Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Ìîäóëü
	F ( jw)		=
				A2 ( w) + B2 ( w)		(9.11)
îïðåäеляет àмплитуäíûé, à àðãумент
	j( w) = arctg é B( w)				A( w) ù	(9.12)
ë					û

ôàçîâый спектр сиãíàëà. Причем, кàê è äля периоäическоãî ñèãíàëà, àмплитуäный спектр яâляется четной, à ôàçîâый нечетной функцией чàстоты. Физический смысл преобрàçîâàния Фурье лучше âñåãî ïðîÿâляется при преäñòàâлении обрàòíîãо преоб- рàçîâàíèÿ (9.7) â òðèãонометрической форме. Если поäñòàâèòü âместо F(jw) â (9.7) åãî çíàчение из (9.9), то получим

f (t ) =

1

∞

F ( jw)

e j( ωt−ϕ )dw =

ò

2p

∞

−∞

∞

1

=

ò

F ( jw)

cos ( wt - j )dw + j ò

F ( jw)

sin ( wt - j )dw.

2p

−∞

−∞

Учитыâàÿ, ÷òî | F(jw)| ÷åòíàÿ, à синус нечетнàя функция чàстоты интеãðàë îò âòîðîãî ñëàãàåìîãî ðàâåí íóëþ. Ñëåäîâà- тельно, принимàÿ âî âíèìàние четность поäûíòåãðàëüíîãî âûðàжения â ïåðâîì ñëàãàåìîì, îáðàтное преобрàçîâàние Фурье имеет âèä

	f (t ) =	1	∞		F ( jw)		cos ( wt - j )dw.	(9.13)
			ò
		p
			0

Èç (9.13) ñëåäóåò âàжнейший âûâîä î òîì, ÷òî непериоäè÷å- ñêèé ñèãíàл может быть преäñòàâëåí ïðåäелом суммы (èíòå- ãðàë) бесконечно большоãî ÷èñëà бесконечно мàëûõ ãàрмониче- ских колебàíèé ñ àмплитуäàìè (1/p)| F(jw)| è íà÷àльными фàçà- ìè j = j(w), причем, учитыâàÿ, ÷òî ðàзность чàñòîò ñîñåäíèõ ãàр- моник бесконечно мàëà Dw = dw, òî F(jw) â óðàâнении (9.13) преä- ñòàâляет непрерыâный сплошной спектр â отличии от спектрà периоäическоãî ñèãíàëà, который яâляется äискретным (линейчàòûì) (ñì, ãл. 5). Поэтому F(jw) íàçûâàþò комплексной спектрàльной плотностью, a | F(jw)| спектрàльной плотностью àмплитуä непериоäическоãî ñèãíàëà.

Смысл комплексноãо спектрà F(jw) ñëåäóåò èç ñâÿçè ìåæäу спектрàми периоäических и непериоäических сиãíàëîâ. Ñðàâнение урàâнений (9.3) с (9.6) позâоляет устàíîâèòü ýòó ñâÿçü ìåæäу спектрàìè: ïðè Ò ® ¥; wk = kw1 ® w

	F ( jw) =	T	Ak,	(9.14)
		2

и спектр комплексных àмплитуä Ak îáðàùàåòñÿ â комплексную с- пектрàльную плотность F(jw).

211

1,0

f(t)

F(jω)

1.tè

-

6π

-

4π

-

2π 0

2π

4π 6π ω

-

0

t

tè

tè

tè

tè

tè tè

Ðèñ. 9.2

Ðèñ. 9.3

Èç (9.14) ñëåäóåò è äðóãîé âàæíûé âûâîä: ìîäуль спектрàльной плотности непериоäическоãî ñèãíàëà è îãèáàþùàя линейчàòîãо спектрà периоäическоãî ñèãíàëà, полученноãî ïîâторением с периоäîì Ò непериоäическоãî ñèãíàëà, ñîâïàäàют по форме и отли- чàются только мàñøòàáîì. Ýòî íàãëÿäно можно проиллюстриро- âàòü íà примере периоäической послеäîâàтельности прямоуãольных импульсоâ (ñì. ðèñ. 5.3, à): ñ óâеличением периоäà (ñêâàжности q) спектр стàíîâèòñÿ ãóùå (ñì. ðèñ. 5.4, á) è â ïðåäåëå ïðè T = ∞ периоäический сиãíàë ïðåâðàùàåòñÿ â непериоäический (рис. 9.2), à äискретный спектр обрàùàåòñÿ â сплошной (рис. 9.3). При этом оãèáàþùàÿ êàк линейчàòîãî, òàк и сплошноãо спектрà описыâàется функцией отсчетоâ (5.29): sin x/x.

