Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Um		Z		Uma			R
	Ump		X>0	ϕ < 0		Ump	ϕ < 0	X<0
ϕ > 0		ϕ > 0		Um			Z
Uma		R
a)		á)		â)			ã)

Ðèñ. 3.9

Величинà X = XL XC = wL 1/(wC) íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâным сопротиâлением, à âеличинà

Z = R2 + X2		(3.33)

полным сопротиâлением цепи.

Òðåóãольник нà âекторной äèàãðàììå, îáðàçîâàííûé íàпряжениями Uma, Ump, Um íàçûâàþò òðåóãольником нàпряжений. Åñëè

UmL > UmC (XL > XC), то цепь носит инäóêòèâíûé õàðàктер (приложенное нàпряжение опережàåò òîê) è òðåóãольник нàпряжений имеет

âèä, изобрàженный нà ðèñ. 3.9, à; åñëè UmL < UmC (XL < XC), то цепь носит емкостный хàðàктер (приложенное нàпряжение отстàåò

îò òîêà) è òðåóãольник нàпряжений принимàåò âèä, изобрàженный нà ðèñ. 3.9, â. Òðåóãольник со сторонàìè R, X, Z ïîäобный тре- уãольнику нàпряжений, нàçûâàåòñÿ òðåóãольником сопротиâлений (ðèñ. 3.9, á, ã). Èç òðåóãольникоâ сопротиâлений и нàпряжений слеäóåò:

U	= U2		+ U2	= ZI ,		(3.34)
m		ma	mp		m
j = arctg(Ump Uma) = arctg(X R),ü						(3.35)
R = Z cos j; X = Z sin j.					ý
					þ

Òðåóãольники нàпряжений и сопротиâлений позâоляют упростить àíàлиз электрической цепи.

3.5. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении R, L, С-элементов

Приложим к цепи, соäåðæàùåé ïàðàллельно соеäиненные элементы R, L, Ñ (ðèñ. 3.10), íàпряжение

u = U

sin (wt + j

u

).

(3.36)

m

Ñîãëàñíî ÇÒÊ òîê â íåðàçâåòâленной чàñòè öåïè

i = i

+ i

+ i

= Gu +

1

udt + C

du

.

(3.37)

L ò

R

L

C

dt

Ïîäñòàâèâ çíàчение нàпряжения è èç (3.36) â (3.37), получим

81

	i						j		ImR	=Ima	Um
											Imp=ImL-ImC
		iR		iL		iC
											ImC
u		R		L			C			ϕ
											ImL
										Im
									ϕu ϕi
	Ðèñ. 3.10									Ðèñ. 3.11

i = URm sin (wt + ju ) + w1LUm sin (wt + ju - p2) + +wCUm sin (wt + ju + p2).

Перепишем урàâнение (3.38) â âèäå

i= ImR sin ( wt + jR ) + ImL sin ( wt + jL ) +

+ImC sin ( wt + jC ),

ãäå

I = U R = GU ; I = B U ; I = B U ;ü
mR m	m mL L m mC	C m	ý
jR = ju; jL = ju - p 2; jC = ju + p 2.			þ

+

(3.38)

(3.39)

(3.40)

Íà рис. 3.11 изобрàæåíà âекторнàÿ äèàãðàììà òîêîâ, описыâàåìûõ óðàâнением (3.39).

Òîê â резистиâном сопротиâлении ImR íàçûâàþò àêòèâíîé ñî-

ñòàâляющей òîêà Ima, à ðàзность токà Imp = ImL ImC ðåàê- òèâíîé ñîñòàâляющей токà. Äëÿ Ima è Imp ñïðàâåäëèâы соотно-

шения

I	= GU ;	I	= ( B - B	)U	= BU .	(3.41)
ma	m	mp	L C	m	m

Величинà B = BL BC = 1/(wL) wC íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîé

ïðîâîäимостью öåïè, à âеличинà
Y = G2 + B2	(3.42)

полной проâîäимостью цепи.

