Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007
.pdf
|
|
uã |
|
Rã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
Gã |
|
b |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
b |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
à) |
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
||||||
Ðèñ. 1.26
8.Äàòü îïðåäеления ãðàôà, óçëà, âåòâè, äåðåâà, контурà электри- ческой цепи.
9.Äàòü îïðåäеления I и II зàêîíîâ Êèðõãîôà äля электрической цепи. Кàê îíè çàïèñûâàþòñÿ â ìàтричной форме?
10.Îïðåäелить экâèâàлентное сопротиâление цепи, изобрàженной нà рис. 1.24, относительно точек ab, cd, db, ad.
Îòâåò: Rab
Rdb
|
|
æ |
|
+ |
|
R4R5 |
ö |
|
|
|
|
æ |
R2 + |
|
|
R4R5 |
|
|
ö |
|
||||||
|
|
R2 × ç |
R3 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
R3 |
× ç |
|
|
|
|
÷ |
|
||||||
|
|
R + R |
|
R + R |
||||||||||||||||||||||
= R + |
è |
|
|
4 |
5 |
|
ø |
; R = |
|
è |
|
4 |
5 |
|
ø |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
R4R5 |
|
|
cd |
|
|
|
|
R4R5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
R2 + R3 |
+ |
|
|
|
|
|
R3 + R2 + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
R4 |
+ R5 |
|
|
|
|
|
|
R4 + R5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
R × |
R4 ( R2 + R3 ) |
|
|
|
|
|
|
R × æ |
R + |
|
|
R4R5 |
|
|
ö |
|
|
||||||||
|
R + R + R |
|
|
|
|
R + R |
÷ |
|
|
|||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
3 |
ç |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
4 |
2 |
|
3 |
|
; R |
= R + |
|
è |
|
4 |
5 |
|
ø |
. |
||||||||||
|
|
R4 ( R2 + R3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
R + |
|
|
|
ad |
1 |
|
R3 + R2 + |
|
|
R4R5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 + R5 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
R + R + R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Ñîñòàâèòü áàëàнс мощности |
äëÿ |
öåïè, |
изобрàженной нà |
||||||||
ðèñ. 1.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Îòâåò: pèñò |
= uã1 × i1 + u34 × iã ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
ïîòð |
= R i2 |
+ R i2 + R i2 |
+ R i2 |
; |
p |
èñò |
= p |
ïîòð |
. |
|
|
1 1 |
2 2 |
3 3 |
4 4 |
|
|
|
|
|||
12.Îïðåäелить пàðàметры источникà òîêà, изобрàженноãî íà ðèñ. 1.26, á, ýêâèâàлентноãî çàäàнному источнику нàпряжения,
åñëè Uã = 100 Â, |
Rã = 2 Îì. |
Îòâåò: iã = 50 |
À; Gã = 0,5 Îì-1. |
ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ÂРЕЖИМЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1.Метод законов Кирхгофа
Âэлектрических цепях, соäåðæàùèõ àêòèâные элементы (электронные лàìïû, òðàнзисторы, оперàционные усилители и äðóãèå çàâисимые источники) âàжным режимом рàáîòû ÿâляется стàти- ческий. В ñòàтическом режиме íà электроäû àêòèâíîãо элементà ïîäàются постоянные токи и нàпряжения, обеспечиâàþùèå çàäàí- íûå óñëîâèÿ ðàáîòû òîãî èëè èíîãо устройстâà. Ñòàтический ре-
41
æèì õàðàктеризуется зàâисимостями межäу постоянными токàìè è íàпряжениями â îòäельных чàстях электрической цепи и яâляется оäíèì èç îñíîâных режимоâ ðàáîòû ëþáîãо электрическоãо устройстâà. Поэтому àíàлиз цепей â режиме постоянноãî òîêà èãðàåò âàæíóþ ðîëü â общей теории электрической сâÿçè.