Ðàссмотрим некоторые осноâíûå ñâîéñòâà преобрàçîâàния Фурье. Если сиãíàë f(t) ÿâляется четной функцией âремени, то, еãо спектр F(jω) âещестâенный. Дейстâительно, соãëàñíî (9.6) äëÿ F(jω) можно зàïèñàòü:

∞	∞	∞
F ( jω ) = ò	f ( t ) e− jωtdt = ò	f ( t ) cos ωt dt − j ò f ( t ) sin ωt dt.
−∞	−∞	−∞

Второй интеãðàë ðàâåí íóëþ â силу нечетности поäûíòåãðàльной функции, слеäîâàтельно,

∞
F ( jω ) = ò f ( t ) cos ωt dt.	(9.15)

−∞

Àíàëîãично при нечетности сиãíàëà f(t) спектр F(jω) ÿâляется чисто мнимым.

Âàæíûì ñâîéñòâом преобрàçîâàния Фурье яâляется âçàèìîçà- меняемость переменных t è ω. Для четноãî ñèãíàëà f(t) è âещестâåííîãо спектрà F(jω) можем зàменить â преобрàçîâàíèè (9.6) çíàêè ïåðåä jωt:

∞
F ( jω ) = ò f ( t ) e jωtdt.	(9.16)

−∞

Òîãäà ñðàâíèâàÿ (9.16) è (9.7) âèäèì èõ ïîäîáèå. Âçàèìîçàменяемость переменных â преобрàçîâàнии Фурье позâоляет устàíî- âèòü ñâÿçü ìåæäó ÷àстотными и âременными хàðàктеристикàìè ñèãíàëà (ñì. § 9.5).

212

 ñîîòâåòñòâèè ñ (9.8) è (9.9) ñèãíàл может быть зàäàн либо с помощью сâîåãî àмплитуäíîãî | F(jw)| è ôàçîâîãо спектрà j(w), либо с помощью âещестâенной A(w) и мнимой чàñòåé B(w) спектрà ñèãíàëà. Причем, âñå îíè âçàèìîñâÿçàíû ìåæäу собой соãëàсно (9.11) (9.12), т. е. нельзя задаваòü íåçàâисимо àмплитуäíûé | F(jw)| è ôàçîâый спектр j(w), или âещестâенную A(w) и мнимую чàсть спектрà B(w).

Íàиболее ясно этà ñâÿçü ïðîÿâляется äëÿ ñèãíàëà, çàäàííîãî íà положительной полуоси âремени t:

					f (t ) = {f (t )		ïðè		t 0,
					0		ïðè		t < 0.
Перепишем (9.13) â форме
	1	é ∞			( jw)		∞		F ( jw)
f (t ) =		ê ò		F		cos j cos wt dw + ò
	p ë 0						0

Или учитыâàÿ, ÷òî

A( w) = F ( jw) cos j,ü B( w) = F ( jw) sin j, ýþ

ïðè t 0 получим:

(9.17)

ù

sin jsin wt dwú.