Ïî àíàëîãèè ñ òðåóãольником нàпряжений и сопротиâлений при пàðàллельном соеäинении элементоâ можно ââåñòè òðåóãольники токоâ è ïðîâîäимостей (ðèñ. 3.12, à, á). Êàê ñëåäóåò èç ýòèõ ðè-

Ima				G		Im
ϕ > 0		Imp		ϕ > 0	B>0			Imp	Y		B <0
Im			Y			ϕ < 0			ϕ	< 0
						Ima			G
a)				á)		â)			ã)

Ðèñ. 3.12

82

сункоâ, ïðè ImL > ImC (BL > BC) цепь носит инäóêòèâíûé õàðàктер (общий ток отстàет от приложенноãî íàпряжения) и при ImL < ImC

(BL < BC) емкостный хàðàктер (ток опережàет приложенное нà- пряжение). Из треуãольникоâ òîêîâ è ïðîâîäимостей слеäóåò:

					ü
2		2	= YUm,
Im = Ima +		Imp			ï	(3.43)
j = arctg(I		I		) = arctg(B G),ý
	mp ma				ï
G = Y cos j,		B = Y sin j.
					þ

Ñðàâнение треуãольникоâ òîêîâ è ïðîâîäимостей с треуãольни- кàìè íàпряжений и сопротиâлений покàçûâàåò èõ äóàльный хà- ðàêòåð. Äóàëüíû òàêæå è âсе соотношения, описыâàющие цепи при послеäîâàтельном и пàðàллельном соеäинении элементоâ, äóàëüíû è ñàìè öåïè.

3.6. Символический метод расчета разветвленных цепей

Ðàñ÷åò ðàçâåòâленных цепей при смешàííîì ñîåäинении элементоâ â режиме ãàрмонических колебàний обычно осущестâляется симâолическим метоäом. Это объясняется тем, что клàссический метоä ðàñ÷åòà ïðèâîäèò ê ãромозäêèì èíòåãðàëüíî-äифферен- циàльным урàâнениям и требует большоãо объемà òðèãонометри- ческих преобрàçîâàíèé. Ñèìâолический метоä ïîçâоляет триãонометрические оперàöèè íàä ãàрмоническими колебàниями и ãеометрические оперàöèè íàä âекторàìè ñâåñòè ê àëãåáðàическим оперà- öèÿì íàä комплексными числàми, что сущестâенно упрощàåò ðàñ- ÷åò. Ïðè ýòîì ìîãут быть использоâàíû âñå ìåòîäы преобрàçîâà- íèé è àíàëèçà, изложенные â ãл. 1, 2. Допустимость использоâàíèÿ ñèìâолическоãî ìåòîäà объясняется тем, что â линейных цепях â режиме ãàрмонических âîçäåéñòâèé â öåïè óñòàíàâëèâàþòñÿ ãàрмонические колебàíèÿ òîé æå ÷àстоты. Тàêèì îáðàçîì, íåèçâестными пàðàìåòðàìè òîêîâ è íàпряжений буäóò ëèøü àмплитуäû è ôàçû, îïðåäеляемые оäíîçíàчно их комплексными àмплитуäàìè. Çàпишем осноâíûå çàконы электрических цепей â ñèìâолической форме.

Для резистиâíîãо элементà R ñâÿçü ìåæäу комплексными àм- плитуäàìè òîêà Im è íàпряжения Um можно опреäелить соãëàñíî çàêîíó Îìà (1.6) путем зàìåíû ìãíîâенных знàчений токоâ i è íà- пряжений è их комплексными àмплитуäàìè:

	U	m = RIm .	(3.44)

Äëÿ èíäóêòèâíîãо элементà L ñâÿçü ìåæäó Im è Um îïðåäåëÿ-

åòñÿ ñîãëàсно (1.9) с учетом (3.24):
Im = Um (jwL); Um = jwLIm = jXL Im ,	(3.45)

ãäå j = e jπ/2 множитель, хàðàктеризующий фàçîâûé ñäâèã ìåæ- äó âекторàìè òîêà Im è íàпряжения Um (ñì. ðèñ. 3.6). Óðàâнение

83

(3.45) îòðàæàåò çàêîí Îìà äëÿ èíäóêòèâных элементоâ. Ñðàâнение (3.45) с (1.9) покàçûâàåò, ÷òî îïåðàöèÿ äифференцироâàíèÿ d/dt ñîîòâåòñòâóåò â комплексной форме умножению нà jw.

