Математический анализ_1_сем_ЭЗ

Уральский социально-экономический институт (филиал) Образовательного учреждения профсоюзов высшего профессионального образования

Академия труда и социальных отношений

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Контрольные задания для студентов заочной формы обучения направления «Экономика»

Челябинск 2011

	Оглавление
Общие указания.................................................................................................................................		3
Тема 1. Пределы ................................................................................................................................		5
Тема 2. Производная .........................................................................................................................		8
Тема 3. Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.............................		10
Тема 4. Неопределенный интеграл: непосредственное интегрирование. .....................................		12
Тема 5.	Неопределенный интеграл: метод замены переменной. ...................................................	13
Тема 6.	Неопределенный интеграл: метод интегрирования по частям. ........................................	15
Тема 7.	Неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции. .......................................	16
Тема 9.	Определенный интеграл.....................................................................................................	17
Список литературы..........................................................................................................................		18
Приложение .....................................................................................................................................		19

Общие указания

Дисциплина «Математический анализ» изучается в первом семестре и содержит

следующие разделы математики:

1.Пределы.

2.Производная.

3.Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.

4.Экстремумы функции нескольких переменных.

5.Неопределенный интеграл: непосредственное интегрирование.

6.Неопределенный интеграл: метод замены переменной.

7.Неопределенный интеграл: метод интегрирования по частям.

8.Неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции.

9.Неопределенный интеграл от иррациональных и тригонометрических функций.

10.Определенный интеграл.

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных

ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил не зачитываются и

возвращаются студенту для переработки:

1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного.

2.В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента,

его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения (см. приложение). В

конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также

задачи не своего варианта, не зачитываются.

4.Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5.Перед решением задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеет общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

6.Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата (в виде десятичного числа).

7.В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

8.После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с не зачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента.

9.На экзамен студент должен явиться с контрольными работами, допущенными к собеседованию.

10.Номера задач индивидуального задания контрольной работы определяются по таблице с помощью первой буквы фамилии студента:

Первая буква фамилии

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

студента

Номер задачи в каждой

1

2

3

4

5

6

7

теме

Первая буква фамилии

З

И

К

Л

М

Н

О

студента

Номер задачи в каждой

8

9

10

11

12

13

14

теме

Первая буква фамилии

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

студента

Номер задачи в каждой

15

16

17

18

19

20

21

теме

Первая буква фамилии

Ц

Ч

Ш

Щ

Э

Ю

Я

студента

Номер задачи в каждой

22

23

24

25

26

27

28

теме

РАБОТЫ, ВЫПОЛНЕННЫЕ БЕЗ СОБЛЮДЕНИЯ ЭТИХ ПРАВИЛ, К ЗАЧЕТУ НЕ

ПРИНИМАЮТСЯ И ВОЗВРАЩАЮТСЯ БЕЗ РЕЦЕНЗИРОВАНИЯ ДЛЯ

ПЕРЕРАБОТКИ.

Тема 1. Пределы

Задача 1. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.

2x 2

3

6

125

25x

3

x

cos 3x tg5x

lim

lim

6 x

lim

lim

2

x 1

x

1

x 1

x 1

x

5x 3 5x2 2x 1

x 0

sin(3,5x)

2.

x 5 8 x3

lim

2cos8x arcsin 4x

1

3

x2 2x 1

lim

lim

lim

x 3x

2

x

8

x

2

x 2

5

x 1

x

x 0

x 2 x

x 1

3

3.

lim ctg2 x arctg6 x

3(x2 1)

8 x6

x 1

x 0

lim

lim

4ln

x 1

x2 x 2

x

2

x 20 x3

lim

x

2

x

sin

x

4.

2x

x2

3x 2

sin2 6x ctg9x

lim

4x8 5x5

6

lim

lim

lim

x2

3 2x2

2

9 x

9 x

x 2

tg7x cos 5x

x

x

0

x 2

x 0

5.

lim

4tg x 2

lim

2x 3 4x

3

5

lim 2ln 1 3x

lim

282 x 3

x 2

4 - 2x

x

20x2 x3 x

x 0

tg3x

x 3

x x 12

6.

10x2 5x3 1

4x2 4x 8

4 x3

1

6x 1

x3 1

lim

lim

lim

2x2 1 3x4 2

x2 2x

x 1

x

x

2

lim

4

x 1

x2 5 2x2 x

x

7.

28x

6

3x

4

x

2

1

tgx sin 9x

8x 16

x

2

16

lim

lim

lim

lim

2

2

1 2x2

5 x 2x4

2x

x

4

x

x

0

x 2

x 4

x 2

tg

3

8.

