- •N-мерное векторное пространство.
- •3.1. N - мерный вектор и векторное пространство
- •Опр. N - мерным арифметическим вектором наз. упорядоченный набор из n действительных чисел,
- •Опр. Два n - мерных вектора равны x y тогда и только тогда,
- •Опр. Произведением вектора x на действительное число называется вектор
- •Линейные операции над любыми векторами
- •• ( )x x x - дистрибутивное
- •Опр. Множество векторов с n действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов
- •Опр. Скалярным произведением двух n – мерных векторов
- •Опр. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
- •Для того чтобы убедиться, что некоторые n векторов e1, e2 ,..., en
- •Для этого надо перейти к системе линейных однородных уравнений и решить ее. Если
- •Замечание. Что собой представляет с математической точки зрения, например, накладная? Из накладной можно,
- •Пример 1. В поваренной книге такой рецепт: Мхали по-грузински.
- •Пример 2. Металлург решает такую задачу. Имеются три сплава. В одном килограмме первого
- •Решение.
- •Пусть теперь x, y, z - количества 1-го, 2-го и 3-го сплавов соответственно,
- •Пример 3. Пусть в магазине имеется набор из 5 товаров, количество и стоимость
- •Решение.
- •Пример 4.
- •Решение.
- •Замечание.
- •Легко убедиться, что если x и y - многочлены степени не выше n,
- •А множество многочленов степени не выше n, но с положительными коэффициентами также не
- •Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1-8, вытекает существование единственного
- •3.2. Линейные операторы
- •Линейные операторы описывают самые различные объекты практически во всех областях науки и являются
- •3.2.1.Собственные вектора, собственные числа линейного оператора
- •3.2.3.Линейная модель обмена
- •Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку товаров
- •Рассмотрим матрицу
- •Учитывая (*), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству
- •Вводя вектор
- •Пример.
- •Решение.
- •Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов
- •3.3. Квадратичные формы.
- •Опр. Квадратичной формой в n- мерном пространстве называется скалярное произведение следующего вида:
- •Опр. Канонической квадратичной формой
- •3.3.1. Квадратичная форма в двухмерном пространстве
- •3.3.2. Классификация кривых второго порядка
- •Пример 1.
- •Пример 2.
N-мерное векторное пространство.
Линейные операторы
1
3.1. N - мерный вектор и векторное пространство
Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается общее определение векторного пространства.
.
2
Опр. N - мерным арифметическим вектором наз. упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде
x x1, x2 ,..., xn
где хi - i - я компонента (координата) вектора x.
Понятие n - мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором x x1, x2 ,..., xn , а соответствующие цены - вектором
y y1, y2 ,..., yn
3
Опр. Два n - мерных вектора равны x y тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. если xi=yi,
i=1,2,…,n.
Опр. Суммой двух векторов
x x1, x2 ,..., xn и y y1, y2 ,..., yn
одинаковой размерности n называется вектор z x y, компоненты которого равны сумме
соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. zi=xi+ yi, i=1,2,…,n.
4
Опр. Произведением вектора x на действительное число называется вектор
u x, компоненты ui которого равны
произведению на соответствующие компоненты вектора x , т.е. ui= xi, i=1,2,
…,n.
5
Линейные операции над любыми векторами
удовлетворяют следующим свойствам:
• x y y x - коммутативное (переместительное) свойство суммы;
• (x y) z x (y z) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;
• ( x) ( )x - ассоциативное относительно числового множителя свойство;
• (x y) x y - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;
6
• ( )x x x - дистрибутивное
относительно суммы числовых множителей |
|||||
свойство; |
|
|
|
|
|
• Существует нулевой вектор |
0 (0,0,...такой,0) |
||||
|
|
|
|
|
|
что |
x 0 |
x |
|
|
|
|
для любого вектора (особая |
||||
роль нулевого вектора); |
|
|
|||
• Для любого вектора x |
существует |
||||
противоположный вектор |
x такой ,что |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
( x) 0. |
|
|
• 1 x x для любого вектора (особая роль числового множителя 1).
7
Опр. Множество векторов с n действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам (рассматриваемые как аксиомы), называется n мерным векторным пространством R.
8
Опр. Скалярным произведением двух n – мерных векторов
x x1, x2 ,..., xn и |
y y1, y2 ,..., yn |
и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат:
xy x1y1+x2y2+ … +xnyn,
стеми же свойствами, что и для
геометрических векторов.
9
Опр. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Опр. Нормой наз. корень квадратный из его скалярного квадрата:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||
x |
|
x1 |
x2 |
... xn |
Опр. Совокупность n линейно независимых
векторов n-мерного пространства R называется |
|
базисом. Если эти вектора попарно |
|
ортогональны и норма каждого из них равна |
|
единице, то говорят, что они образуют |
|
ортонормированный базис. |
10 |
|