Для емкостноãо элементà Ñ íà îñíîâàнии (1.12) можно зàïèñàòü:

I

= jwCU

èëè U

= -j

1

I

= -jX I

,

(3.46)

m

m

m

wÑ

m

Ñ

m

ò. å. îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò â комплексной форме äелению нà jw. Полученные урàâнения (3.44) (3.46) спрàâåäëèâû è äля комплексных äåéñòâующих знàчений токоâ è íàпряжений:

	äëÿ R : I = U R = GU,								ü
									ï
	äëÿ L : I =	U		jXL = -jBL		U	,			(3.47)
									ý
	äëÿC : I = U (-jX ) = jB U,ï
					C	C			þ

ãäå I = Im 2 ; U = Um 2 .

Àíàëîãично можно получить урàâнения зàêîíîâ Êèðõãîôà â комплексной форме. Тàê, äëÿ ÇÒÊ (1.16) çàìåíèâ ìãíîâенные знà- чения токоâ ik их комплексными àмплитуäàìè Imk, получим

m

å Imk = 0 ,			(3.48)
k=1
à äëÿ ÇÍÊ (1.17)
n
å	U	mk = 0.	(3.49)

k=1

Полученные урàâнения зàêîíîâ Îìà è Êèðõãîôà â комплексной форме лежàò â îñíîâå ñèìâолическоãî ìåòîäà ðàñ÷åòà линейных цепей при ãàрмонических âîçäåéñòâиях. Причем, кàê ïîêàçûâàåò àíàëèç óðàâнений (3.24), (3.26), (3.45) и (3.46), при перехоäе к комплексной зàïèñè îïåðàöèè äифференцироâàíèÿ çàменяются умножением нà jw, îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ äелением нà jw. В результàòå âместо системы интеãðàëüíî-äифференциàльных урàâ- нений получàем систему àëãåáðàических урàâнений, решение которой опреäеляет àмплитуäû è íà÷àльные фàзы искомых токоâ è íà- пряжений.

Применим симâолический метоä ê àíàëèçó ãàрмонических колебàíèé â цепи при послеäîâàтельном (см. § 3.4) и пàðàллельном (см. § 3.5) соеäинениях элементоâ R, L, Ñ. Для послеäîâàтельноãî

ñîåäинения R, L, Ñ ñîãëàсно ЗНК (3.49) имеем Um = UmR + + UmL + UmC или с учетом (3.44), (3.45), (3.46):

Um = [R + j ( wL - 1wC )] Im = ( R + jX ) Im = ZIm . (3.50)

Величинà Z â óðàâнении (3.50) есть комплексное сопротиâление öåïè:

Z = R + jX .

(3.51)

84

G

1 I

R

X

2

1 I

2

B

U12

U12

á)

a)

					Ðèñ. 3.13		G	Ia
	I	R	C
1				2	1	I		2
							C
		Ua		Up				Ip
		U						U
		a)					á)

Ðèñ. 3.14

Комплексное сопротиâление Z можно âûðàçèòü â ïîêàçàтельной или триãонометрической форме:

Z = Zejϕ = Z cos j + jZ sin j.

(3.52)

Òàêèì îáðàçîì, ðàссмотренное рàнее полное сопротиâление цепи (3.33) преäñòàâляет собой моäуль комплексноãо сопротиâления:

Z = Z = R2 + X2 ,

à ôàçîâûé ñäâèã j àðãумент (arg) комплексноãо сопротиâления: j = arg Z = arctg ( XR).

Àíàëîãичным обрàзом можно получить урàâнения токоâ è íà- пряжений â комплексной форме äëÿ ïàðàллельноãî ñîåäинения элементоâ R, L, Ñ (ñì. § 3.5). Òàê óðàâнение (3.39) â комплексной форме примет âèä

I

= éG - j ( B - B

)ùU

= (G - jB )U

= YU

.

(3.53)

m

ë

L C

û

m

m

m

Величинà Y â (3.53) åñòü комплекснàÿ ïðîâîäимость öåïè:

Y = G - jB èëè Y = Ye− jϕ = Y cos j - jY sin j.

(3.54)

Ñëåäîâàтельно, полнàÿ ïðîâîäимость цепи Y ðàâíà ìîäулю комплексной проâîäимости Y = | Y|, à ôàçîâûé ñäâèã j àðãументу комплексной проâîäимости j = arg Y = arctg(B/G).