25 5x3

lim

5tgx sin2x

5

1

16 8x x2

lim

2

lim

lim

x

2

3 2x

2

8

arcsin

5x

1 x

x

x 0

x 1 1 x

x 4

x 2

3

9.

lim

cos 2x

arctg6x

lim

5 x2 4

lim

2x 3x3

8x4

x5

lim

arcsin x 1

x 2 5x2 3

x 0

x

x

2

x2 x 6

x

x 1 tg x

2

2

10.

6

x2 1 x3

2

8

lim

x2 6x 5

6tg

x

lim

lim

4 x

4 x

x

9x

5x 1

x

0

x

x 5

x 5

lim

3

10

x

x

2

2

11.

2

2

5

4x 8

tg7x sin 2x

lim

5 x

3

cos x

lim

8x

4x

1

lim

lim

2

2

2x 1 4x 1

x

4

x

x

3

tg x 3

x

x 2

x 0

12.

12x3 1 x2 3

4 8 x3

x

lim

x4 2x3

1

lim

lim

8sin

2

3x 1 2x2

1 x2

x

x2

3 x2

1

x

x 2

x

2 x 2

lim

2

1 cos x

x 0

13.

150x 100x

2

3

3

6

60x 180

lim

lim

54 x 162

tg

lim

2

5x

2

3 4x

2

2x

lim

x

x

9

x

x 27

27 x

x 3

x ln

x 2

x

14.

2x 3 x

4

15sin x arcsin 3x

1

2

6 27 x

3

lim

lim

lim

lim

2

x

2

1 1 x

5

ln

1 2x

x

1 x

x

2

9

x

x 0

x 1 1

x

3

3

15.

lim ctg(x 1) arctg 2x 2

7 x

2

9

5x 3x

3

2

e

x 2

1

x 1

lim

lim

lim

x2 x 12

3 10x2

x 3

x

x

4

1 2x 3

16.

3x

x2 5x 4

arcsin x 2

lim

4 16x8 3x5

1

lim

lim

lim

2

2x 1 x 2

1 x 1 x

x 4

x

2x

x

x 0

x 4

x 2

17.

lim 4ctg2x sin 5x

x

3

2 x 5 x

2

3

25x 50

x cos x

x 0

lim

lim

lim

x

2

x 6

x

x

5x x 1 8x 1

x 2

x

0

sin

5

18.

10 x3

2x x 1

2

x

8arctg

x

lim

18 2x

lim

16tg

x

2x

2

1 x

2

4

lim

2

lim

2

x 9

x 3

x 0

e

4 x

1

x

x 0

1 cos

2

19.

2

120x

4

8

2 cos x sin 5x

3

8 x 4

lim

3x

lim

lim

15 15

x

lim

2

4x2 2x 3x2 x 8

x

x

16

x

x 0

x 1

1 x

x

4

tg 3

20.

x2 3x x5

lim

x arcsin 3x

x 1

1

lim

100 4x

lim

lim

ln 1

2

x

2

5 x 1 x

3

2

2x

1

1 x

x 5

x

x 0

x 1 x

x 25

3

21.

lim

x

arctg 3x 3

lim

9 x2 16

2x 1 2 x2

1 2

lim arcsin

x

ctg5x

x 1 x 1

x

2

x 20

lim

5x 3 2

x 0

5

x 4

x

22.

4x 1 2x 1

x2 4x 3

lim

2 x

2 x

lim

lim

x

6

12

7

1

8tg x

x 3

5x

x 0

x

2

x 3

64x

lim

acrsin 4x 2

x

2

23.

tg3x

10

15x4 8x 2

3 x

lim

15 x 1

lim

lim

12ln

x

2

x 2

150x2 3x 1

x

x 0 cosx

sin 2x

x

lim

x 1

x

arcsin

6

x

24.

lim

x arcsin 2x

lim

2 x3 125

lim

5 x2 1 3x 1

lim

2e3x 2

x

10x 50

5x 1 x2

1

x 0

1 cos

x 5

x

x

0 arcsin 2x

3

25.

2x 15x

5

2

1

3

x cos x

8x 64

4x

240 120 x

lim

lim

lim

lim

2

3x2 1 5x3 x 2

x

x

8x

x

x 8

x 8

x 0

x

8

tg 3

26.

esin11x2

1

cos 3x 1

sin 1 x

lim

9x6 5x5 x

lim

lim

lim

2

x 1

x 5 x 1 x2 3x

x 0

1 cos 2x

x 0

x

x 1

27.

lim

x 4x 3

lim 2x

3 4x

5

lim

5 x

3 x

lim e

1

2

2

3

arcsin 6 x

x 3 x3 3x 2 x 3

x

x5 3x 1

x 1

x x2

x 0

4 x 2

28.

arcsin

2

8 x

25 5x

3

2

3x 10

1 tg3x 1

e

1

x

lim

lim

lim

lim

2x2 x 10

x 0

16 x 4

x 0 ln2 1 sin 3x

x x2 3 2x2 8

x 2

Тема 2. Производная

Задача 2. Найти производную y´(x).