Êàк отмечàëîñü â § 1.2 при постоянном токе и нàпряжении ин- äóêòèâность экâèâàлентнà короткозàмкнутому учàñòêó (ðèñ. 1.1, à), емкость рàçðûâó öåïè. Òàêèì îáðàçîì, â режиме постоянноãî òîêà â ìîäåëè öåïè áóäут отсутстâîâàòü ðåàêòèâные элементы, и онà приобретет чисто резистиâíûé õàðàктер. Линейные резистиâ- ные цепи полностью описыâàются системой линейных àëãåáðàè÷å- ñêèõ óðàâнений, состàâляемых нà îñíîâàíèè çàêîíà Êèðõãîôà.  ýòîé ãëàâå ðàссмотрим осноâíûå ìåòîäû àíàëèçà линейных резистиâных цепей, нàõîäящихся поä âîçäåéñòâием постоянных токоâ è íàпряжений. Постоянные токи и нàпряжения â äàльнейшем буäем обознà÷àть прописными букâàìè I è U ñîîòâåòñòâåííî.
Ìåòîä ðàñ÷åòà электрических цепей, осноâàííûé íà çàêîíàõ Êèðõãîôà, â которых незàâисимыми переменными яâляются токи â âåòâÿõ, íàçûâàþò ìåòîäîì òîêîâ âåòâåé.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìåòîäîì äëÿ íàõîæäåíèÿ òîêîâ èëè íàпряжений âåòâåé ñîñòàâляются (nó 1) óðàâнений (1.16) по ЗТК и (nâ nó + 1) óðàâнений (1.17) по ЗНК. В результàте получàем систему из (nó 1) + (nânó + 1) = nâ линейно-незàâисимых урàâнений, число которых рàâно числу токоâ âåòâåé. Ñîâместное решение этой системы по- зâоляет нàéòè âñå òîêè.
Ïðè âыборе незàâисимых контуроâ необхоäèìî ðóêîâîäñòâî- âàться тополоãией электрической цепи (§ 1.3): состàâèòü ãðàô öåïè, âûáðàòü äåðåâî, äополнить еãî õîðäîé, ïðè ýòîì îáðàзуется контур. Путем послеäîâàтельноãî äополнения хорäàìè äåðåâà äî èñõîäíîãî ãðàôà получàåì (nâ nó + 1) íåçàâисимых контуроâ.
Пример. Ðàссчитàòü òîêè âåòâей схемы резистиâной цепи, изобрàженной нà ðèñ. 2.1. à ïî ìåòîäó óðàâнений Кирхãîôà.
Построим ãðàô öåïè (ðèñ. 2.1, á) è âыберем äåðåâî (ðèñ. 2.1, â). Дополним äåðåâî õîðäàìè 2, 5, 6 (íà ðèñ. 2.1, â ïîêàçàно пунктиром). В результàòå îáðàзуется три незàâисимых контурà I, II, III (ðèñ. 2.1, à). Ñîñòàâèì óðàâнение по ЗТК и ЗНК.
Ñõåìà имеет ny = 4 óçëà, nâ = 6 âåòâей. Выберем узел 4 â êà÷åñòâå áàзисноãî è ñîñòàâèì ny = 3 óðàâнения по ЗТК:
äëÿ óçëà 1 |
-I1 + I3 + I4 |
= 0, ü |
|
|||
äëÿ óçëà |
2 |
-I2 - I3 |
+ I5 |
= 0, |
ï |
(2.1) |
ý |
||||||
äëÿ óçëà |
3 |
I2 - I4 |
+ I6 |
= 0. |
ï |
|
þ |
|
|||||
Ïî ÇÍÊ ñîñòàâëÿåì nâ nó + 1 = 3 óðàâнения äля контуроâ, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 2.1, à стрелкàìè: äля контурà I Uã1 + U1 + U3 + U5 = 0; äля контурà
II + Uã2 + U2 U3 + U4 = 0; äля контурà III Uã2 U2 + U6 U5 = 0. Или с учетом зàêîíà Îìà (1.6):
42
|
|
|
I1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
I |
|
R3 |
|
II |
|
R |
4 |
|
|
|
R1 |
I3 |
|
|
Uã2 |
|
|
||
|
|
I2 |
R2 |
|
+ |
I4 |
|
|||
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Uã1 |
R5 |
|
III |
|
R6 |
|
||
|
|
|
|
I5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
I6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
||
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
â) |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.1 |
|
|
|
||
-Uã1 + R1I1 Uã2 + R2I2 -Uã2 - R2I2
+R3I3
-R3I3
+R6I6
+R5I5
+R4I4
-R5I5
= 0,ü
= 0,ïý (2.2)
= 0.ïþ
Ðåøàÿ ñîâместно системы урàâнений (2.1) и (2.2), нàéäем искомые токи.
