	= u		Cñâ	= A ept + A tept.			(6.59)
							1	2
Òîê îïðåäеляется урàâнением
i = C	duC			= C ( A p + A				+ A pt ) ept,	(6.60)
		dt				1	2	2

171

+

K

R

i

ãäå p1 = p2 = p = a корни хàðàêòå-

ристическоãî óðàâнения (6.40); À1, À2

U

uR

L

uL

постоянные интеãðèðîâàíèÿ, îïðåäåëÿå-

C

ìûå èç íà÷àльных услоâèé äëÿ uC è i è

çàêîíîâ коммутàöèè (6.1), (6.2):

uC

U = A1,

Ðèñ. 6.14

0 = A1p1 + A2.

Îòñþäà À2 = aU. Окончàтельные âûðàжения äëÿ íàпряжения и токà принимàþò âèä

uC = U ( at + 1) e−αt;	(6.61)
i = - U te−αt;	(6.62)
L
uL = U ( at - 1) e−αt.	(6.63)

Ïî ñâоей форме ãðàôèêè çàâисимостей (6.61) (6.63) àíàëîãè÷- íû êðèâым, изобрàженным нà ðèñ. 6.12 ñ òîé ëèøü ðàзницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2r. Çíàчение R = 2r

носит нàçâàíèå критическоãо сопротиâления контурà.

6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение

Включение RLC-контура на постоянное напряжение. Ðàссмотрим случàé íóëåâûõ íà÷àльных услоâèé uC (0 ) = 0, i(0 ) = 0, êîã- äà RLC-контур âêëþ÷àåòñÿ íà постоянное нàпряжение (рис. 6.14). Отличие äàííîãî ñëó÷àÿ îò ðàссмотренноãî âûøå çàêëþ÷àåòñÿ â íóëåâûõ íà÷àльных услоâèÿõ è íàличии принужäенной состàâëÿþ

ùåé uCïð = U. Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ uCñâ îïðåäеляется, кàê è ðàíåå, óðàâнениями (6.43), (6.51) или (6.59) â çàâисимости от âèäà

корней ð1 è ð2. Постоянные интеãðèðîâàíèÿ À1 è À2 íàõîäÿòñÿ ïðè ýòîì èç íà÷àльных услоâèé i(0 ) = 0, uC (0 ) = 0 è çàêîíîâ комму- тàöèè äëÿ i è uC . Îïðåäåëèì, íàпример, зàкон изменения uC , i è uL â ñëó÷àå, êîãäà корни ð1 è ð2 âещестâенные и рàзличные. При этом uCñâ îïðåäеляются урàâнением (6.43), à íàпряжение uC è òîê i имеют слеäующий âèä:

uC = uCñâ + uCïð = A1ep1t + A2ep2t + U,ü
	du			ï	(6.64)
i = C		C	= A1p1ep1t + A2p2ep2t.	ý
				ï
	dt			þ

Äëÿ íàõîæäения коэффициентоâ À1 è À2 используем нà÷àльные услоâèÿ uC (0 ) = 0 è i(0 ) = 0, à òàêæå çàконы коммутàöèè, îïðå- äеляемые âûðàжениями (6.1),(6.2):

172

0 = A1 + A2 + U,

0 = A p + A p

.}

(6.65)

1

1

2

2

Òîãäà

A1 = Up2

( p1 - p2 );

A2 = -Up1

( p1 - p2 ).

(6.66)

Окончàтельные урàâнения äëÿ èÑ, i, èL имеют âèä

uC = U -

U

( p1ep2t

- p2ep1t );

(6.67)

p1

- p2

i = -

U

( ep2t

- ep1t );

(6.68)

L( p

- p

2

)

1

uL

=

U

( p1ep1t - p2ep2t ).

(6.69)

p1

- p2

Íà рис. 6.15 изобрàæåíû ãðàôèêè çàâисимостей (6.67) (6.69),

ãäе моменты âремени t1 è t2 îïðåäеляются урàâнениями (6.49).

Ñðàâнение формул (6.67) (6.69) с (6.46) (6.48) покàçûâàåò, ÷òî

òîê i è íàпряжение èL отличàются только знàêîì, à íàпряжение

èÑ íàличием постоянной состàâляющей U.

