Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

R R

= R2

,

(2.38)

R1

1

2

0

2 2′

1

R0

R0

2

òî

ïðè âключении

ê

òî÷êàì

èëè

1 1′ резистиâíîãо элементà ñ

U2

сопротиâлением

R0,

âõîäное сопро-

U1

R2

R0

òèâление цепи со стороны âõîäà 1

1′ è âûõîäà 2 2′ áóäåò îäèíàêîâî è

1′

Râõ = R0

2′

ðàâíî R0. Â

ýòîì

можно

ëåãêî

óáåäиться, если

ñâернуть схему к

Ðèñ. 2.15

òî÷êàì 1 1′ èëè 2 2′

ñîîòâåòñòâåí-

но. Отношение âûõîäíîãî íàпряжения ко âõîäíîìó òàêîãî àттеню- àòîðà

Ê = U2 U1 = R0 (R0 + R1),

(2.39)

т. е. полностью опреäелится отношением сопротиâления äелителя

R0 è R1.

Для получения âысокоточноãî äеления àттенюàтор обычно âы- полняют â âèäе нескольких зâåíüåâ, âключенных кàñêàäíî äðóã çà äðóãîì (ðèñ. 2.16).

При этом коэффициент äеления
Ê = U	2	U = Rn		(R	0	+ R )n ,	(2.40)
		1	0			1

ò. å. ìíîãо меньше еäиницы.

Масштабный усилитель.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàäо получить Ê 1, применяют обычно мàñøòàбные усилители, преäñòàâляющие собой резистиâíóþ öåïü, ñîäåðæàùóþ àêòèâный элемент. Нà ðèñ. 2.17, à ïîêàçàíà ñõåìà ìàñøòàáíîãо усилителя нà îïåðàционном усилителе (ОУ), âключенном по инâертирующей схеме. Зà- меним ОУ экâèâàлентной моäåëüþ ÈÍÓÍ ñ îïðåäеленными âõîä- íûì Râx è âûõîäíûì Râûõ сопротиâлениями (рис. 2.17, á). Ñîñòà- âèì äëÿ íåå óðàâнение рàâíîâåñèÿ ïî ìåòîäó óçëîâых потенциàëîâ, приняâ потенциàë V3 = 0:

V1(G1 + G2 + Gâõ) − V2G2 = U1G1,

		R1
1	R0	R0
U1		R2
1′		1

		R1			R1
1	R0	R0	1	R0	R0	2
						U2
		R2			R2	R0
1′		2	1′		n	2′
	Ðèñ. 2.16

61

−VG	+ V (G	2	+ G	âûõ	+ G	) = −H V G	,
1 2	2				0	u 1 âûõ

ãäå

G1 = 1R1 ; G2 = 1R2 ; G0 = 1R0 ;

Gâõ = 1Râõ ; Gâûõ = 1Râûõ .

Îòñþäà получàåì

	U2	= (V2 − V3) = V2	=			−U1G1(HuGâûõ − G2)	.
				(G1	+ G2	+ Gâõ) (G2 + G0 + Gâûõ) + G2(HuGâûõ − G2)

Принимàÿ âî âíèìàние, что коэффициент усиления ОУ Íu → ∞

(см. § 1.2), получàåì
U = −U		G1		= −U		R2	.
2	1 G		2	1		R
					1
Или окончàтельно
K = U2 U1 = −R2					R1 ,			(2.41)

т. е. коэффициент усиления мàñøòàáíîãо усилителя полностью опреäеляется соотношением сопротиâлений R2 è R1. Çíàê « » â ðà- âåíñòâå (2.41) ñâèäетельстâóåò îá èíâертироâàнии полярности U2 по отношению к U1.