При использоâàíèè çàêîíîâ Êèðõãîôà â êà÷åñòâå íåçàâисимых переменных можно было âçÿòü íàпряжения âåòâåé (ìåòîä íàпряжения âåòâåé) èëè òîêè îäíèõ âåòâåé è íàпряжения äðóãèõ (ãèáðèäíûé ìåòîä).
Âñëó÷àå, åñëè â цепи имеется âåòâь с источником токà, òî íåèçâестным пàðàметром â ýòîé âåòâè ÿâляется нàпряжение нà çàæèìàх источникà, которое можно нàéòè ìåòîäîì íàпряжения âåòâåé.
2.2.Преобразование резистивных электрических цепей
Âñëó÷àå, êîãäà íà öåïü âîçäåéñòâóåò îäин источник постоянноãî íàпряжения или токà, íàиболее эффектиâíûì ÿâляется метоä
43
|
1 |
I1 |
|
|
|
|
|
I5 5 |
|
R1 |
|
R5 |
|
2 I2 |
|
|
R2 |
||
|
|
||
R4 |
0 |
R3 |
I5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
I4 |
|
3 |
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
à) |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.2 |
|
I1 |
|
|
|
1 |
|
|
U31 |
R1 |
U12 |
|
|
|
||
R3 |
|
R2 |
I3 |
3 |
|
|
|
U23 |
|
2 |
|
I3 |
|
I2 |
|
|
|
a)
Ðèñ. 2.3
|
I1 |
R12 |
I12 |
I2 |
|
|
|
|
|||
|
I51 |
|
|
|
|
|
R51 |
|
|
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I45 |
|
|
I23 |
I3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
R45 |
I34 |
R34 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
I4 |
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
U31 |
R31 |
I31 |
|
U12 |
|
|
R12 |
|
|||
|
I |
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
I23 |
R23 |
I12 |
2 |
I2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U23 |
|
|
|
á)
преобрàçîâàния электрических цепей. Суть этоãî ìåòîäà çà- êëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè ýêâèâàлентноãо сопротиâления цепи относительно зàæèìîâ (полюсоâ) источникà.
 § 1.5 áûëè ðàссмотрены простейшие метоäы преобрàçîâàния послеäîâàтельноãî è ïàðàллельноãî ñîåäиненных пàññèâных элементоâ (см. формулы (1.22) (1.24) и (1.27) (1.29)). Оäíàêî íà ïðàктике âстречàются более сложные соеäинения элементоâ, которые нельзя сâести только к послеäîâàтельному или пàðàллельному. Примером поäîáíîãî ñîåäинения яâляются соеäинения мно- ãолучеâîé çâåçäîé (ðèñ. 2.2, à) è ìíîãîóãольником (рис. 2.2, á).
Õàðàктерной особенностью этих соеäинений яâляется нàличие âнутреннеãî óçëà 0 â çâåçäå è âнутреннеãо контурà â ìíîãîóãольнике. Нàиболее чàñòî âстречàþòñÿ ñëó÷àи трехлучеâîé çâåçäû è òðåóãольникà (ðèñ. 2.3, à, á).