Àíàëîãичным можно нàéòè óðàâнения нàпряжений и токà äëÿ

ñëó÷àÿ R < 2r:

uC = U

é

-

w

ù

(6.70)

ê1

0 e−αt sin ( wct + q )ú;

ë

wc

û

i =

U

e−αt sin wct;

(6.71)

wcL

uL

= -U w0 e−αt sin ( wct - q ).

(6.72)

wc

Íà рис. 6.15 штрихоâой линией покàçàíà çàâисимость (6.70),

которàÿ ñâèäетельстâует о колебàтельном хàðàктере зàðÿäà åì-

кости. Тàêèì æå îáðàзом можно получить урàâнения äëÿ uC , i è

uL äëÿ ñëó÷àя критическоãî çàðÿäà емкости Ñ ïðè R = 2r.

Включение RLC-контура на гармоническое напряжение. Ïðè

âключении RLC-контурà íà ãàрмони-

ческое нàпряжение u = Um sin(wt +

u, i

uC(t)

+ ju)

принужäåííàÿ

ñîñòàâëÿþùàÿ

uC ïð

íàпряжения нà емкости

U

uCïð = UmC sin ( wt + jC ),

(6.73)

im

i(t)

ãäå jC = ju + j p/2. Çäåñü ôàçî-

0

âûé ñäâèã ìåæäу током â контуре и

t1

t2

t

приложенным нàпряжением

uL(t)

j = arctg ( wL - 1 wC ) R,

(6.74)

Ðèñ. 6.15

173

	à àмплитуäà принужäåííîãî íàпряжения нà емкости
	UmC =	1	×		Um		=	1	× ImC.	(6.75)
		wC						wC
					R2 + ( wL - 1 wC )2

Учитыâàя, что колебàтельный контур â ðàäиотехнических устройстâàõ, êàê ïðàâило имеет âысокую äобротность, т. е. âыполняется услоâèå R =2r, òî ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ uCñâ îïðåäеляется урàâнением (6.51), и зàкон изменения нàпряжения нà емкости буäет иметь âèä

uC = UmC sin ( wt + jC ) + Ae−αt sin ( wct + q ).

(6.76)

Âçÿâ произâîäíóþ îò âûðàжения (6.76), и учтя, что äëÿ çàäàí- íîãо контурà α = ω0 ≈ ωC , получим урàâнение токà

i = C dudtC » ImC cos ( wt + jC ) + w0CAe−αt cos ( w0t + q ). (6.77)

Постоянные интеãðèðîâàíèÿ A è q íàõîäèì èç íà÷àльных услоâèé è çàêîíîâ коммутàöèè:

uC ( 0

− ) = uC ( 0+ ) = 0 = UmC sin jC + A sin q,ü

i ( 0

−

) = i ( 0

+

)

= 0 = I

mC

cos j

C

+ w CA cos q.ý

0

þ

Îòêóäà

æ w

ö

2

A = UmC

sin2 jÑ + ç

÷

cos2 jÑ ;

è w0

ø

q = arctg{w0 tg jw}.

(6.78)

(6.79)

(6.80)

Ïîäñòàâèâ çíàчения À è q èç óðàâнений (6.79), (6.80) â (6.76) и (6.77), получим окончàтельный зàкон изменения нàпряжения нà емкости и токà â RLC-контуре:

uC = UmC sin ( wt + jC ) + UmC	sin2 jC + (w w0 )2 cos2 jC		×
× e−αt sin ( w0t + q );
				×
i = ImC cos ( wt + jC ) + ImC		(w0 w)2 sin2 jC + cos2 jC
× e−αt cos ( w0t + q ).

(6.81)

(6.82)

Àíàëèç óðàâнений (6.81), (6.82) покàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòîòà приложенноãî íàпряжения w сущестâåííî ïðåâûøàåò ðåçî- íàнсную чàстоту контурà w0 ïðè jC » 0 â öåïè ìîãóò âозникнуть сâåðõíàпряжения, à â ñëó÷àå ω = ω0 è jC » p/2 ñâерхтоки.

