Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

.pdf
Скачиваний:
633
Добавлен:
05.05.2015
Размер:
6.33 Mб
Скачать

Число контурных урàâнений при этом уменьшàåòñÿ äî

 

nê = nâ nó + 1 nã .

(2.16)

Íàпряжения от зàäàþùèõ òîêîâ этих источникоâ учитыâàþòñÿ â ëåâîé ÷àсти системы (2.11) нà âçàимных сопротиâлениях, которые эти токи обтекàþò. Íàпример, äля схемы, изобрàженной нà ðèñ. 2.6, à, ñîñòàâляется только оäíî óðàâнение äля II контурà:

R22Iê2 Iã1R3 = (Rã2 + R2 + R3)Iê2 R3 Iã1 = Uã2 .

Сформулироâàííûå âûøå ïðàâèëà ñîñòàâления урàâнений по метоäу контурных токоâ ñïðàâåäëèâû è â ñëó÷àå çàâисимых источникоâ íàпряжения ИНУН и ИНУТ.

Пример. Íàéäåì òîêè â öåïè ñîäåðæàùåé ÈÍÓÒ ñ çàäàþùèì íàп- ряжением Uã2 = HRI1 (ðèñ. 2.7) ïî ìåòîäу контурных токоâ.

Учитыâàÿ, ÷òî öåïü ñîäержит âåòâü ñ èäåàльным незàâисимым источником токà J ñîãëàñíî (2.15) ñîñòàâèì âñåãî îäíî óðàâнение äля контурноãî òîêà Iê. Ïðè ýòîì çàäàющий ток источникà òîêà J çàìûêàåì ïî âåòâè c R1 è Uã1, â результàте получим

Iê (R1 + R2 + R3) JR1 =

= Uã1 + Uã2 = Uã1 + HRI1, или с учетом тоãî, ÷òî I1 = Iê J, окончàтельно получим

Iê (R1 + R2 + R3 HR) = Uã1 (HR R1) .

Îòñþäà ñëåäóåò

 

 

 

 

 

Iê = I2

=

Uã1

(HR R1)

.

(R1

+

R2 + R3 HR)

 

 

 

Çàпишем урàâнение контурных токоâ â ìàтричной форме. Зà- êîí Îìà â ìàтричной форме имеет âèä

 

 

 

 

 

Iâ = Gâ ( Uãâ + Uâ ),

(2.17)

èëè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RâIâ = Uãâ + Uâ

(2.18)

ãäå G

â

= R

1, G , R

â

êâàäðàòíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâî-

 

â

â

 

 

äимостей и сопротиâлений âåòâåé.

Iâ, Uãâ, Uâ ìàтрицы-столбцы токоâ, çàäàþùèõ íàпряжений источникоâ è íàпряжений âåòâей. Умножиâ ñëåâà îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.17) íà контурную мàтрицу  è ó÷òÿ, ÷òî ñîãëàñíî ÇÍÊ

(1.20) ÂUâ = 0, получим

 

BRâIâ = BUãâ .

(2.19)

Òîêè âåòâåé ñâÿçàны с контурными токàми соотношением:

Iâ = BòIê

(2.20)

51

ãäå Iê ìàòðèöà-столбец контурных токоâ.

Ïîäñòàâëÿÿ (2.19) â (2.18), получàåì:

 

BRâBòIê = BUãâ .

(2.21)

Если учесть, что

 

BRâBò = Rê, BUãâ = Uê ,

(2.22)

ãäå Rê êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà контурных сопротиâлений; Uê ìàò- ðèöà-столбец контурных зàäàþùèõ íàпряжений, то â ñîîòâåòñòâии с (2.20) получим мàтричное урàâнение контурных токоâ

RêIê = Uê .

(2.23)

Пример. Ðàссмотрим схему, изобрàженную нà ðèñ. 2.8, à. Â ñîîòâåòñòâèè ñ íàïðàâлением токоâ строим нàïðàâленный ãðàô öåïè (ðèñ. 2.8, á) è äåðåâî ãðàôà (ðèñ. 2.8, â). Ïîäñîåäèíÿÿ ê äåðåâó õîðäû (íà ðèñ. 2.8, ã обознàчены пунктиром), получàåì òðè íåçàâисимых контурà. Âûáðàâ íàïðàâление обхоäà контуроâ I, II è III, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâилом, изложенным â § 1,3, строим контурную мàтрицу

 =

 

 

 

1

1

0

0

1

0

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

1

1

1

 

 

 

 

Ìàòðèöà сопротиâлений âåòâåé Râ áóäет иметь âèä

 

R1

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

R2

0

0

0

0

 

 

 

Râ =

0

0

R3

0

0

0

 

 

.