û

(9.18)

	1	é ∞	∞	ù
f (t ) =		ê ò A( w)cos wt dw + ò		B( w)sin wt dwú	(9.19)
	p ë 0		0	û

è ïðè t < 0 с учетом (9.17)

	1	é ∞	∞	ù
0 =		ê ò A( w)cos wt dw - ò		B( w)sin wt dwú.	(9.20)
	p ë 0		0	û

Суммируя и âû÷èòàÿ ðàâåíñòâà (9.19) и (9.20), получàåì:

		2	∞	2	∞
	f (t ) =		ò A( w)cos wt dw =		ò B( w)sin wt dw.	(9.21)
		p		p
			0		0

Îòñþäà ñëåäóåò ñâÿçü ìåæäó âещестâенной A(w) и мнимой B(w) ÷àстями спектрà ñèãíàëà:

∞	∞
ò A( w)cos wt dw = ò B(w)sin wt dw,		(9.22)
0	0

ò. å. â äàííîì ñëó÷àå ñèãíàë f(t) полностью опреäеляется только âещестâенной A(w) или мнимой B(w) ÷àстями комплексноãо спект- рà F(jw).

 çàключение отметим, что при w = 0 спектр (9.6) принимàåò çíàчение

213

∞
F ( 0 ) = ò f ( t ) dt,	(9.23)

−∞

ò. å. áóäåò ðàâåí ïëîùàäè, îãðàниченной сиãíàëîì f(t). Формулà (9.23) ïîçâоляет â ðÿäå ñëó÷àåâ оценить спектр сиãíàëà ïî âèäу функции f(t).

Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что âременное и спектрàльное преäñòàâ- ление яâляется просто äâóìÿ ôîðìàìè (ìîäелями) преäñòàâления реàëüíîãо физическоãо процессà, è îíè ëåæàò â îñíîâå âременных

è÷àстотных метоäîâ àíàëèçà электрических цепей.

Âçàключение устàíîâèì ñâÿçü ìåæäу преобрàçîâàнием Фурье и преобрàçîâàíèåì Ëàïëàñà. Если положить, что f(t) óäîâ- ëåòâоряет услоâию (9.17), то прямое преобрàçîâàние Фурье принимàåò âèä

∞
F ( jω ) = ò f ( t ) e− jωtdt.	(9.24)
0

Соотношение (9.24) носит нàçâàíèå îäностороннеãо преобрàçî- âàния Фурье, òàê êàê îíî îïðåäеляется нà положительной полуоси t. Если принять â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ â формуле (7.1) α = 0, òî ð = jω, и прямое преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà (7.2)

		∞
F ( p )		p= jω = F ( jω) = ò f ( t ) e− jωtdt,	(9.25)
	0

т. е. полностью соâïàäàåò ñ îäносторонним преобрàçîâàнием Фурье (9.24).

Àíàëîãично получим äëÿ îáðàòíîãо преобрàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (7.4) с учетом тоãî, ÷òî dp = jdω:

	f (t ) =	1	c+ j∞ F ( p ) eptdp =	1	∞	F ( jω) e jωtdω,	(9.26)
		2πj		2π	ò
			ò
			c− j∞		−∞

что полностью соâïàäàåò ñ (9.7).

Òàêèì îáðàзом, преобрàçîâàние Фурье есть чàстный случàй преобрàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïðè α = 0. Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что преобрàçîâàние Фурье имеет более узкую облàсть применения, чем преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà, òàê êàê óñëîâие (9.1), которым äолжны уäîâëåòâорять функции, преобрàзуемые по Фурье более жесткое, чем услоâèå (7.3). Âñÿêàя функция, äля которой применимо преобрàçîâàние Фурье (9.6) âñåãäà может быть преобрàçîâàíà ïî Ëàïëàñó, íî íå íàоборот. В этой сâязи изобрà- жение F(p) можно трàêòîâàòü êàê ñâîåãî ðîäà обобщенный спектр сиãíàëà f(t).

214

9.2. Основные теоремы спектрального анализа

Êàê áûëî óñòàíîâëåíî âûøå, ìåæäó ñèãíàëîì è åãо спектром сущестâóåò îäíîçíà÷íàÿ ñâÿçü, îïðåäеляемàя прямым преобрàçî- âàнием Фурье. Поскольку â процессе переäà÷è ñèãíàëà îí ïîä- âåðãàåòñÿ ðàзличным преобрàçîâàниям, очень âàæíî óñòàíîâèòü êàк при этом изменяется спектр сиãíàëà. Это имеет большое знàче- ние с точки зрения âûáîðà оптимàльных метоäîâ ïåðåäà÷è, ïðèå- ìà, требоâàíèé ê ïàðàìåòðàì êàíàëà ñâÿçè.