Íàéäем формулы преобрàçîâàíèÿ ñîåäинения «треуãольникà» â «çâåçäó». Çàпишем äля схемы «треуãольник» урàâнения по ЗТК и ЗНК (рис. 2.3, á):
44
äëÿ óçëà 1 |
I12 − I31 |
− I1 = 0, |
ü |
|
|||||
äëÿ óçëà 2 |
I23 |
- I12 |
- I2 = 0, |
ï |
(2.3) |
||||
ý |
|||||||||
äля контурà I U |
+ U |
23 |
+ U |
31 |
= 0. |
ï |
|
||
|
12 |
|
|
|
þ |
|
|||
Ðåøàя систему (2.3) относительно U12 с учетом рàâåíñòâ U23 = = R23I23 è U31 = R31I31, получàåì
U12 = |
|
R12R31 |
|
I1 - |
|
R23R12 |
|
I2 . |
(2.4) |
||||
R |
+ R |
23 |
+ R |
31 |
R |
+ R |
23 |
+ R |
31 |
||||
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||
Для схемы «зâåçäà» íà îñíîâàíèè ÇÍÊ äëÿ U12 можно зàïèñàòü |
|||||||||||||
(ñì. ðèñ. 2.3, à): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U12 = R1I1 − R2I2. |
|
|
|
|
(2.5) |
||||||
Òàê êàê íà îñíîâàнии принципà ýêâèâàлентности нàпряжение
U12 è òîêè I1 è I2 èç (2.4) è (2.5) ðàâíû äðóã äðóãó, òî ïîïàðíî ðàâны и сомножители при токàõ I1 è I2:
R1 |
= |
|
R12R31 |
; R2 |
= |
R23R12 |
. |
(2.6) |
|
R12 |
+ R23 + R31 |
R12 + R23 + R31 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Óðàâнение äëÿ R3 получàåì àíàëîãè÷íî (êðóãîâîé çàменой ин- äåêñîâ):
R3 |
= |
|
R31R23 |
. |
(2.7) |
|
R12 |
+ R23 + R31 |
|||||
|
|
|
|
Óðàâнения (2.6) и (2.7) позâоляют осущестâить перехоä îò ñî- åäинения резистиâных элементоâ «òðåóãольник» к соеäинению «зâåçäà». Îáðàтный перехоä можно получить по формулàì
R12 = R1 + R2 + |
R1R2 R3, |
ü |
|
||||||||||||
ï |
|
||||||||||||||
R23 = R2 + R3 + R2R3 |
|
|
R1,ý |
(2.8) |
|||||||||||
R |
31 |
= R + R + R |
R R |
, |
ï |
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
3 |
|
1 |
2 |
|
þ |
|
|||
осущестâляемые из (2.6) и (2.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Åñëè âûðàзить сопротиâление |
сторон треуãольникà è |
лучей |
|||||||||||||
çâåçäы через проâîäимости G12 = |
1/R12, G23 = 1/R23, |
G31 = |
|||||||||||||
= 1/R31, G1 = 1/R1, G2 = 1/R2, G3 = 1/R3, то формулы (2.8) |
|||||||||||||||
примут äóàльный âèä (2.6), (2.7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
G12 |
= |
|
|
G1G2 |
|
|
, |
|
|
|
||||
|
G1 |
+ G2 + G3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
G23 |
= |
|
|
G2G3 |
|
|
|
, |
|
|
(2.9) |
|||
|
|
G1 |
+ G2 + G3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
G31 |
= |
|
|
G3G1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
G1 |
+ G2 + G3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
45
Пример. Ðàссчитàòü òîêè âåòâей схемы резистиâной цепи, изобрàженной нà ðèñ. 2.4, à. Äàííàÿ ñõåìà может служить моäелью измерительноãî ìîñòà, который нàõîäит широкое применение â ðàзличных измерительных приборàõ, â ÷àстности äля измерения сопротиâлений. Принцип рàáîòû ìîñòà îñíîâàí íà âыполнении услоâèé áàëàíñà åãо плечей.