0

0

0

R 4

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

R5

0

 

 

 

 

0

0

0

0

0

R6

 

 

 

Íàéäåì ìàтрицу контурных сопротиâлений:

(R1 + R2 + R5) R2 R5

Rê = BRâBò = −R2(R2 + R3 + R4) R4 .

R5 R4 (R4 + R5 + R6)

Ìàтрицу контурных зàäàþùèõ íàпряжений нàéäåì ñîãëàñíî (2.22)

Uê = BUãâ =

 

1 1

0

0 1

0

 

×

 

Uã1

 

=

 

Uã1 + Uã5

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1 1

0 0

 

 

Uã3

 

 

Uã3

 

 

 

 

 

0

0 0

1

1

1

 

 

 

Uã5

 

 

 

Uã5

 

 

 

 

Ïîäñòàâèâ Uê è Rê â óðàâнение (2.23), получим урàâнение контурных токоâ â ìàтричной форме. После нàõîæäåíèÿ Iê òîêè âåòâåé îïðåäåëèì ñîãëàñíî (2.20)

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

Iê1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

0

 

 

Iê1

 

Iê2 Iê1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

Iê

=

0

1

0

 

×

=

Iê2

 

 

.

 

Iê2

 

 

Iâ = B

0

1

1

 

Iê2

Iê3

 

 

 

 

 

 

 

Iê3

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

Iê3

Iê1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

Iê3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

 

 

 

R1

 

Uã

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

R2

I2

0

I5

R5

Uã5

 

 

 

 

 

1

 

+

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

Uã3

 

R4

 

 

 

R6

 

 

 

I3

 

 

I4

 

 

I6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

I

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

0

 

2

1

 

 

 

2

5

 

 

5

2

 

5

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

III

3

4

 

6

 

 

4

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

á)

 

 

 

 

â)

 

 

 

ã)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 2.8

 

 

 

 

 

Для линейных электрических цепей âàæíóþ ðîëü èãðàåò принцип âçàимности (теоремà îáðàтимости). Îí ãëàñèò: если источник нàпряжения, помещенный â êàêóþ-ëèáî âåòâü l ïàññèâ- ной линейной электрической цепи, âûçûâàåò â äðóãîé âåòâè k òîê îïðåäеленноãî çíàчения, то этот же источник, áóäучи помещенный â âåòâü k, âûçûâàåò â âåòâè l òîê ñ òåì æå çíàчением. Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãо принципà ñëåäует непосреäñòâåííî èç óðàâнений (2.14) и (2.15) с учетом тоãî, ÷òî lk = kl.

2.5. Метод узловых потенциалов

Ìåòîä óçëîâых потенциàëîâ (óçëîâûõ íàпряжений) яâляется нàиболее общим и широко применяется äëÿ ðàñ÷åòà электрических цепей, â ÷àстности, â ðàзличных проãðàììàõ àâòîìàтизироâàííîãо проектироâàния электронных схем.

Ìåòîä óçëîâых потенциàëîâ áàзируется нà ÇÒÊ è çàêîíå Îìà. Îí ïîçâоляет снизить число решàåìûõ óðàâнений äî âеличины, опреäеляемой рàâåíñòâîì (1.14).  îñíîâå ýòîãî ìåòîäà лежит рàñ÷åò íàпряжений â (ny 1)-м узле цепи относительно бàзисноãî óçëà. После этоãî íà îñíîâàíèè çàêîíà Îìà íàõîäÿòñÿ òîêè èëè íàпряжения â ñîîòâåòñòâующих âåòâÿõ. Ðàссмотрим сущность метоäà óçëîâых потенциàëîâ íà примере резистиâной цепи, изобрàженной нà ðèñ. 2.9, à. Примем потенциàë V3 = 0 (áàзисный узел) и с помощью (1.31) преобрàзуем источники нàпряжения â ýêâèâàлентные источники токà