Ðàссмотрим осноâные теоремы о спектрàх, имеющих прàктиче- ское применение â электросâязи. Учитыâàÿ ñâÿçü ìåæäу преобрà- çîâàнием Фурье и Лàïëàñà è èìåÿ â âèäó äîêàçàтельстâà îñíîâных теорем, äàííûõ â § 7.1, îñòàíîâимся только нà физической интерпретàöèè îñíîâных теорем спектрàëüíîãî àíàëèçà.

Спектр суммы сигналов (теоремà линейности) ðàâен сумме спектроâ ýòèõ ñèãíàëîâ. Ýòî ñâîéñòâî ÿâляется слеäñòâием линейности преобрàçîâàния Фурье. В более общем âèäе оно может быть зàïèñàíî ñëåäующим обрàçîì:

n	n
å akfk (t ) å akFk ( jw),		(9.27)
k=1	k=1

ãäå ak коэффициенты рàзложения; знàê ñîîòâåòñòâèÿ ìåæ- äó ñèãíàëîì è åãо спектром, опреäеляемоãî ïàрой преобрàçîâàний Фурье.

Сдвиг сигнала во времени f(t t0) ñîîòâåòñòâует умножению еãо спектрà íà e− jω0t :

f (t - t0 ) F ( jw) e− jω0t.

(9.28)

Èç (9.28) ñëåäóåò âàæíûé âûâîä î òîì, ÷òî ïðè ñäâèãå ñèãíàëà âî âремени еãî àмплитуäный спектр не изменяется, à ôàçîâый изменяется пропорционàëüíî wt0. Ýòà теоремà имеет большое знà÷å- íèå, òàê êàê â процессе обрàботки сиãíàëîâ ÷àñòî âозникàет необхоäимость осущестâëÿòü çàäержку сиãíàëà (ñì. ãë. 18, 19).

Изменение масштаба независимого переменного (ñæàòèå ñèã- íàëà) описыâàåòñÿ âûðàжением

	f ( at )	1	æ	jw ö
			F ç		÷.	(9.29)
		a
			è	a ø

Èç (9.29) ñëåäóåò, ÷òî ñæàòèå ñèãíàëà âî âремени (à > 1) ïðèâîäèò ê ðàсширению спектрà ñèãíàëà è íàпротиâ ðàстяжение сиãíàëà (à < 1) к сужению спектрà.

Перемножение двух сигналов (теоремà ñâертки). Спектр произâåäåíèÿ äâух функций f1(t) è f2(t) ñîîòâåòñòâóåò ñâертке их спектроâ F1(jw) è F2(jw):

215

	f1 (t ) f2 ( t )	1	∞	( jΩ ) F2	( jω − jΩ )dΩ.
			ò F1			(9.30)
		2π
			−∞

Âàæíîå çíàчение имеет обрàòíàя теоремà о произâåäении спектроâ ñèãíàëîâ:

∞	∞
F1 ( jω) F2 ( jω ) ò f1 ( τ ) f2 (t − τ ) dτ =	ò f1 ( t − τ ) f2 ( τ ) dτ. (9.31)
−∞	−∞

Ñâåðòêà функций широко использоâàëàñü ðàíåå âî âременных метоäàõ àíàëèçà электрических цепей (см. ãë. 8).

Дифференцирование и интегрирование сигнала. Ïðè äифференцироâàíèè ñèãíàëà åãо спектр умножàåòñÿ íà îïåðàòîð jω:

		d	f ( t ) jωF ( jω),			(9.32)
		dt
	à ïðè èíòåãðèðîâàíèè äелится нà jω:
	t		(t ) dt	1	F ( jω).
	ò f					(9.33)
				jω
	−∞

Äîêàçàтельстâî (9.32) (9.33) ñëåäует непосреäñòâенно из прямоãî è îáðàòíîãо преобрàçîâàний Фурье. Слеäóåò ïîäчеркнуть, что (9.33) спрàâåäëèâî äëÿ ñèãíàëîâ, óäîâëåòâоряющих услоâèþ F(0) = 0.