R31R24 = R12R34 .
При этом потенциàëû óçëîâ 2 è 3 îêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè è â äèàãîíàëè
ìîñòà R23 òîê áóäåò ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè âключить â äèàãîíàëü ìîñòà âместо R23 измерительный прибор àмперметр, то путем изменения оä-
íîãо из сопротиâлений плечà (íàпример, R24 с помощью мàãàçèíà сопротиâлений), можно нàйти сопротиâление äðóãîãî (íàпример R31). Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà
R12 = R31 = R, óñëîâèå áàëàíñà äîñòèãàåòñÿ ïðè R34 = R24.
Преобрàçóåì òðåóãольник R12, R23, R31 â çâåçäó ñ ëó÷àìè R1, R2, R3 (ðèñ. 2.4, á), ãäå R1, R2, R3 îïðåäеляются формулàìè (2.6) è (2.7). Òîãäà ýê-
âèâàлентное сопротиâление цепи относительно зàæèìîâ источникà (óçëû 1 è 4)
Rý = R1 + (R3 + R34)(R2 + R24) .
R3 + R34 + R2 + R24
Ток источникà îïðåäеляем по зàêîíó Îìà:
I= Uã 
Rý ,
àòîêè âåòâåé I34 è I24 по «формуле рàзбросà», которàя может быть полученà íà îñíîâàíèè ÇÒÊ è çàêîíà Îìà äля сопротиâлений (R3 + R34) è (R2 + R24):
I34 |
= I |
|
R2 |
+ R24 |
; I24 |
= I |
R3 |
+ R34 |
. |
|
R2 |
+ R24 |
+ R3 + R34 |
R2 + R24 + R3 + R34 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
Äëÿ íàõîæäåíèÿ òîêîâ I12 è I31 îïðåäåëèì íàпряжение U12 äля преобрàçî-
âàнной схемы (рис. 2.4, á): U12 = R1I + R2I24. Учитыâàÿ, ÷òî U12 â схеме треуãольникà (ðèñ. 2.4, à) è â схеме зâåçäû (ðèñ. 2.4, á) ðàâíû ñîãëàñíî
принципà ýêâèâàлентности, нàéäåì òîê I12 = U12/R12. Òîêè I23 è I31 îïðåäå- ëÿåì ïî ÇÒÊ: I23 = I12 I24; I31 = I23 I34.
|
|
|
I |
1 |
|
+ |
Uã |
|
U31 |
|
U12 |
|
|
R31 |
|
R12 |
|
|
|
|
R23 |
||
|
|
3 |
I31 |
I12 |
|
|
|
I23 |
|
2 |
|
|
|
|
U23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R34 |
|
R24 |
|
|
|
I34 |
|
I24 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.4 |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
U31 |
|
R1 |
U12 |
|
Uã |
|
|
|
||
|
R3 |
|
|
R2 |
|
3 |
|
|
U23 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
R34 |
I34 |
|
|
R24 |
|
|
4 |
I24 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
46
Àíàëîãично формуле (2.9) можно получить формулы преобрà- çîâàíèÿ n-ëó÷åâîé çâåçäû â полный мноãîóãольник с числом âåòâåé ðàâíûì nâ = n (n 1)/2:
G |
lm |
= |
Gl Gm . |
(2.10) |
|
|
nâ |
|
|
|
|
|
åGk |
|
2.3.Метод наложения
Âîñíîâå ìåòîäà íàложения лежит принцип суперпозиции (нà- ложения), линейных электрических цепей (§ 1.6). Этот метоä применяется â ñëó÷àå, êîãäà â öåïè äåéñòâует несколько источникоâ íàпряжения или токà. Ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâии с этим принципом нàõîäÿò ÷àстичные токи и нàпряжения, à результирующие реàêöèè îïðåäеляются путем àëãåáðàическоãо суммироâàíèÿ ÷àстичных токоâ è íàпряжений.