53

 

 

I4

R4

 

 

 

 

 

I4

G4

 

 

 

 

 

Uã

 

 

 

 

 

 

 

Iã2

 

 

 

 

 

+

R2

 

I2

 

 

I2

 

 

I2

 

1

 

2

 

2

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

G2

 

 

+

I1

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

I5

 

 

 

 

 

 

I5

 

 

 

 

Uã1

 

 

 

 

Uã3

 

U1

 

 

U2

 

 

R5

 

 

 

G5

 

 

 

 

 

 

 

+

Iã1

Iã3

 

 

R1

 

 

 

I5

 

R3

G1

 

 

G3

 

 

 

 

 

 

 

I5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

á)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 2.9

 

 

 

 

 

(ðèñ. 2.9, á); ãäå Iã1 = Uã1G1; Iã2 = Uã2G2; Iã3 = Uã3G3;

G1 =

= 1/R1; G2 = 1/R2; G3 = 1/R3; G4 = 1/R4; G5 = 1/R5.

 

Ñîñòàâèì óðàâнения äëÿ óçëîâ 1 è 2 ïî ÇÒÊ:

 

I1 + I2 I4 + I5 = 0; I4 + I3 I2 = 0.

(2.24)

Êàæäûé èç ýòèõ òîêîâ можно âûðàзить через узлоâые потенциà- ëû è òîêè Iã1, Iã2, Iã3:

I1 = Iã1 - V1G1; I2 = Iã2 - (V2 - V1 )G2;

I3 = Iã3 + V2 G3; I4 = (V2 - V1 )G4; I1 = V1 × G5.

Ïîäñòàâèâ ýòè

çíàчения â óðàâнение

(2.24), получим

после

ãруппироâки членоâ ïðè V1, V2 и переносе Iã1, Iã2, Iã3 â ïðàâóþ

÷àñòü:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(G

 

+ G

 

+ G

 

+ G

)V - (G

 

+ G

 

)V = I

 

- I

 

(2.25)

 

1

 

2

 

4

5

1

2

 

4

 

2

ã1

 

ã2

ý

-(G2 + G4)V1 + (G2 + G3 + G4)V2 = Iã2 - Iã3.

 

þ

 

Ââåäåì ñëåäующие обознàчения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G11 = G1 + G2 + G4 + G5; G22 = G2 + G3 + G4;

 

 

 

G12 = G21 = G2 + G4; Ió1 = Iã1 - Iã2; Ió2 = Iã2 - Iã3.

 

Òîãäà системà óðàâнений (2.25) примет âèä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G11V1 - G12V2 = Ió1,

 

ü

 

 

 

 

(2.26)

 

 

 

 

 

-G V + G V = I

ó2

.ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

1 22

2

 

þ

 

 

 

 

 

Ïðîâîäимости G11 è G22 ïðåäñòàâляют собой àрифметическую сумму проâîäимостей âñåõ âåòâåé, ïîäñîåäиненных соотâåòñòâåííî ê óçëàì 1 è 2; îíè íàçûâàþòñÿ собстâенными проâîäимостями óçëîâ 1 è 2. Ïðîâîäимости G12 = G21 ðàâíû àрифметической сумме проâîäимостей âñåõ âåòâåé, âключенных межäó óçëàìè 1 è 2, è íà-

54

çûâàþòñÿ âçàимными проâîäимостями óçëîâ 1 è 2. Àëãåáðàиче- скую сумму зàäàþùèõ òîêîâ Ió1 è Ió2 источникоâ òîêà ïîäключенных соотâåòñòâåííî ê óçëàì 1 è 2 íàçûâàþò çàäàющими узлоâûìè òîêàìè óçëîâ 1 è 2. Çàäàющие токи источникоâ â àëãåáðàической сумме берутся со знàком «+», если положительное нàïðàâление зà- äàþùåãî òîêà источникà ориентироâàíî ê ñîîòâåòñòâующему узлу,

è « », åñëè îò óçëà. Íàпример, äëÿ óçëîâîãî òîêà Ió1 ñî çíàком «+» берется ток Iã1, òàê êàк ориентироâàí ïî íàïðàâлению к узлу