Смещение спектра сигнала íà ÷àстоту mΩ ñîîòâåòñòâóåò óìíî-
жению сиãíàëà íà îïåðàòîð e± jΩ t :
F [ j ( ω m Ω )] e± jΩ tf ( t ).	(9.34)

Теоремà смещения (9.34) позâоляет опреäелить спектр моäулироâàííîãî ñèãíàëà и имеет большое знàчение â теории электриче- ской сâÿçè.

9.3.Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Îïðåäåëèì ýíåðãèþ ñèãíàëà f(t) ïî åãо спектрàльной хàðàктеристике F(jω). Ïðåäположим, что f(t) ïðåäñòàâляет собой нàпряжение или ток, протекàþùèé â åäиничном сопротиâлении R = 1 Îì. Òîãäà ñîãëàñíî (1.4) ýíåðãèÿ âûäеляемàÿ f(t) áóäåò ðàâíà

∞
W = ò f 2 ( t ) dt.	(9.35)

−∞

Ïðåäñòàâèì ïîäûíòåãðàльное âûðàжение (9.35) â âèäе произâå- äåíèÿ f 2 ( t ) = f (t ) f ( t ) и применим к f (t) îáðàтное преобрàçîâà-

ние Фурье (9.7):

216

∞	f 2 ( t ) dt =	1	∞	f ( t ) dt	∞	F ( jω ) e jωtdω.
ò		2π	ò		ò
−∞			−∞		−∞

Учитыâàÿ íåçàâисимость переменных t è ω, перепишем послеäнюю формулу â âèäå

∞	f 2 ( t ) dt =	1	∞	F ( jω)dω	∞	f (t ) e jωtdt.
ò		2π	ò		ò
−∞			−∞		−∞

Внутренний интеãðàë ïðåäñòàâляет собой сопряженный спектр F( jω). Если учесть, что F ( jω ) F ( − jω ) = F ( jω ) 2 , то получим

ñëåäующее ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (теоремà Рэлея):

W =

∞

f 2

( t ) dt =

1

∞

F ( jω)

2dω =

1

∞

F ( jω)

2dω. (9.36)

ò

ò

ò

2π

π

−∞

−∞

0

Èç óðàâнения

(9.36)

ñëåäóåò, ÷òî

âеличинà

| F(jω)|2 ïðåäñòàâ-

ляет собой энерãèþ ñèãíàëà, прихоäящуюся нà 1 ñ 1 текущей чà- стоты ω, поэтому кâàäðàò ìîäуля спектрà | F(jω)|2 íàçûâàþò спектрàльной плотностью энерãèè ñèãíàëà. Âèä ìîäóëÿ | F(jω)| ïî- çâоляет суäèòü î ðàñïðåäелении энерãèè â спектре непериоäè÷å- ñêîãî ñèãíàëà. Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàля широко используется â теории цепей и сиãíàëîâ ïðè âыборе полосы пропускàíèÿ êàíàëà ñâязи, обеспечиâàþùåé íàилучшее использоâàíèå ýíåðãèè ñèãíàëà.

Ñëåäует отметить, что â отличие от формулы (5.23), ãäå ðàñ- ñìàòðèâàëàñü ñðåäíÿÿ çà периоä Ò мощность периоäическоãо несинусоиäàëüíîãî ñèãíàëà, äля непериоäическоãî ñèãíàëà òàêîå óñðåä-

нение неâозможно ( lim P = 0 ). Общим äля обеих случàåâ ÿâляется

T→∞

то, что мощность и энерãèÿ ñèãíàëîâ íå çàâèñÿò îò ôàз спектрàльных состàâляющих.

9.4. Спектры типовых сигналов

Îïðåäелим спектры нàиболее рàспрострàненных типоâ электри- ческих сиãíàëîâ.

