Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

F ( p ) = F1 ( p ) − F2 ( p ) = τ1p (1 − e−pτ ).

Устремиâ τ → 0, íàéäем изобрàжение еäиничной импульсной

функции (δ-функции): δ ( t ) 1.

Экспоненциальный сигнал f (t ) = e−αt ïðè t > 0:

	∞	1
	F ( p ) = ò e−αte−ptdt =		,
		α + p
	0
	ò. å.
	e−αt 1 ( α + p ).		(7.24)

Ïîäобным же обрàзом можно нàйти изобрàжение по Лàïëàñó äðóãих функций, уäîâëåòâоряющих услоâию (7.3). В литерàтуре имеются специàльные спрàâочники, â которых приâåäåíû îðèãè- íàлы и изобрàжения широкоãî êëàññà функций. В тàáë. 7.1 ïðè- âåäåíû îðèãèíàлы и их изобрàжения нàиболее чàñòî âстречàю- щихся â теории электрических цепей функций.

7.2. Теорема разложения

Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðèãèíàëà по изобрàжению можно âоспользоâàòüñÿ ëèáî òàáëèöàми, либо использоâàòü îáðàтное преобрàçî- âàíèå Ëàïëàñà (7.4). Îäíàêî âычисление ориãèíàëà с помощью (7.4) обычно окàçûâàåòñÿ âåñüìà сложным. Поэтому, äля упрощения рàсчетоâ применяют теорему рàзложения, которàÿ ïîçâоляет при нàõîæäåíèè îðèãèíàëà çàменить оперàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ â (7.4) îïåðàцией суммироâàíèÿ, ÷òî çíàчительно упрощàåò âы- числения. Нàиболее строãèé âûâîä этой теоремы можно осущест- âèòü íà îñíîâàнии теоремы âычетоâ. Çäåñü ìû îãðàничимся âû- âîäом формул рàзложения применительно к изобрàжению, преä- ñòàâляющему собой рàöèîíàльную äðîáü:

F ( p ) =	F1 ( p )	=	anpn + an−1pn−1 + K + a1p + a0				,	(7.25)
	F2 ( p )
			b pm + b	m−1	pm−1 + K + b p + b
			m		1	0

ãäå an,an−1,Ka1,a0; bm,bm−1,Kb1,b0 âещестâенные коэффициенты, причем F1(p) è F2(p) не имеют общих корней.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðèãèíàëà f(t) ðàзложим F(p) íà простые äðîáè:

F1	( p )	m	Ak
		= å			,	(7.26)
F	( p )		p − p
2		k=1		k

ãäå pk простые корни хàðàктеристическоãî óðàâнения

F	( p ) = b	m	pm + b	pm−1 + K + b p + b = 0.		(7.27)
2			m−1	1	0

Ak коэффициенты рàзложения.

191

Äëÿ òîãо, чтобы нàйти коэффициент Ak äомножим обе чàñòè (7.26) íà (ð pk) и перейäåì ê ïðåäåëó:

		F1	( p )			m	Ak
	lim ( p - pk )			=	lim ( p - pk ) å				.	(7.28)
		F	( p )
	p→pk				p→pk	k=1	p - p	k
		2

Ðàñêðûâàя неопреäеленность â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (7.28) ïî ïðàâилу Лопитàля и учитыâàÿ, ÷òî ñîãëàñíî (7.27) ïðàâàÿ ÷àñòü (7.28) ðàâíà Ak, получàåì

	Ak =	F1 ( pk )	,	ãäå F2¢ ( pk ) =	dF2 ( p )			(7.29)
							.
		F2¢ ( pk )			dp
							p=pk

Ïîäñòàâèâ çíàчения Ak â формулу (7.26), нàéäåì:

F ( p ) =

F ( p )

m

F ( p

k

)

1

1

=

å

1

.

F2 ( p )

F2¢ ( pk )

k=1

p - pk

Если учесть, что изобрàжение

1 ( p - pk ) epkt

(ñì. òàáë. 7.1), òî

íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà линейности преобрàçîâàíèÿ Ëàïëàñà îêîí-

÷àтельно получим:

( p )

( p

)

F ( p ) =

F

m

F

k

epkt.

