Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

.pdf
Скачиваний:
633
Добавлен:
05.05.2015
Размер:
6.33 Mб
Скачать

ïðè ïîäà÷å u1 íà âõîä 2 íàпряжение u2 меняет сâою полярность нà протиâоположную.

Èäåàльный ОУ (рис. 1.8, á) ïðåäñòàâляет собой ИНУН с бесконечно большим коэффициентом усиления (Hu → ∞), бесконечно большими âõîäным сопротиâлением и âûõîäíîé ïðîâîäимостью (âûõîäное сопротиâление рàâíî íóëþ).

Ðåàльный ОУ можно преäñòàâèòü â âèäå ÈÍÓÍà с конечными âõîäíûì Râõ è âûõîäíûì Râûõ сопротиâлениями (рис. 1.8, â).

Кроме ОУ â êà÷åñòâå àêòèâных элементоâ электрических цепей широко используются рàзличные электронные и полупроâîäíèêî- âые приборы: электронные лàмпы, биполярные и полеâûå òðàнзисторы и äð.

Íà ðèñ. 1.9, à ïðèâåäåíà электроннàÿ ëàìïà (òðèîä) è åå ìîäåëè (ýêâèâàлентные схемы зàмещения) â форме ИТУН (рис. 1.9, á) è ÈÍÓÍ (ðèñ. 1.9, â), ãäе обознà÷åíû Gi = 1|Ri, âнутренняя про- âîäимость лàìïû, S = di2 |du крутизнà; μ = SRi, коэффициент усиления лàìïû. Ïàðàметры Gi, S, μ обычно приâîäÿòñÿ â ñïðà- âочникàõ. Ýòè ýêâèâàлентные схемы яâляются линейными и моãут использоâàòüñÿ â îáëàсти низких чàстот. В нелинейном режиме рà- áîòû àêòèâíîãо элементà используются более сложные моäåëè (ñì. ãë. 10, 11).  îáëàñòè âысоких чàñòîò â ìîäåëÿõ àêòèâных элементоâ ïîÿâляются кроме резистороâ, ðåàêòèâные элементы обычно емкость (см. тàáë. 1.1).

Ai2

C

u2

u1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ê

à)

 

 

 

 

 

 

 

Ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

 

Su1

 

Gi

 

u2

 

 

u1

 

 

+

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ u1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 1.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ê

 

 

i1

 

 

 

i2

Á

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ý

 

 

u1

Râõ

 

HGu1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á)

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 1.10

21

22

Òàáëèöà 1.1

Òèï àêòèâíîãî

Обознàчение нà схеме

элементà

 

A i2

Òðèîä C

u2 u1

Ê

À àíîä Ê êàòîä Ñ ñåòêà

Ý

 

 

 

 

 

i2

Ê

Биполярный

 

 

 

 

 

 

 

 

u2

u1

 

 

 

 

 

 

òðàнзистор

 

 

 

 

 

 

 

(ÎÁ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Á

 

 

 

 

 

 

 

 

Á áàçà

 

 

 

 

 

К коллектор

 

 

Э эмиттер

Ýêâèâàлентнàÿ ñõåìà â

Ýêâèâàлентнàÿ ñõåìà â

Óðàâнение моäåëè

 

 

 

îáëàñòè Í÷

 

 

îáëàñòè Â÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÀÑ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

 

 

 

 

Su1

Gi

 

ÑÀÊ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÑK

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

di2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Su1 Gi

ÑÀÑ емкость àíîä-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

di2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ñåòêà

 

 

 

 

 

 

 

Gi =

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

i

du

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÑÊ емкость сеткà-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êàòîä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÀÊ емкость àíîä-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êàòîä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÊ

 

rÝ = R11 R12; rÁ = R12

 

 

 

 

i,rÃ+

 

 

rÝ

rÊ

rK = R22 R12; rp = R21 R12

rÝ

rÊ

i,rà +

 

 

 

 

u1

rÁ

u2

R

 

= du1;

R = du1

u1

rÁ

u2

 

 

 

11

di

1

12

di

2

ÑÊ емкость коллек-

R21

=

du2

; R22

=

du2

di1

di2

òîðà

 

 

 

 

Окончàíèå òàáë. 1.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Òèï àêòèâíîãî

Обознàчение нà схеме

Ýêâèâàлентнàÿ ñõåìà â

Ýêâèâàлентнàÿ ñõåìà â

Óðàâнение моäåëè

элементà

 