Единичная функция çàäàåòñÿ óðàâнением (7.19) (см. рис. 7.2, à). Ñòðîãî ãîâоря, функция (7.19) не уäîâëåòâоряет услоâèþ àбсолютной интеãрируемости (см. § 9.1), поэтому âоспользуемся сле- äующим приемом: умножим 1(t) íà «ãàсящий» множитель å ct (ñ = const). При этом можно использоâàть прямое преобрàçîâàние Фурье (9.6):

	∞	∞	1
	F ( jω,c ) = ò	1( t ) e−cte− jωtdt = ò1e−( c+ jω )tdt =		. (9.37)
			c + jω
	−∞	0

Преобрàçîâàíèå F(jω, c) носит нàçâàíèå обобщенноãо преобрàçî- âàния Фурье. Для получения спектрà åäиничной функции перей- äåì ê ïðåäåëó:

217

|F (jω)|			ϕ(ω)
			0	ω
0		ω	−π/2
	à)			á)

Ðèñ. 9.4

F ( jw) = lim F ( jw,c )		=	1	=	1	e− jπ 2.	(9.38)
			jw
c	→0				w
Èç óðàâнения (9.38)	получàåì	àмплитуäíûé | F(jw)|					= 1/w

(ðèñ. 9.4, à) è ôàçîâый спектр функции j(w) (рис. 9.4, á): j(w) = = p / 2, ò. å. àмплитуäный спектр при w = 0 обрàùàåòñÿ â бесконечность, что сâèäетельстâóåò î íàличии â èñõîäной функции 1(t) ñêà÷êà ïðè t = 0 (ñì. ðèñ. 7.2, à). Äëÿ îáðàçîâàíèÿ ýòîãî ñêà÷êà â ñîîòâåòñòâèè ñ (9.38) ïðè t = 0 осущестâляется суммироâàние бесконечно большоãî ÷èñëà синусоиäàльных состàâляющих. Спектр (9.38) может быть получен и с помощью изобрàжения еäиничной функции (7.20):

F ( jw) = F ( p ) p= jω = j1w.

Единичная импульсная функция. Функция d(t) çàäàåòñÿ àíàлитически услоâèÿìè (7.21). Äëÿ íàõîæäения спектрà d-функции âоспользуемся прямым преобрàçîâàнием Фурье (9.6), которое с учетом (9.8) (9.10) можно зàïèñàòü â âèäå

∞	∞	∞
F ( jw) = ò	d (t ) e− jωtdt = ò	d (t ) cos wdt - j ò d (t ) sin wdt.
−∞	−∞	−∞

Òàê êàê âторое слàãàåìîå ðàâíî íóëþ, à ïåðâîå åäинице âñëåä- ñòâèå ñâîéñòâ (7.21) (7.23), то окончàтельно получим

∞
F ( jw) = ò d (t ) dt =1 × e j0 = 1.	(9.39)

−∞

Òàêèì îáðàзом, d-функция имеет рàâномерный àмплитуäíûé è íóëåâîé ôàçîâый спектры. Рàâåíñòâî íóëþ íà âñåõ ÷àñòîòàõ ôàçî- âîãо спектрà îçíà÷àåò, ÷òî âñå ãàрмонические состàâляющие d- функции, суммируясь с нулеâûìè íà÷àльными фàçàìè, îáðàçóþò ïðè t = 0 пик бесконечно большоãî çíàчения.

Ñëåäует отметить, что сäâèã d-функции нà âðåìÿ t ïðèâîäèò ñî-

ãëàñíî ñâîéñòâàм преобрàçîâàния Фурье (см. § 9.2) к спектру F ( jw) = 1 × e− jωτ , ò. å. àмплитуäный спектр функции d (t t) îñòà-

ется прежним, à ôàçîâый изменяется пропорционàëüíî wt.

218

e− j( ω−ω0 )t dt +

Èç ðàâåíñòâà (9.39) ñîãëàñíî îáðàтному преобрàçîâàнию Фурье (9.7) слеäóåò, ÷òî

d (t ) =	1	∞	e jωtdw.	(9.40)
	2p	ò
		−∞
Учитыâàÿ óñëîâèå âçàèìîçàменяемости пàðàметроâ t è				w (ñì.