1

f

(t )

= å

1

(7.30)

F2 ( p )

F2¢ ( pk )

k=1

Формулà (7.30) ÿâляется мàòåìàтической формулироâкой теоремы рàзложения и позâоляет нàéòè îðèãèíàл по изобрàжению â âèäå (7.25), â ñëó÷àе простых корней. Если среäи корней pk имеется оäèí íóëåâой корень, т. е. F2(ð) = pF3(p), то теоремà ðàзложения примет âèä

	F ( p ) =	F1 ( p )		F1 ( 0 )	m	F1 ( pk )	epkt. (7.31)
			f (t ) =		+ å
		pF3 ( p )		F3 ( 0 )
					k=1 pkF3¢ ( pk )

Формулу (7.31) можно получить, если поäñòàâèòü â (7.30) âместо F2 (ð) çíàчение pF3 (ð) и осущестâèòü îïåðàöèþ äифференцироâàíèÿ.

Åñëè ñðåäи корней урàâнения (7.27) (полюсоâ функции F(p)) имеются комплексно-сопряженные корни pk è pk+1, òî â формуле (7.30) äîñòàточно âçÿòü pk, à äëÿ pk+1 âзять сопряженное знàчение, при этом суммà ñîîòâåòñòâóþùàÿ äâум этим корням с учетом äåéñòâительности f(t) áóäåò ðàâíà

	é	F	( p	k	) ù
2Re	ê	1				ú epkt.	(7.32)
		F2¢
	ë		( pk ) û

Ïðè ýòîì â óðàâнении äëÿ f(t) ïîÿâÿòñÿ ñîñòàâляющие типà (6.9): Ae−αt sin ( wct + q ).

Теорему рàзложения можно обобщить и нà более общие случàè.  ÷àстности, если среäи полюсоâ (7.25) имеются полюсà êðàтности l, òî â îðèãèíàëå f(t) ïîÿâÿòñÿ ñëàãàåìûå òèïà (6.8).

192

Пример. Çàäàно изобрàжение â âèäå

F ( p ) =	p + 2
		.
	p ( p2 + 5p + 4 )

Обознà÷èì F1(p) = p + 2; F2(p) = p(p2 + 5 p + 4). При этом получим F(p) â âèäå (7.25). Íàéäем корни хàðàктеристическоãî óðàâнения F2(p) = p(p2 +

+ 5 p + 4) = 0.

p1 = 0; p2 = -1; p3 = -4.

Ïðè ýòîì F1(p1) = 2; F1(p2) = 1; F1(p3) = 2. Îïðåäелим произâîäíóþ

F2¢ ( p ) = 3p2 + 10p + 4.

Îòñþäà F2¢(p1) = 4; F2¢(p2) = 3; F2¢(p3) = 12. Воспользоâàâшись формулой (7.30), окончàтельно получим:

f (t ) =	F1 ( p1 )	ep1t +	F1 ( p2 )	ep2t +	F1 ( p3 )	ep3t	=	1	-	1 e−t -	1 e−4t.
	F2¢ ( p1 )		F2¢ ( p2 )		F2¢ ( p3 )
								2		3	6

Учитыâàÿ, ÷òî ñðåäи корней хàðàктеристическоãî óðàâнения F2 (p) = 0 имеем оäèí íóëåâой корень, при нàõîæäåíèè f (t) можно было âоспользоâàться и формулой (7.31). Дейстâительно, если обознà÷èì

F3 ( p ) = p2 + 5p + 4,

то получим

F ( p ) = F1 ( p ) . pF3 ( p )

Òîãäà корни урàâнения F3 (p) = 0 áóäóò ðàâíû p1 = l, p2 = 4. С учетом знàчений

F3′ ( p ) = 2p + 5; F3′ ( p1 ) = 3; F3′ ( p2 ) = -3;

F3 ( 0 ) = 4; F1 ( 0 ) = 2; F1 ( p1 ) = 1; F1

( p2 ) = -2

ñîãëàсно (7.31) окончàтельно получим

F (

0 )

F1 ( p1 )

p t

F1 ( p2 )

p

t

æ

1

1

1

ö

f (t ) =

1

+

e 1

+

e

2

= ç

-

e−t -

e−4t ÷

,

F3 (

0 )

p1F3¢ ( p1 )

p2F3¢ ( p2 )

2

3

6

è

ø

что полностью соâïàäàåò ñ ðàнее полученным решением.