Ïðè àíàëèçå ðàзличных электрических цепей чàñòî âозникàет необхоäимость преобрàçîâàния схемы послеäîâàтельно соеäиненных элементоâ â ýêâèâàлентное пàðàллельное соеäинение и нàо- борот (рис. 3.13). В осноâå ïîäобных преобрàçîâàний лежит принцип экâèâàлентности (см. § 1.5). Соãëàсно этому принципу ток I è íàпряжение U12 â èñõîäíîé (ðèñ. 3.13, à) и преобрàçîâàííîé (ðèñ. 3.13, á) ñõåìàõ äолжны остàться неизменными. Для перâîé

85

схемы I = U12/Z, äëÿ âторой I = U12Y. Èç ðàâåíñòâà òîêîâ I è íàпряжений U12 äля обеих схем имеем:

Z = R + jX =	1	=	1	=	G + jB	=		G	+ j	B	. (3.55)
			G − jB		G2 + B2		Y2			Y2
	Y

Èç ðàâåíñòâà (3.55) ñëåäуют формулы преобрàçîâàíèÿ ïàðàл- лельноãî ó÷àñòêà (ðèñ. 3.13, á) â ýêâèâàлентный послеäîâàтельный (рис. 3.13, à):

R = G Y2; X = B Y2 .

(3.56)

Àíàëîãè÷íî èç ðàâåíñòâà Y = 1/Z можно получить формулы преобрàçîâàния послеäîâàтельноãî ó÷àñòêà (ðèñ. 3.13, à) â ýêâè- âàлентный пàðàллельный (рис. 3.13, á):

G = R Z2; B = X Z2 .

(3.57)

Преобрàçîâàние (3.56) и (3.57) можно положить â îñíîâó ðàз- ложения токà â послеäîâàтельном учàñòêå è íàпряжения â ïà- ðàллельном нà àêòèâíóþ è ðåàêòèâíóþ ñîñòàâляющие.

Пример. Преобрàçîâàть послеäîâàтельный RÑ-ó÷àñòîê (ðèñ 3.14, à) â ýê- âèâàлентный пàðàллельный (рис. 3.14, á). Îïðåäелить àêòèâíûå è ðåàêòèâíûå ñîñòàâляющие токоâ è íàпряжений нà обоих учàñòêàõ.

 ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâнением (3.57) получàåì

	R		R2ω2C2		1 ωC		ωC
G =		=		, B =		=		.
	R2 + (1 ωC )2		1 + ( ωRC )2		R2 + (1 ωC )2		R2 + (1 ωC )2

Èç ðèñ. 3.14 íàõîäèì óðàâнения äëÿ àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ñîñòàâляющих нàпряжения и токà:

Ua = RI, Up = I( ωC ); Ia = GU, Ip = BU .

Ñèìâолический метоä особенно эффектиâåí ïðè àíàлизе сложных рàçâåòâленных цепей. Причем поскольку âñå ìåòîäû ðàñ÷åòà ïîäобных цепей (метоä контурных токоâ, óçëîâых потенциàëîâ, íàложения и äð.) áàзируются нà çàêîíàõ Îìà è Êèðõãîôà, òî ýòè ìåòîäû ìîãут использоâàться и при комплексной форме с зàменой соотâåòñòâующих âеличин (токоâ, íàпряжений, сопротиâлений, проâîäимостей) их комплексными знàчениями.

Пример. Проиллюстрируем это нà примере рàñ÷åòà цепи, изобрàженной нà ðèñ. 3.15 ðàзличными метоäàìè â комплексной форме. Зàменим элементы âåò- âåé â èñõîäной схеме их комплексными сопротиâлениями, à источники нà- пряжения и токи их комплексными знàчениями (рис. 3.16):

Z = R + jωL ; Z			2	= R − j (1 ωC	2	); Z	= R + j (ωL	3	− 1 ωC	3	) .
1	1	1		2		3	3

Ðàссчитàем теперь эту цепь рàзличными метоäàìè â ñèìâолической форме, используя комплексы äåéñòâующих знàчений токоâ è íàпряжений.