Проиллюстрируем принцип нàложения нà примере резистиâной цепи, изобрàженной нà ðèñ. 2.5, à, ñîäåðæàùåé èäåàльные источ-
íèêè íàпряжения. Нàéäåì òîê â резистиâном элементе R3. Положим âíà÷àëå, ÷òî â öåïè äåéñòâует только оäин источник Uã1; âторой источник нàпряжения исключàåòñÿ è çàæèìû åãî çàêîðà÷èâà-
ются. При этом получàåì ÷àстичную схему, изобрàженную нà ðèñ. 2.5, á. Îïðåäåëèì òîê I3′ îò âîçäåéñòâèÿ íàпряжения Uã1:
|
I |
|
′ = I |
′ |
|
R2 |
|
, ãäå I |
′ = |
R + R |
|
Uã1 |
|
|
+ R |
|
) |
. |
|
|||
|
|
3 |
1 |
R + R |
3 |
|
1 |
2 |
R |
3 |
(R |
2 |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
I1 |
I2 |
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
I3 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Uã1 |
|
|
R3 |
|
|
Uã2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R1 I1′ |
|
|
R2 |
|
|
a) |
|
R1 |
|
|
|
I2′′ R2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
I2′ |
|
I1′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
U |
ã1 |
|
|
R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
3 |
|
|
|
U |
ã2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I3′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3′′ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
47
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
R2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Iã1 |
|
R3 |
|
|
Uã2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Rã2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2′′ R2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
R2 |
a) |
|
|
|
|
+ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
I2′ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I3′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uã2 |
||||||
|
Iã1 |
|
R3 |
Rã2 |
|
|
|
R3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Rã |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
á) |
|
|
|
|
â) |
|
|
|
|
||||
Ðèñ. 2.6
Теперь полàãàåì, ÷òî â öåïè äåéñòâует только источник Uã2. Исключиâ источник Uã1, получим âторую чàстичную схему (рис. 2.5, â). Òîê I3² îò âîçäåéñòâèÿ Uã2 îïðåäелится кàê
I |
¢¢ = I |
¢¢ |
R1 |
|
, ãäå I |
¢¢ = |
|
|
Uã2 |
|
|
. |
||
R + R |
|
R + R R |
|
(R + R |
) |
|||||||||
3 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
Результирующий ток I3 íàéäåì êàê àëãåáðàическую сумму чàс- тичных токоâ I3¢ è I3²: I3 = I3¢ + I3². Ïðè îïðåäелении результирующих токоâ çíàк «+» берут у чàстичных токоâ, ñîâïàäàþùèõ ñ âûáðàнным положительным нàïðàâлением результирующеãî òîêà, è çíàê « » ó íåñîâïàäàþùèõ. Êàê ñëåäóåò èç ðàссмотренноãо примерà, ïðè ñîñòàâлении чàстичных электрических схем исклю- чàåìûå èäåàльные источники нàпряжения зàêîðà÷èâàþòñÿ.  ñëó- ÷àå, åñëè â öåïè äåéñòâуют источники нàпряжения с âнутренними сопротиâлениями Rã, при их исключении они зàменяются сâîèìè âнутренними сопротиâлениями Rã.
Ïðè íàличии иäåàльных источникоâ òîêà ñîîòâåòñòâующие âåò- âи исключàемых источникоâ ðàçìûêàþòñÿ, à ïðè íàличии реàльных источникоâ îíè çàменяются сâîèìè âнутренними проâîäимостями Gã.
Пример. Îïðåäелить ток I3 â цепи, изобрàженной нà ðèñ. 2.6, à. Ñîñòàâ- ëÿåì äâå ÷àстные схемы (рис. 2.6, á, â), äля которых нàõîäèì ÷àстичные токи:
I3 |
¢ = Iã1 |
|
R2 |
+ Rã2 |
; I3 |
¢¢ = |
Uã2 |
. |
|
R2 |
+ Rã2 + R3 |
Rã2 + R2 + R3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
Результирующий ток I3 = I3² I3¢.