7.3. Расчет переходных процессов операторным методом

Пользуясь осноâíûìè ñâîéñòâàми преобрàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, можно получить осноâíûå çàконы теории цепей â îïåðàторной форме. Рàссмотрим, нàпример, послеäîâàтельный RLC-контур (см. рис. 6.14), нàõîäящийся при ненулеâûõ íà÷àльных услоâèÿõ uC (0 ) ¹ 0; iL(0 ) ¹ 0. Äëÿ ýòîãо контурà óðàâнение по ЗНК имеет

âèä:

		di		1	t		di	+ uC (0− ) +	1	t
	u = Ri + L		+		ò	idt = Ri + L				ò idt. (7.33)
		dt					dt
				C −∞					C 0

193

Примениâ к (7.33) прямое преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà и принимàÿ âî âíèìàíèå ñâîéñòâà линейности, äифференцироâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ îðèãèíàëà получим:

	U ( p ) = RI ( p ) + pLI ( p ) − Li( 0 ) +	uC ( 0 )	+	1	I ( p ).
		p		pC

Îòñþäà получàåì çàêîí Îìà â îïåðàторной форме äëÿ äàííîé

	öåïè:	U ( p ) + Li( 0 ) − uC ( 0 ) p			U0 ( p )
	I ( p ) =			=			,	(7.34)
			R + pL + 1 pC			Z( p )

ãäå U0(p) = U(p) + Li (0) uC (0) / p носит нàçâàíèå îïåðàторно-

ãî íàпряжения; Z(p) = R + pL + 1/ pC îïåðàторноãо сопротиâления цепи. Åñëè â Z(p) çàменить ð íà jω, то получим комплексное сопротиâление цепи. Величины Li(0) è uC (0) / p íàçûâà- þò ðàсчетными нàпряжениями. Îíè õàðàктеризуют энерãèþ ìàã- нитноãо и электрическоãо полей, зàïàсенную â L è Ñ к моменту коммутàции. Величинà, îáðàòíàÿ Z(p) íàçûâàåòñÿ îïåðàторной проâîäимостью öåïè:

	1					1
	Y ( p ) =			=				.
		Z( p )					R + pL + 1 pC
	Äëÿ íóëåâûõ íà÷àльных услоâèé çàêîí Îìà примет âèä
	I ( p ) =		U ( p )			= U ( p )Y ( p ).			(7.35)
			Z( p )

Àíàëîãичным обрàзом можно получить çàêîíû Êèðõãîôà â îïå- ðàторной форме:

ïåðâûé çàêîí (ÇÒÊ)

m
å Ik ( p ) = 0;	(7.36)
k=1
âторой зàêîí (ÇÍÊ)
n
åUk ( p ) = 0.	(7.37)

k=1

Òàêèì îáðàçîì, çàêîí Îìà è çàêîíû Êèðõãîôà â îïåðàторной форме àíàëîãичным этим же зàêîíàì â комплексной форме (см. (3.48) (3.50)) с той лишь рàзницей, что â (7.37) â êàæäîé èç ï âåòâåé ïðè íàличии ненулеâûõ íà÷àльных услоâèé äåéñòâóþò äо- полнительные рàсчетные источники Lkik(0) è uCk(0)/ ð, положительное нàïðàâление которых соâïàäàåò ñ âûáðàнным положительным нàïðàâлением токà â ýòîé âåòâè.

Используя зàêîíû Îìà è Êèðõãîôà â îïåðàторной форме, можно нàйти изобрàжения искомых токоâ è íàпряжений â öåïè. Äëÿ îïðåäеления ориãèíàëîâ òîêîâ è íàпряжений можно âоспользо-

194

âàòüñÿ ëèáî òàáëèöàìè îðèãèíàëîâ и изобрàжений, либо применить теорему рàзложения.