Âõîäное сопротиâление мàñøòàáíîãо усилителя
Râõ = U1 I1 ≈ R1 .	(2.42)

	R2					R2
R1	∞	2			2	∞
							4
	1
U1		R0	U2	U1	R1		U2

	3			3
	à)			à)
I1 R1	1 R2	2		2 R2 4
U1	Râõ	Râûõ	1	+	U2
		+ U2
			R0	Hu(U1-U2)
		-HuU1	U1
				R1
	3			3
	á)			á)
	Ðèñ. 2.17			Ðèñ. 2.18

62

Усилитель, включенный по неинвертирующей схеме

(ðèñ. 2.18, à), Используем иäåàльную моäель ОУ, изобрàженноãî íà ðèñ. 2.18, á. Приняâ потенциàë V3 = 0, çàпишем урàâнение рàâíîâåñèÿ ïî ìåòîäó óçëîâых потенциàëîâ:

	æ 1			1			ö		1
	V2 ç			+			÷	- V4		= 0 .
			R			R
									R
	è	1		2
							ø		2
	Учитыâàÿ, ÷òî
		V4 = Hu (V1 - V2 ) ,
	получàем потенциàë V2:							V1
	V2 = Hu										.
						1 + H + R R
								u	1	2

Îòêóäà, учитыâàÿ, ÷òî Hu ?(1 + R2 /R1), èç óðàâнения рàâíî- âесия получàåì âûðàжение äля потенциàëà V4:

		æ				R		ö
	V4 = V1 ç			1 +			2	÷.
						R
		è						ø
							1
	Òîãäà коэффициент усиления
		V					R2
	K =	4		= 1	+					(2.43)
		V					R
		1						1

òàêæå íå çàâèñèò îò ïàðàметроâ ÎÓ.

Усилитель с неинâертирующим âõîäом может использоâàòüñÿ êàê ïîâторитель нàпряжения, если положить R2 = 0 R1 = ¥ (рис 2.19). Коэффициент усиления тàкой схемы рàâåí Ê = 1, âõîäное сопротиâление очень âелико, à âûõîäное очень мàло (см. § 1.2), что используется äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ âõîäных сопротиâлений рàзличных устройстâ.

Сумматор. Это устройстâо используется äëÿ âыполнения àрифметической оперàöèè âçâешенноãо суммироâàíèÿ ðàзличных нà- пряжений. Нà рис. 2.20 изобрàæåíà ñõåìà àêòèâíîãî ñóììàòîðà äâóõ íàпряжений U1 è U2, âыполненноãî íà áàçå ÎÓ, âключенно- ãî ïî èíâертирующей схеме.

R0

R1

∞

∞

U2

U1

R2

U3

U1

U2

Ðèñ. 2.19

Ðèñ. 2.20

63

 ñîîòâåòñòâèè ñ (2.41) äля коэффициентоâ усиления K1 è Ê2 имеем

K1 = - R0 ; K2 = - R0 . R1 R2

Íàпряжение нà âûõîäå ÎÓ â ñîîòâåòñòâии с принципом нàëî-

	жения			R0		R0
	¢	¢¢
			= K1U1 + K2U2 = - R U1 -			R	U2 ,
	U3 = U3	+ U3
			1			2

ò. å. ðàâíî âçâешенной с коэффициентàìè Ê1 è Ê2 àрифметической сумме âõîäíûõ íàпряжений. Анàëîãичным обрàзом можно построить àêòèâíûé ñóììàòîð íà произâольное число n âõîäíûõ íà- пряжений:

	n	R
	U = - å	0	Uk .	(2.44)
		R
	=
	k 1	k

Отличительной чертой суммàòîðà ýòîãî òèïà ÿâляется хорошàÿ «ðàçâÿçêà» âõîäных цепей, что обуслоâèëî åãо широкое применение â технике сâÿçè.

Конвертор отрицательного сопротивления (КОС). Êîíâåðòî- ðàми отрицàтельноãо сопротиâления íàçûâàþò àêòèâную резистиâíóþ öåïü, âõîäное сопротиâление которой рàâно сопротиâлению нàãрузки с отрицàтельным знàêîì. Îäíà èç âозможных схем КОС изобрàæåíà íà ðèñ. 2.21, à.