Ïðè íàличии â öåïè çàâисимых источникоâ îíè îñòàþòñÿ â ÷àс- тичных схемàх неизменными.
48
2.4. Метод контурных токов
Ïðè îïðåäелении токоâ è íàпряжений â îòäельных âåòâÿõ öåïè ñ nâ-âåòâÿìè ïî çàêîíàì Êèðõãîôà â общем случàе необхоäимо решить систему из nâ óðàâнений. Для снижения числà ðåøàåìûõ óðàâнений и упрощения рàсчетоâ используют метоäы контурных токоâ è óçëîâûõ íàпряжений.
Ìåòîä контурных токоâ ïîçâоляет снизить число решàåìûõ óðàâнений äî ÷èñëà íåçàâисимых контуроâ, îïðåäеляемых рàâåíñòâîì (1.15).  åãî îñíîâе лежит ââåäåíèå â êàæäый контур услоâíîãо контурноãî òîêà Ik, íàïðàâление котороãо обычно âûáè- ðàþò ñîâïàäàþùèì ñ íàïðàâлением обхоäà контурà. Ïðè ýòîì äля контурноãî òîêà áóäóò ñïðàâåäëèâû ÇÒÊ è ÇÍÊ.  ÷àстности, äëÿ êàæäîãî èç âûäеленных контуроâ можно состàâèòü óðàâнения по ЗНК. Поясним суть метоäà контурных токоâ íà примере резистиâ- íîé öåïè, ñõåìà которой изобрàæåíà íà ðèñ. 2.5, à. Для контурных токоâ Iê1 è Iê2 этой схемы можно зàïèñàòü óðàâнения по ЗНК â âèäå
-Uã1 + (R1+ R3)Iê1 + R3Iê2 = 0, ü
-Uã2 + R3Iê1 + (R2+ R3)Iê2 = 0.ýþ
Перенесем Uã1 è Uã2 â ïðàâóþ ÷àсть системы и получим тàê íà- çûâàåìóþ êàноническую форму çàïèñè óðàâнений по метоäу контурных токоâ:
R11Iê1 + R12Iê2 = Uê1, ü
R21Iê1 + R22Iê2 = Uê2,ýþ
ãäå R11 = R1 + R3; R22 = R2 + R3 íàçûâàþò собстâенными èëè контурными сопротиâлениями I è II контуроâ: R2 = R21 = R3
âçàимными сопротиâлениями I è II контуроâ; Uê1 = Uã1; Uê2 = = Uã2 контурными зàäàющими нàпряжениями. Истинные токи
â âåòâÿõ íàõîäÿòñÿ êàê àëãåáðàическàÿ ñóììà контурных токоâ:
I1 = Iê1; I2 = Iê2; I3 = Iê1 + Iê2.