Для иллюстрàöèè îñíîâных теоретических положений нàéäåì îïåðàторным метоäîì çàкон изменения токà â послеäîâàтельном RLC-контуре при âключении еãî íà источник постоянноãî íàпряжения (см. § 6.5). Урàâнение äля изобрàжения токà можно нàéòè ïî çàêîíó Îìà äëÿ íóëåâûõ íà÷àльных услоâий (7.35) с учетом изобрàжения постоянноãî íàпряжения U(p) U/ p:

I ( p ) =	U ( p )		=	U p		=	CU		=	F1 ( p )	.
		Z( p )					LCp2 + RCp + 1
				R + pL +	1 pC					F2 ( p )

Íàéäем корни хàðàктеристическоãî óðàâнения

F ( p ) = LCp2				+ RCp + 1 = 0;
2
p = -	R		±	æ		R ö2		-	1	.
				ç			÷
1,2	2L								LC
				è		2L ø

Ïðè R > 2r корни буäóò âещестâåííû è ðàзличны. Для нàõîæäå- íèÿ îðèãèíàëà òîêà i(t) âоспользуемся теоремой рàзложения (7.30). Для этоãî íàéäем произâîäíûå F2¢(p1) è F2¢(p2):

F2′ ( p1 ) = 2LCp1 + RC;

F2¢ ( p2 ) = 2LCp2 + RC.

Ïîäñòàâèâ çíàчения F1(p) = F1(p2) = CU è F2¢(p1) è F2¢(p2) â (7.30) получим ориãèíàë òîêà

i(t ) =		CU			ep1t	+	CU		ep2t
	2LCp1 + RC						2LCp2	+ RC
= −		U			( ep2t − ep1t ),
		L( p − p	2	)
	1

что полностью соâïàäàåò ñ ðàнее полученным урàâнением (6.68).

Èç ðàссмотренноãо примерà хорошо âèäны преимущестâà îïå- ðàторноãî ìåòîäà: простотà, отсутстâèå ãромозäêèõ îïåðàöèé ïî îïðåäелению постоянных интеãðèðîâàíèÿ. Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что бàзируясь нà çàêîíàõ Îìà è Êèðõãîôà â îïåðàторной форме, можно рàссчитàть перехоäный процесс любым из рàíåå ðàссмотренных метоäîâ: контурных токоâ, óçëîâûõ íàпряжений и äð. Ïðè ýòîì óäобно пользоâàòüñÿ ýêâèâàлентными оперàторными схемàìè. Ïðè ñîñòàâлении экâèâàлентных оперàторных схем источники токà è íàпряжений i(t) è u(t) çàменяются соотâåòñò- âующими изобрàжениями I(p) è U(p), èíäóêòèâность L çàменяется нà pL, à емкость Ñ íà 1/pC ïðè íóëåâûõ íà÷àльных услоâèÿõ. Åñëè íà÷àльные услоâия ненулеâые, то послеäîâàтельно с pL äîáàâляется источник нàпряжения Li(0), à ñ Ñ источник

195

Li(0)

C

pL uC(0) Li(0)

+ 1/pC u+C(0)/p

Ðèñ. 7.5

		R1	I (p)	R2	I (p)
+			1		2

1/pC

U/p I3(p) pL

+

uC(0)/p

Ðèñ. 7.6

íàпряжения uC (0)/ð (ðèñ. 7.5) . Íàпример, экâèâàлентнàÿ îïåðàòîðíàÿ ñõåìà äля цепи, изобрàженной нà ðèñ. 6.17, áóäет иметь âèä (ðèñ. 7.6). Ñîñòàâèâ äля этой схемы урàâнения по зà- êîíàì Êèðõãîôà â îïåðàторной форме, получим систему àëãåá- ðàических урàâнений, решение которых сущестâенно проще системы (6.86).

Îïåðàторный метоä можно использоâàòü è äля решения урàâнения состояния цепи (см. § 6.7). При этом урàâнение состояния (6.94) с учетом сâîéñòâ äифференцироâàíèÿ îðèãèíàëà и линейности преобрàçîâàíèÿ Ëàïëàñà примет

âèä:

pX ( p ) − x ( 0 ) = AX ( p ) + BW ( p ) ,

(7.38)

ãäå Õ(ð), W(p) изобрàжения âектороâ состояния x(t) è âõîäíûõ âîçäåéñò- âèé W(t).

Из (7,38) получàем непосреäñòâенно решение

X ( p ) = ( pI − A )−1 BW ( p ) + ( pI − A )−1 x ( 0 ) ,

(7.39)

ãäå I åäиничнàÿ ìàòðèöà. Примениâ к (7.39) теорему рàзложения, можно получить искомый âектор состояния

x ( t ) X ( p ).