Ñîñòàâèì äëÿ ýêâèâàлентной схемы КОС (рис. 2.21, á) óðàâ- нение по метоäó óçëîâых потенциàëîâ äëÿ óçëà 1, приняâ V3 = 0 (áàзисный узел) и учтя, что U1 = V1, U2 = V2, получим

	æ	1	+	1	ö	- Hu (V2	- V1 )	1	= 0 .
	V1 ç				÷
		R		R
								R
	è	1		2	ø
							2

Îòñþäà íàõîäим потенциàë V1:

V1 = Hu		V2 R1
			.
	R + (1 + H )R
2		u 1

Òîê â сопротиâлении нàãрузки Rí îïðåäåëèì ñîãëàñíî çàêîíà Îìà:

	V - V		[R1	(Hu - 1)R2]V2
I = 2 4		=			.
1	Rí		[R2 + (Hu + 1)R1] Rí

Òîãäà âõîäное сопротиâление КОС

Râõ = U1 = R2 + (Hu + 1)R1 × Rí . I1 R1 - (Hu - 1)R2

Ó÷òÿ, ÷òî Hu ?1, окончàтельно зàпишем:

64

		Rí			Rí			I1
2		2
		∞
					R2
	1	4	1					4
U2
		R2	R1					+
U1				H	u	(U	2	-U )
		R1
								1
		3	3
		à)
				á)
		Ðèñ. 2.21

Râõ ≈ − R1 Rí . R2

Если сопротиâление R1 = R2, то получàåì Râõ = Rí, ò. å. ÊÎÑ ïîçâоляет получàть отрицàтельное сопротиâление, что широко используется нà ïðàктике äля компенсàции потерь â ðàзличных цепях.

2.8. Алгоритмы анализа линейных резистивных цепей на ЭВМ

 îñíîâå ìàшинных метоäîâ àíàëèçà электрических цепей ле- жàò ìàòåìàтические моäåëè, çадаваемые с помощью системы урàâ- нений, которые описыâàþò ñâÿçü ìåæäó òîêàìè è íàпряжениями нà åå îòäельных элементàх (компонентàõ). Ýòè óðàâнения имеют нà- çâàíèå компонентных óðàâнений электрической цепи.

К числу поäобных компонентных урàâнений относятся урàâнения (1.6), (1.9) и (1.12), сâÿçûâàþùèå òîêè è íàпряжения нà резистиâíûõ, èíäóêòèâных и емкостных элементàх. Сложные мноãо- полюсные элементы (электронные лàìïû, òðàнзисторы, оперàционные усилители и äр.) описыâàþòñÿ ìîäелями из нескольких компонентных урàâнений.

Кроме компонентных урàâнений мàòåìàтические моäели цепей âêëþ÷àþò â ñåáÿ тополоãические урàâнения, которые âûòåêàют из тополоãèè öåïè è çàïèñûâàþòñÿ íà îñíîâàíèè çàêîíîâ Êèðõãîôà (1.18) è (1.20).

Для формироâàíèÿ ìàòåìàтической моäåëè ìîãут использо- âàòüñÿ ðàзличные бàçèñû, íàиболее рàспрострàненным из которых äля резистиâных цепей яâляется метоä óçëîâых потенциàëîâ. При использоâàíèè ìåòîäà óçëîâых потенциàëîâ èñõîäíûì ÿâляется состàâление урàâнения рàâíîâåñèÿ öåïè â форме (2.33):

GóVó = Ió .

(2.45)

65

Послеäîâàтельность формироâàíèÿ óðàâнения (2.45) нà îñíî- âàíèè ÇÒÊ (1.18), óðàâнения сâязи (2.30) и компонентных урàâ- нений нà áàçå çàêîíà Îìà (2.17) ðàссмотрены â §§ 2.4, 2.5.

После формироâàíèÿ óðàâнения узлоâых потенциàëîâ â форме (2.45) осущестâляется еãо решение тем или иным способом. Тàêèì îáðàçîì, ñóòü ìàшинных метоäîâ àíàëèçà линейных резистиâных цепей зàêëþ÷àåòñÿ â формироâàнии и решении мàтричноãî óðàâнения состояния цепи â форме узлоâых потенциàëîâ (2.45). Ðàссмотрим послеäîâàтельность реàëèçàции обоих этих этàïîâ íà ÝÂÌ.