 

 

 

îáëàñòè Í÷

 

 

îáëàñòè Â÷

 

 

 

 

 

Биполярный

 

Ê i2

 

 

βi1

 

 

 

ÑÊ*

 

β =

1

α

; α = rÃ

ð-n-p òðàнзистор

Á

 

 

rÁ

 

 

rÝ

 

 

 

− α

rÊ

(ÎÝ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2

 

rÊ

 

 

 

 

 

rÊ* = (1− α)rÊ

 

u1

Ý

u1

rÝ

u2

 

 

 

 

 

 

u1

rÁ

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

rÊ*

 

*

= (1+β)ÑÊ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÊ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÇÑ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ñ

i2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ïîëåâîé òðàíçè-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Su1

GÑÈ

ÑÑÈ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÇÈ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ñòîð ñ êàíàëîì

 

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

È

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n-òèïà

**

 

 

u1

 

 

 

 

u1

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GÑÈ =

di2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Su1 GÑÈ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÇÈ емкость зàòâîð-

 

 

Ç çàòâîð

 

 

 

 

 

 

 

 

исток

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И исток

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÇÑ емкость зàòâîð-

 

 

Ñ ñòîê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ñòîê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑÑÈ емкость сток-ис-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òîê

 

 

 

 

 

 

 

*Биполярный трàнзистор p-n-p òèïà имеет моäåëü àíàëîãичную p-n-p.

**Ïîëåâîé òðàнзистор с pàíàлом имеет моäåëü àíàëîãичную кàíàëà n-òèïà.

23

Òðàнзисторы, кàê ïðàâило, имеют более сложную структуру, чем лàмпы и описыâàþòñÿ â çàâисимости от решàåìûõ çàäàч более сложными моäелями [2]. Нàиболее рàспрострàненными äля биполярных трàнзистороâ ÿâляются Ò-îáðàçíûå è Ï-îáðàçíûå ýê- âèâàлентные схемы зàмещения, причем, послеäние можно получить из перâûõ ìåòîäàми преобрàçîâàíèÿ «çâåçäà òðåóãольник» (см. § 1.5). В тàáë. 1.1 ïðèâåäåíû Ò-îáðàзные схемы зàмещения биполярных трàнзистороâ, âключенных по схеме с общей бàзой (ОБ) и общим эмиттером (ОЭ) â îáëàсти низких и âысоких чàñòîò è îñíîâные соотношения, описыâàþùèå èõ ìîäåëè.

Èíîãäà äëÿ àíàëèçà цепей с биполярными трàнзисторàми используются моäель ИТУН с конечным âõîäным сопротиâлением (рис. 1.10). Для полеâûõ òðàнзистороâ обычно используется мо- äåëü â форме ИТУН (тàáë. 1.1).

Кроме рàссмотренных экâèâàлентных схем нереäко (особенно â ñïðàâочной литерàтуре) электронные лàìïû è òðàнзисторы рàñ- ñìàòðèâàþòñÿ êàк бесструктурные четырехполюсники с той или иной системой пàðàметроâ (ñì. ãë. 12).

Отличительной особенностью зàâисимых источникоâ ÿâляется их необрàтимость, т. е. цепи с этими источникàми имеют четко âûðàженный âõîä è âûõîä. Òàêèì îáðàçîì, äля цепей с зàâисимыми источникàìè ðàçëè÷àют путь прямоãо прохожäåíèÿ ñèãíàëà (îò âõîäà ê âûõîäó) è îáðàòíîãо прохожäåíèÿ (ñ âûõîäà íà âõîä), ðåàлизуемоãо с помощью специàльных цепей обрàòíîé ñâÿ- çè (ÎÑ) (ãл. 14). Необхоäимость ââåäåíèÿ â àêòèâные цепи ОС объясняется ряäîì âàæíûõ êà÷åñòâ, которыми эти цепи облàäàþò: âозможностью моäелироâàíèÿ ðàзличных функций (см. § 2.7) (суммироâàíèå, èíòåãðèðîâàíèå, äифференцироâàíèå è äð.), ãе- нерироâàнием и усилением колебàíèé, ìîäелироâàíèåì ïàññèâных элементоâ òèïà R, L, Ñ и их преобрàçîâàíèåì (íàпример, Ñ è L), перемещение нулей и полюсоâ функции цепи (см. ãë. 14, 15) è äð.