7.4. Операторные передаточные функции

Âàæíóþ ðîëü â ìåòîäàõ àíàëèçà и синтезà электрических цепей при нулеâûõ íà÷àльных услоâèÿõ èãðàþò îïåðàторные пере- äàточные функции, которые опреäеляются кàк отношение изобрà- жения âûõîäíîé ðåàкции цепи к изобрàжению âõîäíîãî âîçäåéñò- âèÿ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäелением рàçëè÷àют четыре âèäà ïåðåäàточных функций:

Возможны схемы зàмещения зàряженной емкости uC(0) è èíäóêòèâности с током iL(0) с помощью источникоâ òîêà ñ çàäàющими токàìè CuC(0) è iL(0)/p ñîîòâåòñòâåííî.

196

Hu		( p ) =	U2 ( p )				, Hi ( p ) =		I2 ( p )		,
			U1		( p )
									I1 ( p )
H	Z	( p ) =		U2	( p )		, H	( p ) =		I2 ( p )
				I1	( p )		Y		U1 ( p )

ü

ï

ï (7.40)

ý

.ïï

þ

ãäå Íè(ð), Hi(p) имеют смысл оперàторных переäàточных функций по нàпряжению и току; ÍL(ð); ÍY(ð) îïåðàторные переäà- точные сопротиâление и проâîäимость соотâåòñòâåííî.

Åñëè â (7.40) çàменить оперàòîð ð íà jw, то получим урàâнение комплексных переäàточных функций Í(jw), которые были рàс- смотрены â § 4.1 и широко используются при чàстотных метоäàõ àíàëèçà электрических цепей (см. § 4.2 4.4, 9.5).

Çíàÿ ïåðåäàточную функцию цепи Í(ð), ñ помощью (7.40) нетруäíî íàйти изобрàжение реàêöèè öåïè, à ñëåäîâàтельно, и сàìó ðåàêöèþ íà çàäàííîå âîçäåéñòâèå.

Îïåðàторную переäàточную функцию Í(ð) äëÿ ïàññèâной цепи можно преäñòàâèòü êàê äробно-рàöèîíàльную функцию с âещест- âенными коэффициентàìè:

	H ( p ) =	anpn + an−1pn−1 + K + a1p + a0				=		w ( p )	;	(7.41)
		bmpm + bm−1pm−1 + K + b1p + b0						v ( p )
	èëè â âèäå
	H ( p ) = H ( p - p0 )( p - p02 )K( p - p0n ) ,									(7.42)
		( p - p	)( p - p	2	)K( p - p		m	)
		1

ãäå p01, p02, ..., p0n íóëè; p1, p2, ..., pm полюсы переäàточ- ной функции; Í = àn/bm.

Степени полиномоâ числителя ï è çíàìåíàòåëÿ ò çàâèñÿò îò ÷èñëà ðåàêòèâных элементоâ ïàññèâíîé öåïè.

Çàìåíèâ â (7.41) îïåðàòîð ð íà jw, получим комплексную переäàточную функцию цепи

H ( jw) = H ( jw) e jϕ ( ω),

ãäå À×Õ öåïè

		H ( jω )		=	(a0 − a2ω2 + a4ω4 − K)2 + (a1ω − a3ω3 + a5ω5 − K)2
					(b0 − b2ω2 + b4ω4 − K)2 + (b1ω − b3ω3 + b5ω5 − K)2 ; (7.43)
	Ô×Õ öåïè
						(a1w - a3w3 + a5w5 - K)
					j( w) = arctg			-
						(a0 - a2w2 + a4w4 - K)		(7.44)
						(b1w - b3w3 + b5w5 - K)
					-arctg
							.
						(b0 - b2w2 + b4w4 - K)

197

Учитыâàÿ, ÷òî ñîãëàñíî (7.43) | H(jω)| ÿâляется иррàöèîíàльной, обычно при àíàлизе и синтезе цепей имеют äåëî ñ êâàäðàòîì À×Õ:

H ( jω )

2

c

ω2n + c ω2n−2

+ K + c

ω2

+ c

n

=

0

1

n−1

,

(7.45)

ω2m + d ω2m−2

d

+ K + d

ω2

+ d

m

0

1

m−1

ãäе коэффициенты ñk è dk получàются путем объеäинения коэффициентоâ ïðè îäèíàêîâых степенях переменной ω.