Формирование уравнения узловых потенциалов.  êà÷åñòâå

ïåðâîãî øàãà осущестâляется ââîä â ÝÂÌ äàнных о тополоãèè è

ïàðàìåòðàõ öåïè. Äëÿ ýòîãî âûáèðàåòå áàзисный узел, потенциàл котороãо принимàåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Çàтем осущестâляется нуме- рàöèÿ îñòàльных узлоâ îò 1 äî (nó 1), à òàкже нумерàöèÿ âåòâåé îò 1 äî nâ. После этоãî íà îñíîâàíèè ïðàâèëà, изложенноãî â § 1.3, формируется структурнàÿ ìàòðèöà öåïè À0.

Учитыâàÿ, ÷òî â ìàтрице À0 обычно соäержится мноãî íóëåâых элементоâ (ðàзряженнàÿ ìàòðèöà), åå óäîáíî ââîäèòü â ïàìÿòü ÝÂÌ íå â âèäå äâумерноãî ìàññèâà, à с помощью оäномерноãî ìàññèâà тройки целых чисел (l, k, m), õàðàктеризующих номер âåòâè l, номер узлà k, из котороãî âåòâü âûõîäит, и номер уз- лà ò, â который онà âõîäèò.

После формироâàíèÿ òàêèì îáðàзом ненулеâых элементоâ ìàò- ðèöû À0 осущестâляется ââîä â ÝÂÌ ïàðàметроâ âåòâåé. Ïðè ýòîì êàæäàÿ îäноэлементнàÿ âåòâü õàðàктеризуется номером âåòâи; номерàìè óçëîâ, из которых онà âûõîäèò è â который âõîäит; типом элементà (резистор, незàâисимые источники нàпряжения и токà); ïàðàметром элементà (сопротиâлением резисторà, çàäàþùèì íà- пряжением Uã источникà íàпряжения, зàäàющим током Iã источ- никà òîêà).

Äàëåå â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãоритмом, изложенным â § 2.5, формируется мàòðèöà óçëîâûõ ïðîâîäимостей Gy è ìàòðèöà óçëîâûõ òîêîâ Iy. При этом используются стàíäàртные поäïðîãðàммы перемножения мàòðèö À0Gâ, À0ò.

Методы решения уравнений узловых потенциалов. Óðàâнение (2.45) относится к клàссу линейных урàâнений типà

Ax = B ,

(2.46)

ãäå A = Gy, X = Vy, B = Jy.

Решение урàâнения типà (2.46) ÿâляется сàмостоятельной зà- äà÷åé â ìåòîäå óçëîâых потенциàëîâ. Кроме тоãо, решение тàêèõ óðàâнений состàâëÿåò îäíó èç íàиболее рàспрострàненных проце- äур при решении äðóãèõ çàäà÷, íàпример, при àíàлизе нелинейных цепей (см. ãл. 11). Численным метоäàм решения системы (2.46) посâÿùåíà обширнàя литерàòóðà; âсе их можно рàçäелить нà äâå

66

большие ãруппы: прямые и итерàционные. В большинстâå ìàшинных проãðàмм используются прямые метоäы, обеспечиâàющие получение решения зà конечное число шàãîâ.

Îñíîâные проблемы, с которыми прихоäèòñÿ ñòàëêèâàться при использоâàнии прямых метоäîâ это большàÿ ðàзряженность мàò- ðèöû Gy, ïðèâîäÿùàя к большим зàòðàòàì ìàшинноãî âремени и быстрое âîçðàñòàние ошибок окруãления промежуточных результàòîâ, ïðèâîäящих к большим поãрешностям.