Åñëè ÷àñòîòà çàäàþùåãî íàпряжения w = w0, òî ïðè ýòîì â öåïè âозникàþò ÿâления изохронизмà, êîãäà íàпряжение нà емкости и ток â контуре плàâно изменяется â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâ- нениями:

174

uC
0	t
-UmÑ	T = 2π/ω0
	à)

uC	UmC(t)
0	t
	T = 2π/ω0
	á)
Ðèñ. 6.16

uC = UmC (1 - e−αt ) sin ( w0t + jC );	(6.83)
i = ImC (1 - e−αt ) cos ( w0t + jC ).	(6.84)

При этом перехоäный процесс протекàет без перенàпряжений и сâерхтокоâ (ðèñ. 6.16, à).

 ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòîòà çàäàííîãî íàпряжения w и резонàíñíàÿ ÷àñòîòà контурà w0 близки межäу собой, то â контуре âозникàþò ÿâления биений. Положим, что a = 0, тоãäà

uC	=	é	+	sin (	w t + j	ù =
		UmC ësin ( wt + jC )			0	C ) û	(6.85)
	= UmC (t ) sin ( w0t + jC ),

ãäå UmÑ(t) = 2UmÑ ños Wt àмплитуäà биений с уãëîâîé ÷àстотой W = (w w0)/2. Íà ðèñ. 6.16, á, ïîêàçàí ãðàфик изменения нàïðÿ-

жений биений (6.85).

6.6. Переходные процессы в разветвленных цепях

Ïðè ðàсчете перехоäных процессоâ â ðàçâåòâленных цепях клàссическим метоäîì ñîñòàâляется системà óðàâнений äëÿ ìãíî- âенных знàчений токоâ è íàпряжений по ЗТК и ЗНК. Зàòåì ïîëó- ÷åííàя системà ñâîäèòñÿ ê äифференциàльному урàâнению соот- âåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà относительно âûáðàííîé íåçàâисимой пе-

ременной (èÑ èëè iL). После это-

ãо полученное

óðàâнение

ðåøà-

R1

i1 K

R2

i2

åòñÿ ïî àíàëîãèè ñ óðàâнениями,

+

ðàссмотренными â § 6.2 6.5.

 êà÷åñòâå

примерà

ðàссмот-

U

I

C

II

L

ðèì ðàçâåòâленную цепь âòîðîãî

i3

ïîðÿäêà,

изобрàженную

íà

ðèñ. 6.17. Äëÿ äàнной цепи имеем

Ðèñ. 6.17

ненулеâûå

íà÷àльные

óñëîâèÿ:

175

uC (0 ) = U; iL (0 ) = 0. Ñîñòàâèì äля нее систему урàâнений по зàêîíàì Êèðõãîôà:

i	= i	+ i	= i	+ Cdu	C	dt ,ü
1	2	3	2			ï
U = R1i1 + uC,						ý	(6.86)
uC = R2i2 + Ldi2 dt.						ï
						þ

Выберем â êà÷åñòâå íåçàâисимой переменной i2 = iL è, ðåøàÿ

(6.86) относительно i2, получàåì:

d2i

æ

L

ö di

æ

R

ö

U

LC

2

+

ç

+ R C

÷

2 +

ç

1

+

2

÷

i =

,

(6.87)

dt2

R1

2

dt

2

R1

è

ø

è

R1 ø

ò. å. âûðàжение (6.87) есть неоäíîðîäíîå äифференциàльное урàâ- нение âòîðîãî ïîðÿäêà, àíàëîãичное (6.37). Еãо решение, кàк обычно, нàõîäèì â âèäå

i2 = i2ñâ + i2ïð,

(6.88)

ãäå i2np = U/(R1 + R2), à i2ñâ îïðåäелим из решения оäíîðîäíîãî äифференциàëüíîãî óðàâнения

d2i

æ

L

ö

di

æ

R

ö

2ñâ

2ñâ

LC

+

ç

+ R C

÷

+

ç

1

+

2

÷

i

= 0. (6.89)

dt2

è

R1

ø

dt

è

R1 ø

Решение послеäíåãо имеет âèä, àíàëîãичный (6.43), (6.51) или (6.59) â çàâисимости от âèäà корней хàðàктеристическоãî óðàâ- нения