86

R	L	i	1	i	C2	R
1	1					2
		1		2
+			R3			+
uã1			L			uã2
				3
			i	C3
			3
			2

Ðèñ. 3.15

	Z1	I1	1	I2	Z2
+						+
U	Iê1			Z3	Iê2	U	ã2
	ã1
				I3
			2
		Ðèñ. 3.16

1.Метод наложения. Ñðàâнение схем, изобрàженных нà ðèñ. 3.16 è ðèñ. 2.5. à ïîêàçûâàåò èõ îäèíàêîâую тополоãèþ. Òàêèì îáðàзом, путем пере-

õîäà îò R ê Z, îò Uã ê Uã è îò I ê I можно срàзу получить соотâåòñòâующие урàâнения äëÿ òîêîâ I1, I2, I3 (ñì. § 2.3).

2.Метод контурных токов. Â ñîîòâåòñòâèè ñ § 2.4 ñîñòàâляем систему из äâóõ óðàâнений äля контуроâ I è II:

Z

I

+ Z I

= U ,

ü

(3.58)

11

ê1

12

ê2

ê1

ý

Z21Iê1 + Z22 Iê2

=

U

ê2,þ

ãäå

Z11 = Z + Z3; Z22 = Z2 + Z3; Z12 = Z21 = Z3;

U

ê1 =

U

ã1;

U

ê2 =

U

ã2 .

Ðåøàя систему (3.58) соãëàсно (2.14), (2.15), получàåì

I

= U

D11

+ U

D21

; I

= U

D12

+ U

D22 ,

ê1

ê1 D

Z

ê2

D

Z

ê2

ê1 D

Z

ê2

D

Z

ãäå D

Z

=

Z11

Z12

, D , D , D

, D

22

àëãåáðàические äополнения опреäåëè-

Z21

Z22

11

12

21

òåëÿ DZ .

= Iê1; I2

= Iê2; I3

= Iê1 + Iê2 .

Òîêè âåòâåé íàéäóòñÿ èç ðàâåíñòâ: I1

3. Метод узловых потенциалов. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìåòîäîì (§ 2.5) äëÿ

çàäàнной схемы, соãëàсно (2.27) необхоäèìî ñîñòàâить только оäíî óðàâнение äëÿ óçëà 1:

Y11V1 - Y12V2 = Ió1 ,

ãäå

Y11 = Y12 = Y1 + Y2 + Y3 = 1Z1 + 1Z2 + 1Z3; Ió1 =Uã1Y1 + Uã2Y2 .

Òîãäà U12 = V1 - V2 = (Uã1Y1 + Uã2Y2 ) (Y1 + Y2 + Y3 ). Òîêè I1, I2, I3 íàé-
äåì ïî çàêîíó Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè â комплексной форме:
I1 = (Uã1 - U12 ) Z1; I2 = (Uã2 - U12 ) Z2; I3 = U12 Z3 .
Ïðè ýòîì äолжен âыполняться ЗТК: -I1 - I2 + I3 = 0 .
4. Метод эквивалентного генератора. Îïðåäåëèì òîê I3	ìåòîäîì ýêâèâà-
лентноãî ãåíåðàòîðà íàпряжения. Рàзомкнуâ âåòâü ñ Z3	ïî àíàëîãèè ñ

ðèñ. 2.12, á, получим урàâнения	U	õõ =	U	ã2 - I2 Z2 è Zã = Z1Z2	(Z1 + Z2) .
Òîê I3 íàéäåì èç (2.34) çàïèñàííîãî â комплексной форме: I3					=	U	õõ (Z3 + Zã).
После опреäеления комплексных знàчений токоâ I è íàпряжений U можно зà-

87

ïèñàòü óðàâнения äëÿ ìãíîâенных знàчений i è u. Òàê, çàäàющих источникоâ синусоиäàльных колебàíèé uã1 è

âенное знàчение токà i3 = Im3 sin (ωt + ϕ3) , ãäå Im3

I3 = I3ejϕ3 .

åñëè óãëîâàÿ ÷àñòîòà

uã2 ðàâíà ω, òî ìãíî- = I3 2 ; ϕ3 = arg I3 ;

Àíàëîãичным обрàзом осущестâляется преобрàçîâàние электрических цепей, соäåðæàщих комплексные сопротиâления. Комплексные сопротиâления, соеäиненные зâåçäой преобрàзуются â òðåóãольник путем зàìåíû â формулàõ (2.6) (2.9) ïà- ðàметроâ R è G íà ñîîòâåòñòâующие комплексы Z è Y. Точно тàкже осущестâляется обрàтное преобрàçîâàíèå òðåóãольник зâåçäà.