1.3. Электрическая схема, топология электрической цепи

Кроме понятия электрической цепи â инженерной прàктике широкое рàспрострàнение нàшел термин «электрическàÿ ñõåìà». В теории цепей схемой íàçûâàþò ãðàфическое изобрàжение электрической цепи. Элементàм схемы соотâåòñòâóþò àêòèâíûå è ïàñ- ñèâные элементы электрической цепи.

В микроэлектронике понятие электрической цепи и электронной схемы чàñòî îòîæäåñòâëÿþò ìåæäу собой. Тàê, микросхемой (èíòå- ãðàльной схемой) нàçûâàþò èíòåãðàльную электрическую цепь, со- äåðæàщую сотни и тысячи простейших àêòèâíûõ è ïàññèâных элементоâ. Чтобы не ломàть сложиâшуюся трàäèöèþ, áóäем использо- âàть термин «электрическàÿ ñõåìà» или просто «схемà» примени-

24

 

 

R1

i

1

 

C3

i

2

 

 

 

R

L

C

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

 

L2

u2

u

 

 

 

 

 

 

Простые узлы

 

 

+

uã I

 

 

3

 

 

 

 

 

 

à)

 

 

 

 

′′ II

R4

u4 III

L5

u5

R

L

 

 

 

R2

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Óçåë (сложный)

 

 

 

 

i

 

R6

 

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

1

 

 

4

 

 

5

 

 

 

 

 

 

3

i6

u6

 

4

 

 

 

 

á)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

B

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

I

2

 

 

II

 

4

III

5

R

Контур

C

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

3

B

 

6

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á)

 

 

 

 

 

 

â)

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 1.11

 

 

 

 

Ðèñ. 1.12

 

тельно к ãðàфическому изобрàжению электрической цепи или электронной схемы и термины «электрическàя цепь» или «электроннàя (микроэлектроннàÿ, èíòåãðàëüíàÿ) ñõåìà» применительно к моäå- ëÿì ðåàльных физических электрических или электронных устройстâ.

Äëÿ àíàëèçà электрических цепей â послеäíåå âðåìÿ âсе большее рàспрострàнение нàõîäÿò ìàтрично-тополоãические ìåòîäû. Â èõ îñíîâе лежит преäñòàâление электрической схемы с помощью ãðàôà öåïè. Ãðàôîì öåïè íàçûâàþò ãеометрическую систему линий (âåòâåé), ñîåäиняющих зàäàнные точки (узлы). Если âåòâè ãðàôà ориентироâàíû ïî íàïðàâлению токоâ âåòâåé, òî ãðàô íàçûâàåòñÿ ориентироâàííûì àïðàâленным). Нà ðèñ. 1.11, à изобрàæåíà электрическàÿ ñõåìà и ее ориентироâàííûé (ðèñ. 1.11, á) ãðàô. Ãðàô ñîäержит âсю информàöèþ î ãеометрической структуре схемы.

Простым узлом íàçûâàют место соеäинения зàæèìîâ äâух элементоâ (ðèñ. 1.12, à), à сложным место соеäинения зàæèìîâ трех и более элементоâ (ðèñ. 1.12, á).

Âåòâüþ íàçûâàþò ÷àñòü öåïè, âключенной межäó äâóìÿ óçëà- ми, через которые онà обмениâàåòñÿ ýíåðãèåé ñ îñòàльной цепью. Ветâè, ïîäñîåäиненные к оäíîé ïàðå óçëîâ, îáðàçóþò ïàðàллельное соеäинение (ðèñ. 1.12, â).

Послеäîâàтельно соеäиненные âåòâè, ñâÿçûâàþùèå äâà çàäàí- íûõ óçëà îáðàçóþò простой путь, åñëè â íåì íåò ïîâторяющих узлоâ. Íàпример, межäó óçëàìè 1 è 4 (ðèñ. 1.11, á) простой путь

25

 

1

S1

 

3

 

2

 

 

 

1

2

 

 

 

4 5

 

 

 

3

S2

 

6

 

4 S3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à)

 

 

 

 

1

S1

 

2

1

S1

 

 

2

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

4 5

1 2

 

 

S2

4 5

3

6

 

4

3

 

6

S3

4

S2

S

 

 

 

á)

3

 

 

 

â)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 1.13

îáðàзуется âåòâÿìè 3, 5 èëè 3, 4 è ò. ä. Çàмкнутый путь нàçûâàåòñÿ контуром (ðèñ. 1.12, â).

