N-мерное векторное пространство.

Линейные операторы

1

3.1. N - мерный вектор и векторное пространство

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается общее определение векторного пространства.

.

2

Опр. N - мерным арифметическим вектором наз. упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

x x1, x2 ,..., xn

где хi - i - я компонента (координата) вектора x.

Понятие n - мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором x x1, x2 ,..., xn , а соответствующие цены - вектором

y y1, y2 ,..., yn

3

Опр. Два n - мерных вектора равны x y тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. если xi=yi,

i=1,2,…,n.

Опр. Суммой двух векторов

x x1, x2 ,..., xn и y y1, y2 ,..., yn

одинаковой размерности n называется вектор z x y, компоненты которого равны сумме

соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. zi=xi+ yi, i=1,2,…,n.

4

Опр. Произведением вектора x на действительное число называется вектор

u x, компоненты ui которого равны

произведению на соответствующие компоненты вектора x , т.е. ui= xi, i=1,2,

…,n.

5

Линейные операции над любыми векторами

удовлетворяют следующим свойствам:

• x y y x - коммутативное (переместительное) свойство суммы;

• (x y) z x (y z) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

• ( x) ( )x - ассоциативное относительно числового множителя свойство;

• (x y) x y - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

6

• ( )x x x - дистрибутивное

относительно суммы числовых множителей
свойство;
• Существует нулевой вектор					0 (0,0,...такой,0)
что	x 0		x
		для любого вектора (особая
роль нулевого вектора);
• Для любого вектора x				существует
противоположный вектор				x такой ,что
		x	( x) 0.

• 1 x x для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

7

Опр. Множество векторов с n действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам (рассматриваемые как аксиомы), называется n мерным векторным пространством R.

8

Опр. Скалярным произведением двух n – мерных векторов

x x1, x2 ,..., xn и

y y1, y2 ,..., yn

и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат:

xy x1y1+x2y2+ … +xnyn,

стеми же свойствами, что и для

геометрических векторов.

9

Опр. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Опр. Нормой наз. корень квадратный из его скалярного квадрата:

			2	2	2
x			x1	x2	... xn

Опр. Совокупность n линейно независимых

векторов n-мерного пространства R называется
базисом. Если эти вектора попарно
ортогональны и норма каждого из них равна
единице, то говорят, что они образуют
ортонормированный базис.	10