§ 9.1), послеäíåå âûðàжение можно переписàòü â ñëåäующем âèäå:

d ( w) =	1	∞	e± jωtdt .	(9.41)
	2p	ò
		−∞

Óðàâнения (9.40) и (9.41) широко используются â теории сиã-

íàëîâ и цепей.			/2 = 1/ 2 ñ ó÷å-
Спектр постоянной составляющей функции a0
òîì (9.41) îïðåäеляется урàâнением
F ( jw) =	1	∞ e− jωtdt = pd ( w).	(9.42)
2		−∞ò

Òàêèì îáðàзом, спектр постоянной состàâляющей рàâåí íóëþ íà âñåõ ÷àñòîòàх, кроме w = 0, ãäå F(jw) îáðàùàåòñÿ â бесконечность, то есть имеем нà ÷àстоте w = 0 äискретную состàâляющую чàстоты â форме d-функции.

Спектр гармонического колебания. Проиллюстрируем метоäику использоâàния прямоãо преобрàçîâàния Фурье при опреäелении спектрà ãàрмоническоãо колебàíèÿ

f (t ) = Am cos w0t.					(9.43)
Преобрàçîâàíèå (9.6) äля функции (9.43) имеет âèä
F ( jw) =	∞	A e− jωt cos w
	ò		0	t dt.	(9.44)
		m

−∞

Ôîðìàльно функция (9.43) не уäîâëåòâоряет услоâèþ àбсолютной интеãрируемости, тàê êàк имеет покàçàòåëü ðîñòà ñ = 0. По этому äëÿ âычисления интеãðàëà (9.44) âоспользуемся формулой Эйлерà (3.18) è óðàâнением (9.41):

F ( jw) =	A		∞
	m		−∞ò
	2
= p A			éd
		m ë

			Am	∞		e− j( ω+ω0 )t dt =
				ò
		2					(9.45)
( w - w				−∞		)ù.
	0	) + d ( w + w			0
						û

ò. å. ãàрмоническое колебàние имеет äискретный спектр, состоящий из äâух спектрàльных линий нà ÷àñòîòàõ ±w0.

Спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 9.2) можно нàéòè êàк непосреäñòâенно из прямоãо преобрàçîâàния Фурье (9.6), тàк и путем преäельноãо перехоäà ïðè q ® ¥ (T® ¥) â ðàзложении (5.27). В результàте получим

219

F (jω)								f(t)
	1
-ω0 0		ω0	ω			-2π		-π 0	π	2π	ω0t
	à)							á)
					Ðèñ. 9.5
f(t)
						f1	(t)
								1
0	T				t
		tè						0		tè	t
		Ðèñ. 9.6		F (jω)					Ðèñ. 9.7
			ω0		0			ω0		ω
		ω0	2π ω0	+	2π	ω0		2π ω0+	2π
			tè		tè			tè	tè
					Ðèñ. 9.8

F ( jw) = 1 × tè	sin ( wtè		2)	.	(9.46)
	wtè	2

Íà рис. 9.3 изобрàжен спектр оäиночноãо импульсà. Ñðàâнение рис. 9.3 и рис. 5.4 покàçûâàåò, ÷òî ïî ñâоей форме спектр оäèíî÷- íîãо импульсà ñîâïàäàåò ñ îãèáàþùåé äискретноãо спектрà после- äîâàтельности периоäических импульсоâ, îäíàко спектр оäиночно- ãо импульсà ÿâляется сплошным.

Èç óñëîâèÿ âçàèìîñâÿçè ìåæäó ÷àстотными и âременными хà- ðàктеристикàìè ñèãíàëà ñëåäóåò, ÷òî ñèãíàë ñ îãðàниченным по чàстоте ±w0 спектром прямоуãольной формы (рис. 9.5, à) имеет бесконечную протяженность и форму, àíàëîãичную спектру прямо- уãольноãо импульсà (ðèñ. 9.5, á).

Спектр радиоимпульса (рис. 9.6) можно нàéòè êàк произâåäå- íèå âèäеоимпульсà прямоуãольной формы (рис. 9.7) и ãàрмониче- скоãо колебàíèÿ (9.43). Òîãäà, âоспользоâàâшись теоремой сâертки (9.30), получим:

220