Перечислим осноâíûå ñâîéñòâà îïåðàторных переäàточных функций и кâàäðàòà À×Õ ïàññèâных цепей:

1.Ïåðåäàòî÷íàя функция яâляется äробно-рàöèîíàльной функцией с âещестâенными коэффициентàми. Вещестâенность коэффициентоâ объясняется тем, что они опреäеляются элементàми схемы.

2.Полюсы переäàточной функции рàñïîëàãàþòñÿ â ëåâой полуплоскости комплексной переменной ð. Íà ðàсположение нулей

îãðàничений нет. Докàæåì ýòî ñâîéñòâî íà примере переäàточной /U1(ð). Выберем âõîäíîå âîçäåéñòâèå

δ(t) èëè â îïåðàторной форме U(ð) = l. Изобрàжение âû-1

õîäíîãî íàпряжения U2(ð) = U1(ð) Íè(ð)

â ýòîì ñëó÷àе численно

ðàâíî Íè(ð), ò. å.

w ( p )

U2 ( p ) = Hu ( p ) =

=

pm + b

m−1

pm−1

+ K + b p + b

w ( p )

1

0

Am

=

=

A1

+

A2

+ K +

,

( p − p

)( p − p

)K( p − p

)

p − p

p − p

p − p

2

m

2

m

1

1

ãäå w(p) полином числителя переäàточной функции; A1, A2, ..., Am, коэффициенты рàзложения äробно-рàöèîíàльной функции нà сумму простых äробей.

Перейäем от изобрàжения U2(p) ê îðèãèíàëó u2(t):

u2 ( t ) = A1ep1t + A2ep2t + K + Amepmt,

(7.46)

ãäå â общем случàå pi = αi + jωi.

 ïàññèâных и устойчиâûõ àêòèâных четырехполюсникàõ êîëå- áàíèÿ íà âûõîäе четырехполюсникà после прекрàщения âîçäåéñòâèÿ äолжны иметь зàòóõàþùèé õàðàêòåð. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â (7.46) âещестâенные чàсти полюсоâ pi äолжны быть отрицàтельными (αi < 0), т. е. полюсы äолжны нàõîäиться â ëåâой полуплоскости переменной ð.

3. Степени полиномоâ числителей переäàточной функции и кâàäðàòà À×Õ íå ïðåâûøàют степеней полиномоâ çíàìåíàтелей, т. е. ï < ò. Åñëè áû ýòî ñâîéñòâî íå âыполнялось, то нà бесконеч- но больших чàñòîòàх АЧХ принимàëà бы бесконечно большое знà- чение (тàê êàк числитель рос бы с уâеличением чàстоты быстрее знàìåíàòåëÿ), ò. å. öåïü îáëàäàëà бы бесконечным усилением, что протиâоречит физическому смыслу.

198

	R1		i1	R1	i3
					i2
U					R2
	C	R2	E		C
				R3
	Ðèñ. 7.7			Ðèñ. 7.8

RL

R

Ðèñ. 7.9

4.Êâàäðàò À×Õ ÿâляется четной рàöèîíàльной функцией переменной w с âещестâенными коэффициентàìè. Ýòî ñâîéñòâî ñ î÷å- âèäностью âûòåêàет из способà получения кâàäðàòà À×Õ ïî ïåðå- äàточной функции.

5.Êâàäðàт АЧХ не может принимàть отрицàтельных и бесконечно больших знàчений при w > 0. Неотрицàтельность H ( jw) 2 ñëåäóåò èç ñâîéñòâ êâàäðàòà ìîäуля комплексной âеличины. Конечность знàчений АЧХ нà ðåàльных чàñòîòàх объясняется тàê æå, êàê è â ñâîéñòâå 3.

Вопросы и задания для самопроверки

1. ÷åì çàêëþ÷àется сущность оперàторноãî ìåòîäà ðàñ÷åòà öåïè?

2.×òî òàêîå îïåðàторное сопротиâление цепи?

3.×òî òàêîå îïåðàторные схемы зàмещения при состàâлении экâè- âàлентной оперàторной схемы?

4.×åì çàменяются инäóêòèâности и емкости â îïåðàторной схеме зàмещения?

5.Êàк учитыâàþòñÿ íåçàâисимые нà÷àльные услоâèÿ?

6.Çàïèñàòü çàêîí Îìà è çàêîíû Êèðõãîôà â îïåðàторной форме.