Для решения этих проблем используют рàзличные моäèôèêàции прямых метоäîâ, которые можно рàзбить нà òðè ãруппы: об- рàщения мàтрицы Gy, ðàзложения мàтрицы Gy íà сомножители и метоäû äëÿ ìàòðèö Gy специàëüíîãî âèäà. Îñíîâíûì ìåòîäîì ïåð- âîé ãруппы яâляется ìåòîä Ãàóññà è åãî ðàçíîâèäности.

Число àрифметических оперàöèé ïî ìåòîäó Ãàóññà

N ≈ 2(n33 + 2n2), ãäå n − ïîðÿäîê ìàтрицы Gó .

Òàêèì îáðàçîì, äля сложной схемы число оперàций может окà- çàться очень большим. Для поâышения эффектиâности метоäà Ãà- óññà используют метоä ðàзряженных мàòðèö.

Ìåòîäû îáðàщения ìàтрицы Gy применяются, кàê ïðàâèëî, äëÿ ñðàâнительно простых схем, тàê êàê äëÿ âычисления пàðà- ìåòðà Gy 1 требуется больше оперàöèé, ÷åì äля решения системы (2.46) метоäàìè ïåðâîé ãруппы. Кроме тоãо, при прямом обрàщении мàтрицы быстро âîçðàñòàåò åå ðàзряженность, что сущестâåííî ñíèæàет эффектиâность этоãî ìåòîäà.

Ìåòîäы третьей ãруппы применяются äëÿ ìàòðèö óçëîâîé ïðî- âîäимости специàëüíîãî âèäà: ленточноãо, блочно-äèàãîíàëüíîãî è äð. Ìàтрицу Gy ленточноãî òèïà имеют, нàпример, электронные схемы кàñêàäной структуры без обрàòíûõ ñâÿçåé (ñì. ãë. 12).

Ìåòîä Ãàóññà. Àëãоритм Гàóññà состоит из прямоãî è îáðàò- íîãî õîäîâ. Прямой хоä âêëþ÷àет послеäîâàтельное исключение неизâестных õ из системы урàâнений (2.46). При этом нà ïåðâîì øàãе получàåì ÿâíîå âûðàжение äëÿ õ1:

	x1	= −	a12	x2	−	a13	x3 − K −	a1n	xn + b1.	(2.47)
			a11			a11		a11

Ïîäñòàâèâ õ1 âî âñå îñòàâшиеся урàâнения, исключàем из них переменную õ1, ÷òî ïðèâîäит к изменению коэффициентà àij â ýòèõ óðàâнениях.

Íà âтором шàãå îïðåäеляется â ÿâной форме õ2, после чеãо оно исключàется из третьеãо и послеäующих урàâнений и т. ä. Причем, исключение переменной приâîäит к пересчету коэффициентоâ ïî

формуле
)	= aij − aikakj	akk , i = (k + 1),n.	(2.48)
aij

67

Процеäóðà исключения произâîäèòñÿ äëÿ âñåõ òîêîâ i. В результàте прямоãî õîäà ìàòðèöà À преобрàзуется к треуãольному âèäó.

Îáðàòíûé õîä ïîçâоляет âычислить состàâляющие искомоãî âекторà õ, íà÷èíàя с послеäíåãо элементà. Дейстâительно, â результàте прямоãî õîäà â послеäíåì ï-ì óðàâнении остàëàñü åäèí-

ñòâåííàя переменнàÿ x =	)	. После нàõîæäåíèÿ x	n	îïðåäåëÿ-
n	bn ann
åòñÿ èç (ï 1) óðàâнения xn 1 è ò. ä. Íà рис. 2.22 изобрàæåíà
ñõåìà àëãоритмà ðàñ÷åòà ïî ìåòîäó Ãàóññà.

Ìåòîä ðàзряженных мàòðèö. Èäåÿ ýòîãî ìåòîäà состоит â

том, что если при прямом хоäå Ãàóññà, õîòÿ áû îäин коэффициент

)

(àik èëè àkj,) ðàâен нулю, то коэффициент aij по формуле (2.48) можно не пересчитыâàòü, ÷òî ïðè âысокой степени рàзряженности мàтрицы À может сущестâåííî ñîêðàтить объем âычислений. При этом тàêæå îòïàäàет необхоäимость хрàíèòü â ïàìÿòè ÝÂÌ íóëåâые коэффициенты, что уменьшàåò çàòðàòû ìàшинной пàìÿòè.

Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîé èäеи используются рàзличные метоäы упоряäочения мàтриц, обеспечиâàющие минимàльный объем âы- числений. Простейшим из них яâляется слеäующий: строки с меньшим числом ненулеâых элементоâ äолжны рàñïîëàãàòüñÿ âыше строк с большим числом ненулеâых элементоâ.

Пусть строки и столбцы мàтрицы узлоâûõ ïðîâîäимостей Gó ðàñïîëàãàþòñÿ â ïîðÿäêå âîçðàñòàния номероâ ñîîòâåòñòâующих им узлоâ. Òîãäà äля минимизàции объемà âычислений нумерàöèþ óçëîâ необхоäимо произâîäèòü â ïîðÿäêå âîçðàñòàния количестâà ненулеâых элементоâ â строке. При этом объем âычислений буäåò ðà- âåí:

N≈ 13n ,

ò.å. ÿâляется линейной функцией числà óçëîâ ï = nó â ýêâèâàлентной схеме цепи.

Ìåòîäû îáðàщения мàтрицы узлоâîé ïðîâîäимости. С помощью этих метоäîâ решение системы (2.46) ищется â âèäå

x = A−1B.

(2.49)

Íà рис. 2.23 изобрàæåíà ñõåìà àëãоритмà ðàñ÷åòà электриче- ской цепи по метоäó îáðàщения узлоâîé ïðîâîäимости.

Кроме моäåëåé èíäóêòèâных и емкостных элементоâ â âèäå (1.8) è (1.11) â послеäíåå âðåìÿ â ïðîãðàììàõ ìàшинноãî àíàëèçà электрических цепей нàшли применение äискретные моäåëè L- и С-элементоâ, îñíîâàííûå íà íåÿâíûõ ìåòîäàх численноãî èí-

òåãðèðîâàíèÿ [1]. Òàê, çíàчения произâîäíîé xn +1 â ñîîòâåòñòâèè ñ íåÿâной формулой Эйлерà можно зàâèñàòü êàê

xn+1 = xn+1 − xn , t

68

Прямой ход

Обратный ход

Начало

k = 1

i = k + 1

m = aikakk ; aik = 0;

j = k + 1

aij = aij − makj

			íåò
	j = n			j	= j + 1
		äà
	bi = bi − mbk
			íåò
	i = n			i	= i + 1
			íåò
		äà
	k = n − 1			k = k + 1

xn = bnan; i = n − 1

Вывод xn

j = i + 1; s = 0

s = s − aijxj

	j = n		íåò	j	= j + 1
		äà
	xi = (bi − s ) aii
	Вывод xi
			íåò
	i = 1			i	= i − 1
		äà
	Конец

Ðèñ. 2.22

69

à òàê êàê ñîãëàñíî (1.12) iC = CduC/dt, òî äëÿ òîêà iC â момент t = tn +1 можно зàïèñàòü:

in+1 = Ct un+1 − Ct un = Gun+1 − Gun ,

ãäå t = tn +1 tn, ÷òî ñîîòâåòñòâует резистиâной схеме зàмещения емкостноãо элементà, изобрàженной нà ðèñ. 2.23, à, ãäå G=C/ t;

iã = Gun.

Àíàëîãично можно получить äискретную моäåëü äля элементà èíäóêòèâности:

Начало

Ввод схемы

Формирование исходных матриц A0,GB,E,J

Формирование матрицы

Gy = A0G BAT0

Формирование матрицы

Jy = A0(J − GBE)

Обращение матрицы

Gy

Определение матрицы

Vy = G−y1Jy

Определение матрицы

VB = AT0 Vy

Определение матрицы

IB = GB (VB + E)

Конец

Ðèñ. 2.22

70