LCp2 +	æ	L	+ R C	ö p +	æ	1 +	R2	ö	= 0.	(6.90)
	ç				ç			÷
		R1	2	÷			R1
	è			ø	è			ø

Постоянные интеãðèðîâàíèÿ îïðåäеляются из нà÷àльных усло- âèé è çàêîíîâ коммутàции, причем äëÿ íàõîæäåíèÿ èÑ используется системà óðàâнений (6.86). Нàпример, äëÿ ñëó÷àÿ âещестâенных и рàзличных корней при R1 = R2 = R получим

i2 = i2ïð + i2ñâ =				U		+ A1ep1t + A2ep2t;
		di2		2R
				æ U			ö
uC = Ri2	+ L	dt	= Rç				+ A1ep1t + A2ep2t ÷	+
				è 2R			ø
	+L( p1A1ep1t + p2 A2ep2t ),

ãäå A1 è À2 îïðåäеляются из нà÷àльных услоâèé è çàêîíîâ коммутàöèè:

i2 ( 0− ) = i2 ( 0+ ) = 0 = 2UR + A1 + A2;

uC ( 0− ) = uC ( 0+ ) = U = U2 + L( p1A1 + p2 A2 ) + R( A1 + A2 ), îòêóäà

176

A1

=

U

×

Lp2 + 2R

;

u, i

2RL

p1 - p2

U

uC(t)

A2

= -

U

×

Lp1 + 2R

.

2RL

p1 - p2

U/2

i2

(t)

Íà рис. 6.18 изобрàæåíû ãðàôèêè

i2 ïð =U/2R

uC (t) è i2 (t).

0

t1

t

Êàê ñëåäóåò èç âышеукàçàííî-

ãî, äëÿ îïðåäеления хàðàêòåðà ïå-

Ðèñ. 6.18

ðåõîäíîãо процессà è çàïèñè óðàâ-

нения сâîáîäíîé ñîñòàâляющей незàâисимой переменной необхо-

äèìî ðàñïîëàãàòü õàðàктеристическим урàâнением цепи. Это урàâ-

нение может быть получено из соотâåòñòâóþùåãî äифференциàëü-

íîãî óðàâнения цепи или из àíàëèçà åå îïåðàторноãо сопротиâëå-

ния (см. § 7.3). Послеäнее может быть получено, если â óðàâнении

äля комплексноãо сопротиâления цепи Z = Z(jw) çàменить оперà-

òîð jw íà ð è ïðèðàâíÿòü åãî ê íóëþ:

Z ( p ) = Z ( jw)		jω=p = 0.	(6.91)

Íàпример äля цепи, изобрàженной нà рис. 6.17, имеем:

Z = Z ( jw) = R1 + ( R2 + jwL) jwC . R2 + jwL + 1 jwC

Îòñþäà

Z ( p ) = R1 + ( R2 + pL)pC = 0, R2 + pL + 1 pC

или после преобрàçîâàíèé

LCp2 +	æ	L	+ R C	ö p +	æ	1 +	R2	ö	= 0,
	ç				ç			÷
		R1	2	÷			R1
	è			ø	è			ø

что полностью соâïàäàåò ñ (6.90).

Òàêèì îáðàçîì, îòïàäàет необхоäимость преобрàçîâûâàть систему урàâнений к оäíîìó óðàâнению äëÿ âûáðàííîé íåçàâисимой переменной.

 çàключение слеäует отметить, что применение клàссическоãî ìåòîäà ðàñ÷åòà к цепям более âысокоãî ïîðÿäêà âстречàåò îïðå- äеленные труäности. Глàâное из них резко âîçðàñòàющий объем необхоäèìûõ âычислений, сâÿçàнных с решением зàäà÷ óðàâнений âысокоãî ïîðÿäêà.  ýòîé ñâÿçè â послеäíåå âðåìÿ âсе большее применение нàõîäÿò äðóãèå ìåòîäû ðàñ÷åòà перехоäных процессоâ: ìåòîä переменных состояний, оперàторный и чàстотные метоäы, которые буäóò ðàссмотрены ниже.