1.

y x arctg ln

15.

y x ln x2

tg x 4x2

x2

3

y x

e x2

y x

5x sin x

1 3x

2x

y x arctg ln 5x

1

5x

5

2

y x

ctg2 x

2.

cos 4

x

2

3

16.

x

2

ln x

y x

y x

x x2

ex arctg 3x

y x tg 4x

2x 1

y x

tg2x

4x3 2

x2 1

y x arcsin 3x2

8

y x cos2

2x 4

4x 1

3.

y x arctg ln 3

17.

y x ln x ex arcsin x

x2

1

y x tg2

x sin 4x

y x ln x 3

4

x2 1

y x ln2 4x3 1

2 x

y x

27x7

sin3 x 1

4.

x2

2

18.

y x x2 3 log5 x 7x2

y x tg arccos

x 4

e

4

5x

3

y x

y x arctg2

x cos e2x 1

sin 4x

y x 8

tg 2x

y x

cos x

4 5x2

5 x2

5.

19.

y x arcctg

y x x arcsin 5

2x 1

x2 x

3

y x

5x sin2 9x

ln

1

y x

x x

x

x

2

x

4

y x tg3 6x ex

y x ln arcsin x

3

6.

2

x 1

20.

y x sin x ln 9

x x2

y x

arctg

ln

5

sin 2 x

4x sin 2x

y x

5e3x

y x

x

4x

2

cos x2

8

y x ctg x 4

2x5

1

y x sin3

x tg3x

7.

y x ln arctg x2

3

21.

y x ln 3

5

y x

cos2

4x 5x

x5 5x4

x

2x2 7

y x tg6 9x arcsin

y x

x

sin 4x

y x

cos3 4x

x

x 2

8.

y x arctg

1 x

22.

y x

cos ex 2

1 x

arcsin 9x 1

y x

4e2 x

y x

log3 x 4

ln x2

2

tg3 6x

y x 2x3 sin2 x 8

y x x6

cos x

x

9.

y x sin2 tg x2

e5x3

23.

y x cos x x2 ln x3

y x

ln 4x3 2 e5x

y x cos3 3x 4

1 3x2

y x

ctg 2x

y x

e

4 x 2

x2 1

x

2

4

10.

y x

x

24.

y x

1 x2 cos x

5 x

2

arcsin

5

1 arctg x

y x arctg 2x 24 x3

y x tg x 6 x

1 x

y x

3

y x

e

2 x

sin 2x 1

x

2

1

11.

y x 6

25.

y x cos2 x 7 10x2

x2 2 sin(ln x)

y x 4

5

2 x3

2x2

1 sin3 5x

y x

y x

4x

2

1

tg x

y x ctg 2x 3 e 4x

tg7x

12.

26.

y x x tg x ln tg x2

2

x

2

7

y x tg x

y x

2x

2

1

y x ctg2

x 7

4x3 1

4 2 x

y x

cos 4x

y x tg4x e2 x

x2

5

13.

y x cos3 tg x4 2x

27.

y x arctg ex cos x

y x

arcsin 5x

e4 x

e8x 1

y x 5

4

2 3x

y x 4x

5

y x 4x

3

arcsin 5x

ln tg

x2

14.

y x sin x log2 ex 7

28.

y x

tg x

y x 4

2 arcctg

x

x

x3 8 tg 2x

y x

4 sin

2

x

y x

6

4 x2

ln 5x 3

x

2

1

y x arcsin x3 4xx2

Тема 3. Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.

Задача 3. Выполнить полное исследование функции по следующей схеме:

1)найти область определения функции;

2)определить, является ли функция четной или нечетной;

3)определить, является ли функция периодической;

4)найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции;

5)найти точки разрыва функции, односторонние пределы функции в этих точках;

6)найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции;

7)найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции;

8)найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба графика функции.

1.

y

x2

15.

y

x 4 2

4 x 2

2 x 2

2.

y x

2

x 7

16.

y x

2

9

x 1

x 2

3.

y

x

2

x 2

17.

y x

2

7x 10

x 1

x 1

4.

y

x2

18.

y

x2

3 x 3

4 x 4

5.

y

x

2

2x 2

19.

y

x 1

2

x 1

x 3

6.

y

x2 8x

20.

y

x2 2x 10

2 x 1

2 x 3

7.

y

2x x2 6

21.

x 2 2

y 4 x 1

2 x 1

8.

y

3 x 2

22.

y x

2

3x 6

2

4 x 3

x 1

9.

y x

2

4

23.

y x

2

4x

x 1

x 1

10.

y x

2

3x 11

24.

y x

2

2x 5

x 2

2 x 1

11.

y

x 3 2

25.

y

8x x2

2 x 1

2 x 1

12.

y

x2 3x 11

26.

y

x 2 2

x 2

2 x 1