Íàпример, с учетом урàâнений (1.9) и (1.12) можно получить формулы преобрàçîâàíèÿ «çâåçäà òðåóãольник» инäóêòèâных и емкостных элементоâ. Òàê, äля емкостных элементоâ при преоб-

ðàçîâàíèè «òðåóãольник зâåçäà» имеем:
C = C + C							31		+ C C		31		C	23		, ü
1			12						12								ï
C2 = C23 + C12 + C23C12													C31 ,ý					(3.59)
C	3	= C		31	+ C			23	+ C C			C ,ï
									31			23			12		þ
à ïðè îáðàтном преобрàçîâàíèè «çâåçäà òðåóãольник»
C = C C						2		(C + C		2		+ C			),		ü
	12			1					1				3				ï
C23 = C2C3								(C1 + C2 + C3),ý										(3.60)
C		31	= C C (C + C							2		+ C			).		ï
				3		1			1				3				þ

Преобрàçîâàíèå «òðåóãольник зâåçäà» è îáðàòíî äëÿ èíäóêòèâных элементоâ осущестâляется по формулàì, àíàëîãичным (2.6) (2.8).

Ïîäобным же обрàзом преобрàзуются мàтрично-тополоãические урàâнения цепей â комплексную форму. Нàпример, мàтричные урàâнения (1.18), (1.20), (2.17) â комплексной форме принимàþò

ñëåäующий âèä:
ÇÒÊ:	A0Iâ = 0,			(3.61)
ÇÍÊ:		B	Uâ = 0 .	(3.62)
Çàêîí Îìà: (ïðè íàличии âåòâей с источникàìè òîêà Jãâ):
Iâ + Iãâ = Yâ (Uãâ + Uâ ).				(3.63)
Óðàâнение рàâíîâåñèÿ óçëîâ потенциàëîâ (2.33) с учетом Jãâ:
Yó Vó = ( A0YâA0ò )Vó = A0 ( Jãâ - YâUãâ ) = Ió .				(3.64)
Óðàâнение рàâíîâесия контурных токоâ (2.23)
ZêIê = Uê ,				(3.65)

88

ãäå Yâ, Yy ìàтрицы комплексной проâîäимости âåòâей и комплексной узлоâîé ïðîâîäимости.

Zâ, Zê ìàòðèöà комплексноãо сопротиâления âåòâè è ìàòðèöà комплексноãо контурноãо сопротиâления.

Uãâ, Jãâ, Uâ ìàтрицы-столбцы комплексных зàäàþùèõ íàпряжений и токоâ âåòâè è íàпряжений âåòâåé.

3.7.Электрические цепи с индуктивными связями

Âïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ýòîé ãëàâû ðàññìàòðèâàëèñü öåïè áåç ó÷åòà ÿâления âçàимной инäукции. В то же âремя, при проте-

êàíèè òîêà i1 â êàтушке инäóêòèâности с пàðàметром L1 â îêðó- æàющем прострàíñòâå ñîãëàñíî çàкону электромàãнитной инäукции созäàåòñÿ ìàãнитный поток Ф11 (ðèñ. 3.17, à). Åñëè êàêàÿ-ëèáî

÷àñòü ýòîãо потокà Ô12 пронизыâàåò âèòêè äðóãîé êàтушки с L2, òî â послеäíåé íàâîäèòñÿ ÝÄÑ âçàимной инäукции, опреäеляемàÿ çà-

коном Мàêñâåëëà Ôàðàäåÿ:

e	M2	= −M	di1	,	(3.66)
		12
			dt

ãäе коэффициент M12 носит нàçâàíèå âçàимной инäóêòèâности êàтушек L1 è L2. Åäèíèöà измерения âçàимной инäóêòèâности Ì ãåíðè (Ãí).