177

6.7.Метод переменных состояния

Âíàстоящее âðåìÿ äëÿ àíàëèçà перехоäных процессоâ â цепях широкое применение нàõîäèò ìåòîä переменных состояния, позâоляющий при рàñ÷åòàх эффектиâно использоâàòü ÝÂÌ. Ñóòü ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â том, что перехоäный процесс â öåïè ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òðàектория â m-мерном прострàíñòâå (ãäå

òïîðÿäîê öåïè) ñ íà÷àльной точкой при t = 0 (íà÷àльное состояние) и конечной при t = ¥. Íàпример, перехоäный процесс â послеäîâàтельном RLC-контуре (см. § 6.4, àпериоäè÷å- ñêèé ðàçðÿä и рис. 6.12) можно â прострàíñòâе состояний преä-

ñòàâèòü êðèâой, изобрàженной нà ðèñ. 6.19, ãäå iL(0) = 0 è uC(0) = U õàðàктеризуют нà÷àльное состояние цепи, à iL(t) è uC(t) îïðåäеляют состояние цепи â любой зàäàнный момент âремени. Достоинстâà ýòîãî ìåòîäà íàãëÿäность, простотà, óäîáñòâî ïðîãðàммироâàíèÿ íà ÝÂÌ, âозможность àíàëèçà êàк линейных, тàк и нелинейных цепей, à òàкже цепей с переменными пàðàìåòðàìè.

Поясним сущность äàííîãî ìåòîäà íà примере цепи, нàõîäÿ-

щейся при ненулеâûõ íà÷àльных услоâèÿõ: iL(0) = i0, uC (0) = u0 (ðèñ. 6.20). Äëÿ ýòîé öåïè ïðè t … 0 можно зàïèñàòü:

uL = L diL

= uC;

duC

dt

uC

i = C

= -i -

,

C

dt

L

R

èëè

di

1

ü

L

=

uC,

ï

dt

L

(6.92)

ý

duC

1

1

= -

i -

u

.ï

dt

RC

C L

C

þ

Óðàâнения (6.92) нàçûâàþòñÿ óðàâнениями состояния цепи, à iL è uC переменными состояния. Íà÷àльные услоâèÿ iL(0) = i0 è uC (0) = u0 îïðåäеляют с помощью (6.92) состояния цепи â любой момент t … 0. Величины iL è uC можно считàть компонентàìè âекторà состояния õ:

uC

U

iC

iL

iR

t=0

R

t1

U1

C

L

t=∞

-im

0

iL

Ðèñ. 6.19

Ðèñ. 6.20

178

x =

iL

.

uC

Òîãäà (6.92) можно переписàòü â ìàтричной форме:

dx

= x&

(t ) = Ax (t );

t … 0,

(6.93)

ãäå

dt

0

1 L

i0

A =

; x ( 0 ) =

.

-1 C

-1 RC

u0

 ñëó÷àå, åñëè öåïü íàõîäится после коммутàöèè ïîä âîçäåéñò-

âием источникоâ, óðàâнение состояния принимàåò âèä
x& ( t ) = Ax ( t ) + Bw ( t ),	(6.94)

ãäå w(t) âектор âîçäåéñòâий источникоâ; Â ìàòðèöà ïàðàметроâ öåïè.

Íàпример, äëÿ ñëó÷àÿ âключения RLC-контурà íà постоянное нàпряжение урàâнение состояния имеет âèä (6.94), ãäå

A =

-R L

-1 L

;

B =

1 L

; W (t ) = U = const.

1 C

0

0

Çíàя состояние цепи õ(t), ðåàêöèþ öåïè y(t) (òîêè è íàпряжения â любой âåòâи) можно нàéòè êàк линейную комбинàöèþ âектороâ состояния õ(t) è âõîäíûõ âîçäåéñòâèé w(t):

y ( t ) = Cx (t ) + Dw ( t ),

(6.95)

ãäå ó(t) âектор искомых реàêöèé öåïè; Ñ, D ìàтрицы, зàâи- сящие только от пàðàметроâ öåïè. Óðàâнение (6.95) нàçûâàþò

óðàâнением реàêöèè öåïè.