7.×òî òàêîå åäиничнàя функция и d-функция?

8.Что понимàåòñÿ ïîä îïåðàторной переäàточной функцией? Кà- êîâû åå ñâîéñòâà?

9.Êàêèì îáðàзом можно перейти от изобрàжения к ориãèíàëó?

10.Для схемы, изобрàженной нà ðèñ. 7.7, îïåðàторным метоäîì îïðåäелить нàпряжение нà êîíäåíñàòîðå uC (t). U = 20 Â; R1 =

= R2 = 100 Îì; Ñ = 4 ìêÔ.

Îòâåò: uC (t) = 10 10e-5×103 t , Â.

11.Для схемы, изобрàженной нà ðèñ. 7.8, íàйти изобрàжение токà I2 (p).

Îòâåò: I2 (p) =	1,675 ×10		-3 p + 5
				.
		p ( p + 2	×103 )

12. Çíàя изобрàжение токà (ðèñ. 7.8), îïðåäелить ориãèíàë i2 (t). Îòâåò: i2 (t) = 2,5 0,825e-2×103 t .

199

13.Для схемы, изобрàженной нà ðèñ. 7.9, îïðåäелить:

1)îïåðàторную переäàточную функцию Hu (p);

2)íàéòè À×Õ öåïè.

	Îòâåò: Hu ( p ) =	R		; H ( ω) =			R		.
		2R + pL
						4R2	+ ω2L2

ГЛАВА 8. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

8.1. Переходные и импульсные характеристики электрических цепей

 îñíîâå âременноãî ìåòîäà лежит понятие перехоäной и импульсной хàðàктеристик цепи. Перехоäíîé õàðàктеристикой öåïè íàçûâàþò ðåàêöèþ öåïè íà âîçäåéñòâèå â форме еäиничной функции (7.19). Обознà÷àется перехоäíàÿ õàðàктеристикà öåïè g(t).

Импульсной хàðàктеристикой öåïè íàçûâàþò ðåàêöèþ öåïè íà

âîçäåéñòâèå åäиничной импульсной функции (δ-функции) (7.21).

Обознà÷àется импульснàÿ õàðàктеристикà h(t). Причем, g(t)	è
h(t) îïðåäеляются при нулеâûõ íà÷àльных услоâèÿõ â öåïè .	Â

çàâисимости от типà ðåàêöèè è òèïà âîçäåéñòâèÿ (òîê èëè íàпряжение) перехоäные и импульсные хàðàктеристики моãóò áûòü áåç- ðàзмерными âеличинàми, либо имеют рàзмерность А/В или В/А.

Использоâàние понятий перехоäной и импульсной хàðàктеристик цепи позâоляет сâåñòè ðàñ÷åò ðåàêöèè öåïè îò äåéñòâия непериоäическоãî ñèãíàëà произâольной формы к опреäелению реàêöèè öåïè íà простейшее âîçäåéñòâèå òèïà åäиничной 1(t) или импульсной функции δ(t), с помощью которых àппроксимируется исхоä- íûé ñèãíàл. При этом результирующàÿ ðåàкция линейной цепи нà- õîäится (с использоâàнием принципà íàложения) кàê ñóììà ðåàê- öèé öåïè íà элементàðíûå âîçäåéñòâèÿ 1(t) èëè δ(t).

Ìåæäу перехоäíîé g(t) и импульсной h(t) õàðàктеристикàми линейной пàññèâной цепи сущестâóåò îïðåäеленнàÿ ñâязь. Ее можно устàíîâèòü, åñëè ïðåäñòàâèòü åäиничную импульсную функцию через преäельный перехоä ðàзности äâóõ åäиничных функций âе- личины 1/τ, ñäâинутых äðóã относительно äðóãà íà âðåìÿ τ (ñì. ðèñ. 7.4):

		1(t ) − 1( t − τ )		d	′
	δ (t ) = lim		=		1( t ) = 1	( t ),	(8.1)
		τ		dt
	τ→0

Импульсные и перехоäíûå õàðàктеристики цепей относятся к тàê íàçûâàемым нормироâàííûì âременным хàðàктеристикàм, поскольку они рàññìàòðèâàются по отношению к еäиничной площàäи импульсноãî âîçäåéñòâèÿ èëè åäиничноãî ñêà÷êà.

200