Çíàê « » â óðàâнении (3.66) опреäеляется соãëàñíî ïðàâèëó Ëåíöà íàïðàâлением инäукционноãî òîêà, который имеет тàкую ориентàцию, чтобы созäàâàåìûé èì ìàãнитный поток препятстâî- âàл тому изменению мàãнитноãо потокà Ô12, которое этот ток âû- çûâàåò. Íàпряжение âçàимоинäукции нà çàæèìàõ êàтушки ин- äóêòèâности L2:

u

M2

= −e

M2

= M

di1 .

(3.67)

12

dt

i1

i1

i2

L1

L2

L1

L2

u

Ô11

uÌ2

u

Ô11

Ô21

Ô22

R

Ô1s

Ô12

Ô1s

Ô12 Ô2s

a)

á)

Ðèñ. 3.17

89

Åñëè íàпряжение è приложено к кàтушке инäóêòèâности L2, òî

ïîä äåéñòâèåì òîêà i2 â êàтушке L1 òàêæå áóäåò íàâåäåíà ÝÄÑ âçà- имной инäукции:

eM	= −M21 di2 .	(3.68)
1	dt

 ñîîòâåòñòâии с принципом âçàимности (см. § 1.7) äля линей-

ных цепей M12 = M21.

Ðàссмотреннàÿ íèæå èíäóêòèâíàÿ ñâязь носит оäносторонний хàðàêòåð: òîê i1 âûçûâàåò ÝÄÑ âçàимоинäукции åM2, èëè òîê i2 ÝÄÑ åM1.  ñëó÷àå çàìûêàíèÿ êàтушки L2 íà конечное сопротиâ- ление R (ðèñ. 3.17, á) â послеäíåé ïîä âîçäåéñòâèåì uM2, потечет инäукционный ток i2, который â ñâою очереäü, âûçîâåò â ïåðâîé êàтушке L1 ÝÄÑ âçàимоинäукции åM1 (3.68). Òàêèì îáðàçîì, óñòà- íîâèòñÿ äâухсторонняя инäóêòèâíàÿ ñâÿçü êàтушек L1 è L2. Ïðè ýòîì êàæäàÿ èç êàтушек L1 è L2 áóäет пронизыâàòüñÿ äâóìÿ ìàã- нитными потокàìè: ñàìîèíäукции, âûçâàнным собстâенным током,

è âçàимоинäукции, âûçâàííûì

током äðóãîé

êàтушки. Сле-

äîâàтельно, â êàтушке L1 èíäуцируется ЭДС

e

= e

L

+ e

M

= −L di1

− M

21

di2 ,

(3.69)

1

1

dt

dt

1

1

à â êàтушке L2 ÝÄÑ

di2

di1 .

e

2

= e

L

+ e

M

= −L

− M

(3.70)

2

12

dt

2

2

dt

Âçàимное нàïðàâление потокоâ ñàìî- è âçàимоинäукции зàâèñèò êàê îò íàïðàâления токоâ â êàòóøêàõ, òàê è îò èõ âçàèìíîãî ðàс- положения.

Åñëè êàтушки âêëþ÷àþòñÿ òàêèì îáðàзом, что потоки сàìî- è âçàимоинäукции склàäûâàþòñÿ, òî òàêîå âключение нàçûâàåòñÿ ñî- ãëàñíûì. Если же потоки сàìî- è âçàимоинäукции âû÷èòàþòñÿ, òî òàêîå âключение принято нàçûâàòü âстречным. Íà ðèñ. 3.17, á ïîêàçàí ñëó÷àé ñîãëàñíîãî âключения.

Степень сâÿçè ìåæäó L1 è L2 оцениâàåòñÿ коэффициентом сâÿçè

k =	k12k21	.	(3.71)
ãäе коэффициенты
k12 = Ô12 Ô11	è k21 = Ô21 Ô22		(3.72)

õàðàктеризуют оäностороннюю сâÿçü ìåæäó êàòóøêàìè L1 è L2.

Ìàãнитные потоки Ф12, Ô21, Ô11 è Ô22 можно âûðàзить через пà- ðàметры кàтушек L1, L2, Ì12, Ì21 è òîêè i1, i2 с помощью формул

Ô11 = L1i1 w1; Ô12 = M12i1 w2;	(3.73)
Ô21 = M21i2 w1; Ô22 = L22i2 w2 ,

ãäå ω1, ω2 число âèòêîâ êàтушек L1 è L2 ñîîòâåòñòâåííî.

90