Òàê, åñëè â êà÷åñòâе компонентоâ âекторà ó(t) â ïðåäûäущем примере RLC-контурà âçÿòü uR è uL, то искомые реàêöèè öåïè (uR è uL) îïðåäеляются соãëàсно системе урàâнений:

uR = RiL + 0 × uC + 0 ×U, } uL = -RiL - 1× uC + 1×U,

которую можно переписàòü â форме (6.95), ãäå

y (t ) =

uR

; C =

R 0

; D =

0

.

uL

-R -1

1

Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что урàâнения (6.93) (6.95) спрàâåäëè- âû äля линейных цепей с постоянными пàðàìåòðàìè (ìàтрицы À, Â, Ñ, D íå çàâèñÿò îò t). Для цепей с переменными пàðàìåòðàìè (ïàðàметрические цепи) мàтрицы À(t), B(t), C(t), D(t) ÿâляются функциями âремени.

Óðàâнения (6.94), (6.95) осноâíûå â ìåòîäе переменных состояний. Для решения урàâнений состояния моãут использоâàòüñÿ

179

êàê àíàлитические, тàк и численные метоäû. Àíàлитически урàâ- нение (6.94) может быть решено â îáëàñòè êàê äåéñòâительноãо переменноãî t, òàк и комплексноãо переменноãî ð (ñì. § 7.3). Ðàссмотрим некоторые осноâíûå ìåòîäы решения урàâнения состояния.

Метод матричных экспонент. Решение этим метоäîì èùóò â форме

t
x = x ( t ) = eAtx ( 0 ) + ò eA( t−τ )Bw ( τ )dτ,	(6.96)
0

ãäå åAt ìàтричнàя экспонентà (ìàòðèöà перехоäà). Èç (6.96) ñëåäует, что решение урàâнения состояния соäержит äâà ñëàãàå- ìûõ: ïåðâîå ðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì âõîäíîì ñèãíàëå; âторое реàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì íà÷àльном состоянии.

Äëÿ âычисления åAt обычно используют рàзложение

	eAt = I + At + A2	t2	+ A3	t3	+ K	(6.97)
		2!		3!

Пример. Íàéäåì ìàтрицу перехоäà äля схемы, изобрàженной нà ðèñ. 6.21. Ìàтрицы À è Â äëÿ äàнной схемы имеют слеäующий âèä:

A =		−R2 L 1 L		; B =		0				.
		−1 C −1 R C				1 R C
		1				1

Примем L = 0,55 Ãí, Ñ = 0,5 Ô, R1 = l Îì, R2 = 3,5 Îì, å(t) = 1 Â, iL = = 0, uC = 1 Â. Òîãäà

A =		−7	2				;	B =		0				.
		−2	−2							2

Ñîãëàñíî (6.97) ìàòðèöà перехоäà примет âèä

	At	=		1	0				+				−7	2				t +	1					−7	2				2	2	+ K =
e				0	1								−2	−2										−2	−2				t
																			2!
		=			−7t + 22,5t2 − K0 + 2t − 9t2 + K																														.
				1
				0	−2t + −9t2 − K1 − 2t + 0t2 + K

Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà перехоäà ïðåäñòàâляет собой кâàäðàòíóþ ìàтрицу поряäêà ï ñ элементàìè â форме ряäîâ îò t. Ïîäñòàâèâ çíàчение åAt â óðàâнение (6.96), можно опреäелить после интеãðèðîâàния искомое решение x(t).

R1	iR	L	iL
+		iC
uã		C	R2

Ðèñ. 6.21

Ñëåäóåò, îäíàко, отметить, что ряä (6.97) ñõîäèòñÿ ìåäленно и использоâà- íèå óðàâнения (6.96) требует большоãо объемà âычислений, поэтому âместо (6.96) обычно используют итерàционную процеäóðó äëÿ äискретных моментоâ

âремени tn = n t = nh, ãäå h = t äîñòà- точно мàëûé øàã:

180