Ïîäãðàôîì íàçûâàþò ÷àñòü ãðàôà. Ïîäãðàô ÿâляется ñâязным, если любые еãî äâà óçëà ñâÿçàíû, ò. å. ñîåäинены âåòâÿìè.

Äåðåâîì ãðàôà íàçûâàþò ñâязный поäãðàô, ñîäåðæàùèé âñå óçëû, íî íå ñîäåðæàùèé íè îäíîãо контурà (ðèñ. 1.13). Âåòâè äå- ðåâà íàçûâàþò ðåáðàìè à ðèñ. 1.13 ïîêàçàны сплошными линиями).

В теории ãðàôîâ äîêàçûâàется, что число âåòâåé äåðåâà, ñî- äåðæàùåãî nó óçëîâ, îïðåäеляется урàâнением

nä = nó 1.

(1.14)

Ñîâокупность âåòâåé íå âõîäÿùèõ â ñîñòàâ äåðåâà, îáðàçóåò åãî äополнение à рис. 1.13 помечено штрихоâыми линиями). Ветâè äополнения нàçûâàþò õîðäàìè. Можно покàçàть, что число хорä

nx = nâ nó + 1,

(1.15)

ãäå nâ общее число âåòâåé èñõîäíîãî ãðàôà.

Сечением ãðàôà íàçûâàют минимàльное множестâî âåòâåé, óäà- ление которых рàçáèâàåò ãðàô íà äâå íåñâÿçàííûõ ÷àñòè (ïîä- ãðàôû). Íà ðèñ. 1.11, á ïîêàçàн пример äâух сечений, обрàçîâàí- íûõ âåòâÿìè 1, 2, 4, 5 (по линии À À) è 3, 6 (по линии  Â). Äîáàâление любой из âåòâей сечения äåëàåò ãðàô ñâязным. Обычно сечение изобрàæàþò â âèäå çàмкнутой линии, рàññåêàþùåé ãðàô öåïè íà íåñâÿçàнные компоненты. Сечение, «рàññåêàющее» только оäíó âåòâü äåðåâà, íàçûâàþò ãëàâным сечением. Причем, кàæäîìó

26

äåðåâó ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ñîâокупность ãëàâных сечений (рис. 1.13, сечения S1, S2, S3). Число ãëàâных сечений рàâно числу âåòâåé äåðåâà (1.14).

Àíàлитически ãðàф можно описàть с помощью структурной мàтрицы Àñ àтрицы соеäинений, инциäенций), преäñòàâляющей собой прямоуãольную тàблицу с числом столбцоâ, ðàâным числу âåòâей, и числом строк, рàâным числу узлоâ. Если положительное нàïðàâление токà â âåòâè l âûáðàòü îò óçëà k, то элементы структурной мàтрицы akl îïðåäеляются из услоâèÿ:

ì 1, åñëè âåòâü l âûõîäèò èç óçëà k; akl = ïí-1, åñëè âåòâü l âõîäèò â óçåë k;

ïî 0, åñëè âåòâü l íå ñâÿçàíà с узлом k. Íàпример, äëÿ ãðàôà, изобрàженноãî íà ðèñ. 1.11, á ìàòðèöà

Àñ имеет âèä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Âåòâè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

-1

1

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

À

ñ

= Óçëû

2

 

 

 

0

0

-1

1

1

0

 

 

 

.

 

 

3

 

 

 

1

-1

0

0

0

-1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

0

0

0

-1

-1

1

 

 

 

 

Àíàëèç ìàтрицы Àñ ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóììà элементоâ êàæäîãо ее столбцà ðàâíà íóëþ. Ýòî ÿâляется слеäñòâèåì çàâисимости оä- ной из строк, поэтому ее можно исключить из Àñ. Узел, строкà котороãо исключàåòñÿ, íàçûâàþò áàзисным, à ìàòðèöà À0, îáðà- çóþùàÿñÿ ïðè ýòîì, ðåäуцироâàííàÿ.

Кроме мàтрицы Àñ ïðè àíàлизе электрических цепей используется ìàòðèöà сечений Ñ, ïðåäñòàâëÿþùàя собой тàблицу со стро- кàìè, ñîîòâåòñòâующими сечениям ãðàôà и столбцàìè åãî âåò- âÿìè. Åñëè çà положительное нàïðàâление принять нàïðàâление âåòâè âнутрь облàñòè, îõâàченной сечением, то элементы мàтрицы сечений ñkl îïðåäеляются слеäующим обрàçîì:

ì

1, åñëè âåòâü l íàïðàâëåíà âнутрь облàñòè, îõâàченной

ï

линией сечения;

ñkl = í

-1, åñëè âåòâü l íàïðàâëåíà íàðóæó;

ï

0, åñëè âåòâü l íå ïðèíàäлежит сечению.