1, è çíàк « » берется äëÿ Iã2, òàê êàк он ориентироâàí îò óçëà 1. Ðåøèâ систему (2.26) относительно V1 è V2 îïðåäåëèì óçëîâûå

потенциàлы цепи. Искомые токи нàõîäèì ïî çàêîíó Îìà. Полученный результàт можно обобщить нà произâольную рези-

ñòèâную схему с ï óçëàми. Если принять ï-é óçåë çà áàзисный, то системà óðàâнений по метоäó óçëîâых потенциàëîâ приобретàåò âèä

G11V1 - G12V2 - K - G1(n1)V(n1) = Ió1;

 

ü

 

-G21V1 + G22V2 - K - G2(n1)V(n1) = Ió2;

 

ï

 

 

ï

(2.27)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

ý

 

ï

 

-G

V - G

V - K + G

− − V = I

ï

 

 

(n 1)1 1

(n 1)2 2

(n 1)(n 1) (n 1)

ó(n 1),

þ

 

ãäå Ió1, Ió2, ... , Ió(n 1), çàäàþùèå óçëîâûå òîêè â óçëàõ 1, 2,..., (n 1).

Решение системы (2.27) можно получить с помощью опреäелителей

V1 = 1 G; V2 = 2

G; K; V(n1) = (n1)

G ,

ãäå îïðåäелитель системы (2.27)

 

 

 

G11 - G12 - K - G1(n1)

 

 

 

 

 

DG =

-G21 + G22

- K - G2(n1)

.

(2.28)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

-G(n1)1 - G(n1)2 - K + G(n1)(n1)

 

 

Îïðåäелители D1, D2, ... , D(n 1), íàõîäятся путем зàìåíû ñîîò- âåòñòâóþùåãо столбцà â (2.28) çàäàющими узлоâûìè òîêàìè Ió1,

Ió2, ... , Ió(n 1). Ðàçëàãàÿ îïðåäелители D1, D2, ... , D(n 1) по элементàì 1, 2, ... , (n l)-ão столбцà, получàåì ïî àíàëîãèè ñ (2.14)

óðàâнения узлоâûõ íàпряжений:

 

 

1

n1

 

 

 

1

n1

 

V1

=

 

å IólDl1; V2 =

 

å IólDl2; K

 

 

 

 

 

 

DG l=1

 

1

n1

DG l=1

(2.29)

 

 

K Vn1

=

 

å IólDl(n1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DG l=1

 

 

 

Èç óðàâнений (2.29) тàê æå êàê èç óðàâнений (2.14), слеäóåò, ÷òî óçëîâые потенциàëû îïðåäеляются àëãåáðàической суммой

55

 

R1

1

R3

i3

 

÷àстичных узлоâых потенциàëîâ,

 

I1

I

 

 

 

обуслоâленных äåéñòâèåì êàæäîãî

 

 

 

 

çàäàþùåãî óçëîâîãî òîêà â îòäåëü-

+

 

2

 

 

 

U1

 

 

 

 

ности, т. е. кàê è â ìåòîäе контур-

 

R2

J3

 

R4

 

Uã1

 

íûõ òîêîâ óðàâнения

(2.29) îò-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ðàæàют принцип

íàложения, хà-

 

 

 

 

 

 

ðàктерный äля линейных электри-

 

 

2

 

 

 

ческих цепей.

 

 

 

 

Ðèñ. 2.10

 

 

 

Ðàссмотренный

ìåòîä

ñîñòàâëå-

 

 

 

 

 

íèÿ óçëîâûõ íàпряжений спрàâåäëèâ

 

 

 

 

 

 

è ïðè íàличии â öåïè çàâисимых источникоâ òèïà ÈÒÓÒ è ÈÒÓÍ. Â

цепи, изобрàженной нà ðèñ. 2.10, ñîäержится кроме незàâисимоãî èñ-

точникà íàпряжения Uã1 çàâисимый ИТУН с зàäàющим током J3 =

=HGU1. Îïðåäåëèì òîêè â öåïè ìåòîäîì óçëîâых потенциàëîâ.

Âñîîòâåòñòâèè ñ âышеизложенным метоäом примем зà áàзисный узел V2 = 0. Òîãäà äëÿ óçëà 1 получим

V1(G1 + G2 + G3,4) = Uã1G1 J3 = Uã1G1 HGV1.