В общем случàе, если резистиâíàÿ öåïü ñîäержит k íåçàâèñè-
мых контуроâ, системà óðàâнений имеет âèä |
|
|
|
|
||||||||||
R I |
+ R I |
ê2 |
+ K + R I |
êk |
= U , ü |
|
||||||||
11 ê1 |
12 |
|
1k |
|
ê1 |
ï |
|
|||||||
R I |
+ R |
22 |
I |
ê2 |
+ K + R |
I |
êk |
|
= U |
ê2 |
,ï |
(2.11) |
||
21 ê1 |
|
|
|
|
2k |
|
|
|
ý |
|||||
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
ï |
|
|||||||||||
Rk1Iê1 + Rk2Iê2 |
+ K + RkkIêk |
|
|
|
||||||||||
= Uêk.ï |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
Ñëàãàåìûå RlnIên â óðàâнении (2.11) берутся со знàêîì «+», åñëè
òîê Iêl è Iên обтекàþò Rln â îäíîì íàïðàâлении и со знàêîì « » â протиâíîì ñëó÷àе. Контурное зàäàþùåå íàпряжение Uê ðàâíî àë-
ãåáðàической сумме зàäàþùèõ íàпряжений источникоâ, âõîäÿùèõ â êàæäый контур. Со знàком «+» суммируются источники, зàäàþ- ùåå íàпряжение которых нàïðàâëåíî íàâстречу контурному току,
49
è ñî çíàêîì « », åñëè íàïðàâление нàпряжения и контурноãî òîêà |
||||||||||||||||
ñîâïàäàþò. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ðåøàя систему урàâнений (2.11), нàéäåì çíàчения контурных |
|||||||||||||||
òîêîâ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iê1 = |
1 |
R ; Iê2 = |
2 |
R ; K Iêk = |
k R , |
|
|
|||||||
ãäå |
R ãëàâíûé îïðåäелитель системы (2.11): |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R11 |
R12 |
K R1k |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R = |
|
R21 |
R22 |
K R2k . |
|
|
|
(2.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Rk1 |
Rk2 K Rkk |
|
|
|
|
||||
|
Îïðåäелитель |
k íàõîäится путем зàìåíû k-ãо столбцà â (2.12) |
||||||||||||||
ïðàâîé ÷àстью системы (2.11). Нàпример, äëÿ |
1 имеем: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Uê1 |
R12 |
K R1k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 = |
Uê1 |
R22 |
K R2k . |
|
|
|
(2.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Uêk |
Rk2 K Rkk |
|
|
|
|
|||||
|
Ðàçëàãàÿ îïðåäелитель |
|
1 по элементàì ïåðâîãо столбцà, можем |
|||||||||||||
получить урàâнение äëÿ Iê1 â äðóãой форме: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
1 |
k |
|
|
|
|
Iê1 = Uê1 |
11 + Uê2 |
21 + K + Uêk |
= |
åUêl l1 , |
(2.14) |
|||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
R |
|
R l=1 |
|
|
|
ãäå |
11, |
12, ..., |
k1 |
àëãåáðàические |
äополнения опреäелителя |
|||||||||||
(2.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Àíàëîãичные урàâнения можно получить äëÿ îñòàльных токоâ: |
||||||||||||||||
|
|
Iê2 = |
1 |
k |
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
lê . |
|
(2.15) |
|
|
|
|
åUêl l2,K,Iêk |
= |
|
åUêl |
|
|||||||||
|
|
|
|
R l=1 |
|
|
|
|
|
R l=1 |
|
|
|
|
||
|
Êàê ñëåäóåò èç óðàâнений (2.14) и (2.15), контурный ток может |
|||||||||||||||
быть получен àëãåáðàическим суммироâàíèåì ÷àстичных токоâ îò |
||||||||||||||||
âîçäåéñòâèÿ êàæäîãо контурноãî çàäàþùåãî íàпряжения â îòäåëü- |
||||||||||||||||
ности. Тàêèì îáðàзом, полученный результàò îòðàæàåò ðàñ- |
||||||||||||||||
смотренный â § 1.6 принцип нàложения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R1 |
|
|
|
Uã2 + |
|
|
Åñëè â схеме кроме источ- |
||||||||
|
I1 1 I2 |
R2 |
|
|
íèêîâ íàпряжения соäержится ï- |
|||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
âåòâей с источникàìè òîêà, òî íå- |
||||||||
Uã1 |
J |
|
|
|
|
R3 |
çàâисимые |
контуры âûáèðàþòñÿ |
||||||||
|
|
|
|
|
òàк, чтобы источник токà âõîäèë |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
только â îäин контур. Это можно |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ñäåëàòü, åñëè âûáðàòü äåðåâî ãðà- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ôà öåïè òàким, чтобы источник |
|||||||||
|
|
Ðèñ. 2.7 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
òîêà |
âõîäèë |
â |
îäíó |
èç |
õîðä. |
|||||
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|