î

Òàê, ìàòðèöà ãëàâных сечений äëÿ ãðàôà, изобрàженноãî íà

ðèñ. 1.13, á, áóäет иметь âèä

 

 

Âåòâè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

 

 

 

 

1

 

 

 

0

0

-1

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Ñ = Сечения 2

 

 

 

-1

1

0

0

0

1

 

 

 

.

3

 

 

 

0

0

0

-1

-1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

Ìàтрицей контуроâ Â íàçûâàþò òàблицу, с числом строк рàâным числу незàâисимых контуроâ, и числом столбцоâ ðàâным числу âåò- âей. Элементы мàтрицы контуроâ îïðåäеляются по прàâèëó

 

ì

1, åñëè íàïðàâление âåòâè l ñîâïàäàåò ñ íàïðàâлением

 

ï

îáõîäà контурà k;

bkl

ï

-1, åñëè íàïðàâление âåòâè l протиâоположно нàïðàâëå-

= í

 

ï

íèþ îáõîäà контурà k;

 

ï

0, åñëè âåòâü l - íå âõîäèò â ñîñòàâ контурà.

 

î

Íàпример, äëÿ ãðàôà, изобрàженноãî íà ðèñ. 1.11, á, ìàòðèöà

 

 

 

 

 

Âåòâè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

 

 

 

 

I

 

 

 

1

1

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 = Контуры II

 

 

 

0

-1

1

1

0

1

 

 

 

.

III

 

 

 

0

0

0

-1

1

0

 

 

 

 

Число незàâисимых контуроâ îïðåäеляется числом хорä ãðàôà (1.15).

1.4.Законы Кирхгофа

Âтеории цепей рàçëè÷àþò äâà òèïà çàäà÷: çàäà÷è àíàëèçà и синтезà электрических цепей. К çàäà÷å àíàëèçà относятся âñå çà- äà÷è, ñâÿçàííûå ñ îïðåäелением токоâ, íàпряжений или мощностей

âэлементàх цепи, конфиãóðàöèÿ è ïàðàметры которой изâестны. В çàäà÷àх синтезà, íàпротиâ èçâестны токи и нàпряжения â îò- äельных элементàх и требуется опреäелить âèä öåïè è åå ïà- ðàметры, т. е. синтез яâляется обрàòíîé çàäàчей по отношению к àíàëèçó. Ñëåäует отметить, что зàäà÷à синтезà сущестâенно сложнее зàäà÷è àíàëèçà è áóäåò ðàссмотренà â ãë. 16.

Âîñíîâå ìåòîäîâ àíàëèçà электрических цепей лежàò çàêîíû Êèðõãîôà.

Ïåðâûé çàêîí çàêîí òîêîâ Êèðõãîôà (ЗТК) формулируется по отношению к узлàм электрической цепи и отрàæàåò òîò ôàêò, ÷òî â óçëàõ íå ìîãóò íàêàïëèâàòüñÿ çàðÿäû. Îí ãëàñèò: àëãåáðàè- ÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ âåòâåé, ñõîäящихся â любом узле электри- ческой цепи, ðàâíà íóëþ. Ôîðìàëüíî ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê:

m

 

å ik = 0,

(1.16)

k=1

ãäå m число âåòâåé, ñõîäящихся â óçëå.

 óðàâнении (1.16) токи, оäèíàêîâо ориентироâàнные относительно узлà, имеют оäèíàêîâûå çíàêè. Óñëîâèìñÿ çíàêè âûõîäÿ- ùèõ òîêîâ ñ÷èòàть положительными, à âõîäящих отрицàтельными. Тоãäà, íàпример, äëÿ óçëà 1 схемы, изобрàженной нà

28

ðèñ. 1.11, à, ñîãëàñíî ÇÒÊ i1 + i2 + i3 = 0. Число незàâисимых урàâнений, состàâляемых по ЗТК, рàâно числу незàâисимых узлоâ электрической цепи и опреäеляется урàâнением (1.14).