Îòñþäà íàõîäèì

V1 = Uã1G1 (G1 + G2 + G3,4 + HG);

I1 = (Uã1 V1)G1;

I

2

= VG ;

I

3

= VG

3,4

,

 

1

2

 

1

 

ãäå G1 = 1/R1; G2 = 1/R2; G3,4 = 1/(R3 + R4).

Çàпишем урàâнение по метолу узлоâых потенциàëîâ â ìàòðè÷-

ной форме. Умножим элементы ðåäуцироâàííîé

структурной

ìàтрицы A0 íà потенциàëû V ñîîòâåòñòâующих узлоâ, â результà-

те получим мàтрицу нàпряжения âåòâåé:

 

U

â

= ÀòV .

(2.30)

 

0 ó

 

Умножим леâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ìàтричноãî óðàâнения (2.17) нà ìàтрицу A0 и учитыâàÿ ÇÒÊ â ìàтричной форме (1.18) и рà- âåíñòâо (2.30), получим

À G

ÀòV = −À G

U

ãâ

.

(2.30a)

0 â

0 ó

0 â

 

 

 

Ó÷òÿ, ÷òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

À G

Àò

= G

ó

,

 

 

 

(2.31)

 

0 â

0

 

 

 

 

 

 

À0GâUãâ = Ió ,

 

 

(2.32)

получим мàтричную форму урàâнений рàâíîâåñèÿ óçëîâых потенциàëîâ:

GóVó = Ió ,

(2.33)

ãäå Gy êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà óçëîâûõ ïðîâîäимостей, Ió ìàò- ðèöà-столбец узлоâûõ òîêîâ.

56

Пример. Ñîñòàâèì óðàâнение узлоâых потенциàëîâ â ìàтричной форме äля схемы, изобрàженной нà ðèñ. 2.8, à. Примем зà áàçèñ íóëåâîé óçåë V0 = 0. Структурнàÿ ìàòðèöà À0 â ýòîé öåïè â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâилом, изложенным â § 1.3, имеет âèä

 

 

 

 

 

 

 

 

À0 =

 

 

1

1

1

0

 

0

0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 0 0 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

1

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ìàтрицу узлоâûõ ïðîâîäимостей нàéäåì ñîãëàñíî (2.31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G1

 

0

 

0

 

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

0

0

0

 

 

0

G2

 

0

 

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

=

 

 

 

 

 

×

 

0

 

0

G3

0

0

0

 

 

×

 

 

 

1 0 0 0 1 1

 

 

 

 

Gó = À0GâÀ0

 

 

 

 

0

 

0

 

0

 

 

G4

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

1

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0

 

 

0

G5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0

 

 

0

0

G6

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

0

 

 

 

(G1

+ G2 + G3)

G1 G3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

1 0 1

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G (G + G

5

+ G

) G

6

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

1

1

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G3 G6 (G3 + G4 + G6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå

G1 = 1R1; G2 = 1R2; G3 = 1R3; G4 = 1R4; G5 = 1R5; G6 = 1R6 .

Ìàòðèöà óçëîâûõ òîêîâ îïðåäеляется из (2.32):

Uã1G1 + Uã3G3

Ió = −À0GâUãâ = Uã1G1 Uã5G5 .

Uã3G3

Ïîäñòàâèâ Gy è Iy â (2.33), получим урàâнение узлоâых потенциàëîâ â ìàтричной форме. После опреäеления мàтрицы узлоâых потенциàëîâ Vy íàéäåì ìàтрицу нàпряжений âåòâåé ñîãëàñíî (2.30) è òîêè âåòâåé ïî çàêîíó Îìà (2.17).

Для решения мàтричных урàâнений â (2.23) или (2.33) обычно используют ЭВМ (см. § 2.7).