Çàêîí òîêîâ ñïðàâåäëèâ и по отношению к сечениям электри- ческой цепи. Покàæåì ýòî íà примере сечения S3 (ðèñ. 1.13, à). Çàпишем ЗТК äëÿ óçëîâ 1 è 2:

äëÿ óçëà 1: i1 + i2 + i3 = 0; äëÿ óçëà 2: i3 + i4 + i5 = 0.

Сложиâ ìåæäу собой эти урàâнения, получим ЗТК äля сечения S3:i1 + i2 + i4 + i5 = 0.

Второй зàêîí çàêîí íàпряжений Кирхãîôà (ЗНК) формулируется по отношению к контурàì è ãëàñèò: àëãåáðàическàÿ ñóììà íàпряжений âåòâåé â любом контуре рàâíà íóëþ:

n

 

å uk = 0,

(1.17)

k=1

ãäå ï число âåòâåé, âõîäÿùèõ â контур.

 óðàâнении (1.17) нàпряжения, соâïàäàþùèå ñ íàïðàâлением обхоäà контурà, çàïèñûâàþòñÿ ñî çíàêîì «+», à íå ñîâïàäàþùèå ñî çíàêîì « ».

Ñîñòàâèì, íàпример, урàâнение по ЗНК äля цепи, изобрàженной нà ðèñ. 1.11, à. Â ñîîòâåòñòâèè ñ íàïðàâлением äля контурà I:

uã + u1 + u2¢ + u2² = 0 äля контурà II: u2¢ u2² + u3 + u4 + u6 = = 0; äля контурà III: u4 + u5 = 0.

Общее число линейно-незàâисимых урàâнений, состàâляемых по ЗНК, опреäеляется числом незàâисимых контуроâ, ðàâных числу хорä (ñì. (1.15)).

Óðàâнение ЗТК и ЗНК можно зàïèñàòü â ìàтричной форме, используя реäуцироâàнную структурную мàтрицу À0 и контурную мàтрицу Â.

Çàêîí òîêîâ получàется путем перемножения мàтрицы À0 íà

ìàтрицу-столбец токоâ âåòâåé:

 

 

 

 

 

 

 

Iâ =

 

 

 

i1,i2 Kim

 

 

 

T ,

 

 

 

 

 

 

ãäå Ò çíàê òðàнспонироâàíèÿ;

 

A0Iâ = 0.

(1.18)

Çàêîí òîêîâ можно зàïèñàть и через мàтрицу ãëàâных сечений:

ÑIâ = 0.

(1.19)

Умножиâ контурную мàтрицу Â íà ìàтрицу-столбец нàпряже-

íèÿ âåòâåé Uâ = || u1u2 ... un ||T получим ЗНК â ìàтричной форме:

BUâ = 0.

(1.20)

 

29

1.5. Принцип эквивалентности. Преобразования электрических схем

 îñíîâå ðàзличных метоäîâ преобрàçîâàния электрических схем лежит принцип экâèâàлентности, ñîãëàсно которому нàпряжения и токи â âåòâях схемы, не зàтронутых преобрàçîâàíèåì, îñ- òàются неизменными. Преобрàçîâàния электрических схем применяются äля упрощения рàсчетоâ. Ðàссмотрим нàиболее типичные преобрàçîâàíèÿ, îñíîâàííûå íà принципе экâèâàлентности.

Последовательное соединение элементов. Ñîãëàсно ЗТК при послеäîâàтельном соеäинении элементоâ через них протекàåò îäèí è òîò æå òîê (ðèñ. 1.14). Ñîãëàñíî ÇÍÊ íàпряжение, приложенное ко âñåé öåïè,

n

 

u = å uk .

(1.21)

k=1

Òîãäà äля послеäîâàтельноãî ñîåäинения резистиâных элементоâ R1, R2, ... , Rn (ðèñ. 1.14, à) с учетом (1.6) буäем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = iå Rk = iR,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R = å Rk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для послеäîâàтельноãî ñîåäинения инäóêòèâных элементоâ L1,

L2, ... , Ln с учетом (1.9) получàåì (ðèñ. 1.14, á)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = å Lk di = L di ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = å Lk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для послеäîâàтельноãî ñîåäинения

 

емкостных элементоâ Ñ1,

Ñ2, ... , Ñn с учетом (1.12) нàõîäèì (ðèñ. 1.14, â)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = å=

 

 

ò idt =

 

 

ò idt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rn i

 

 

 

 

 

L1

 

L2

 

Ln i

Ñ1 Ñ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ñ

n i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

à)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 1.14

30