2.6. Метод эквивалентного генератора

Ìåòîä ýêâèâàлентноãî ãåíåðàòîðà áàзируется нà теореме об àê- òèâíîì äâухполюснике (см. § 1.8) и позâоляет упростить решение мноãèõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïåðåäà÷åé ñèãíàëîâ и электрической энерãии от источникà к приемнику. При этом обычно источник рàññìàòðèâàåòñÿ êàê àêòèâíûé äâухполюсник с изâестными зàäàþ- ùèìè íàпряжениями Uã или током Iã è âнутренними сопротиâлением Rã èëè ïðîâîäимостью Gã, à приемник кàê ïàññèâíûé

57

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

À

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

Ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

Rí

 

Jã

Gã

 

 

 

Gí

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uã

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â)

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 2.11

äâухполюсник с âнутренним сопротиâлением нàãрузки Rí èëè ïðî- âîäимостью Gí (ðèñ. 2.11).

Òàêèì îáðàзом, системà ïåðåäàчи, изобрàæåííàÿ íà ðèñ. 2.11, à может быть преäñòàâëåíà â âèäå äâóõ ýêâèâàлентных схем: с источником нàпряжения (рис. 2.11, á) и с источником токà (ðèñ. 2.11, â).

 ñîîòâåòñòâии с теоремàìè Òåâåíèíà и Нортонà (ñì. § 1.8) çà- äàþùåå íàпряжение ãåíåðàòîðà îïðåäеляется кàê íàпряжение холостоãî õîäà íà ðàзомкнутых зàæèìàõ àêòèâíîãî äâухполюсникà

Uã = Uxx, à çàäàþùèé òîê êàк ток короткоãî çàìûêàíèÿ Jã = = Iêç. Внутреннее сопротиâление àêòèâíîãî äâухполюсникà Rã èëè

åãî ïðîâîäимость Gã íàõîäÿòñÿ êàê ýêâèâàлентные âõîäные сопротиâления или проâîäимость относительно рàзомкнутых зàæèìîâ ïàññèâíîãî äâухполюсникà, который получàется после исключения из схемы âсех источникоâ íàпряжения и токà. Ïðè ýòîì èäåàльные источники нàпряжения зàêîðà÷èâàþòñÿ, à òîêà ðàçìûêàþòñÿ; ðå- àльные же источники зàменяются сâîèìè âнутренними сопротиâлениями или проâîäимостями.

Ïàðàметры Uxx, Iêç, Rã, Gã можно нàéòè êàк экспериментàльным, тàê è ðàсчетным путем. После нàõîæäåíèÿ ïàðàметроâ ýêâè-

âàлентноãî ãåíåðàòîðà íàпряжения или токà, òîê I è íàпряжение U â íàãрузке можно нàéòè äля схемы, изобрàженной нà ðèñ. 2.9, á,

по формуле

 

Uã

 

 

Uõõ

 

 

 

 

I =

 

=

 

 

 

 

(2.34)

 

Rã + Rí

 

Rã + Rí

 

 

è äля схемы (рис. 2.9, â) по формуле

 

 

 

 

 

I = Jã

 

Rã

 

=

Iêç

Gí

.

(2.35)

Rã + Rí

Gã

+ Gí

 

 

 

 

 

 

58

R1

 

1

 

 

 

R1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

I2x

 

 

+

R2

 

 

+

 

 

R2

 

 

Uã1

+

 

R3

Uã1

 

+

 

I

Uõõ

 

Uã

2 1

I3

 

 

 

 

Uã

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

à)

 

 

Iêç

 

R1

á)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

I

′′

 

 

 

 

 

 

+

 

 

êç

 

 

 

R2

 

R

 

 

R2

 

Iêç

 

 

U

ã1

 

+

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Uã

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â)

 

 

 

 

 

ã)

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 2.12

 

 

 

 

 

 

Пример. Íàéòè òîê â сопротиâлении R3 (ðèñ. 2.12, à) ìåòîäîì ýêâèâà-

лентноãо источникà íàпряжения.

 

 

 

 

 

 

 

Ðàзомкнем âåòâü ñ R3 è îïðåäåëèì Uxx (ðèñ. 2.12, á) ïî ÇÍÊ äëÿ I контурà:

Uõõ + R2I2x Uã2 = 0 .

Îòñþäà

Uõõ = Uã2 R2I2x,

ãäå

I2x = (Uã2 Uã1)(R1 + R2) .

Ýêâèâàлентное сопротиâление Rý = Rã ïàññèâíîãî äâухполюсникà îïðåäе- ляется из схемы нà ðèñ. 2.12, â;

Rã = Rý = R1R2 (R1 + R2) .

Ïîäñòàâèâ Uxx è Rã â óðàâнение (2.34), нàéäåì:

I3 = Uõõ (R3 + R ã) .

Решим эту же зàäà÷ó ìåòîäîì ýêâèâàлентноãо источникà òîêà. Çàмкнем âåòâü ñ R3 (ðèñ. 2.12, ã) è íàéäåì òîê I3êç ìåòîäîì íàложения:

′′

R1 + Uã2

R2 .

I3 êç = I3 êç + I3 êç = Uã1

Ýêâèâàлентную проâîäимость опреäåëèì ñîãëàсно схеме нà ðèñ. 2.12, â:

Gý = Gã = 1R1 + 1R2 = (R1 + R2)R1R2 = 1Rã .

Ïîäñòàâèâ çíàчения Gã è Iêç â (2.35), получим искомое знàчение токà I3.

Î÷åâèäíî, ìåòîäû ýêâèâàлентноãо источникà êàê íàпряжения тàê è òîêà äàþò îäин и тот же результàт. Применение тоãî èëè

59

η

P

P

 

1

Rë /2

 

 

 

 

2

 

1,0

 

èñò

 

 

 

 

 

η

 

 

 

 

 

 

 

Pmax

 

 

 

 

 

 

 

P

Rã

U

 

U

 

Rí

0,5

 

+

 

í

 

í

1

 

 

 

 

I

Uã

1

Rë /2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

I = Iêç /2 Im = Iêç = Uã /Rã

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 2.13

 

Ðèñ. 2.14

 

èíîãî ìåòîäà îïðåäеляется уäîáñòâом и простотой нàõîæäåíèÿ Uxx

èëè Iêç.

Îäíîé èç âàжнейших прàктических зàäà÷ ÿâляется оптимàëüíàÿ ïåðåäà÷à электрической энерãèè îò àêòèâíîãî ê ïàññèâíîìó äâухполюснику. Оптимум обычно понимàåòñÿ â смысле получения мàê- ñèìàльной мощности â íàãрузке Ðí. Мощность Ðí îïðåäåëèì êàê

2

 

Uã2

 

 

Ðí = I

Rí =

 

Rí ,

(2.36)

(Rã + Rí)2

 

 

 

 

à íàпряжение нà íàãрузке Uí = Uã IRã. Из формулы (2.36) нетруä- íî âèäåòü, ÷òî ìàксимум мощности буäåò äîñòèãàòüñÿ ïðè Rí = Rã. Â

ýòîì ñëó÷àå òîê â öåïè I0 = Uã/(2Rã), à мощность Pímax = = Uã2/(4Rã).

Коэффициент полезноãî äåéñòâия системы переäà÷è

η = Pí Pèñò = (UãI I2Rã)(UãI) = 1 IRã Uã .

Ïðè I = I0, Ðí = Pímax имеем η = 0,5 (50%). Íà ðèñ. 2.13 ïðåä- ñòàâëåíû çàâисимости Ðí, Ðèñò, η îò òîêà I.

Òàêèì îáðàçîì, â точке мàêñèìàльной мощности только 50% энерãии источникà îòäàåòñÿ â íàãрузку.

Если линия переäàчи имеет конечное сопротиâление Rë (ðèñ. 2.14), òî óñëîâèå ìàêñèìàльной переäàчи мощности â íàãрузку принимàåò âèä

R

í

= R

ã

+ R

;

P

= U2

[4 ( R

ë

+ R

)].

(2.37)

 

 

ë

 

ímax

ã

 

ã

 

 

Èç (2.37) âèäно, что сопротиâление линии сущестâåííî ñíèæàет мощность, отäàâàåìóþ â íàãрузку, зà счет потерь â линии.

2.7. Примеры применения резистивных цепей

Аттенюатор. В технике сâязи широкое применение нàõîäÿò âы- сокоточные äелители нàпряжения (àттенюàòîðû), ðåàлизуемые с помощью Ò-îáðàзных резистиâных перекрытых схем (рис. 2.15).

Õàðàктерной особенностью этой схемы яâляется то, что если âûáðàть сопротиâление R1 è R2 èç óñëîâèÿ

60