Основы линейной алгебры

Матрицы

Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в

m-строках (или в n-столбцах) одинаковой длины.

Матрицы обозначаются заглавными буквами и записываются в виде:

a11

a

Am n 21

am1

a12		a1n
			или Аm n aij
a22		a2n		m n	.
am2
		amn

Опр. Числа aij из которых составлена матрица, называются ее элементами и обозначаются

прописными буквами. Причем индексы элемента:

i=1, 2,…,m – номер строки, j=1, 2,…,n – номер столбца.

Опр. Количество строк на количество столбцов матрицы (m×n) называют размером

матрицы.

Виды матриц

Опр. Матрица называется прямоугольной, если количество строк матрицы не совпадает с количеством столбцов, т.е. m ≠ n.

Опр. Матрица называется квадратной, если количество строк матрицы совпадает с количеством столбцов, т.е. m = n.

В квадратной матрице порядка n

a11			a12			a1n
a			a			a
An		21		22			2n
			an2
an1					ann

элементы а11, а22, а33 ,…,аnn называют

диагональными и составляют главную

диагональ, а элементы а1n , а2(n-1) , а3(n-2) ,…,аn1 –

составляют побочную диагональ.

Опр. Матрица называется матрица – строка, если она состоит из одной строки, т.е. это

матрица размера 1×n :

A1 n a11 a12 ... a1n 1 n .

Опр. Матрица называется матрица – столбец, если она состоит из одного столбца, т.е. это

матрица размера m×1:

	a11
Am 1	a
			21	.
	am1			m 1

~

Опр. Нулевая матрица -Oэто матрица, все элементы которой равны нулю.

Опр. Трапециевидной матрицей называется прямоугольная матрица вида:

Опр. Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой отличны от нуля только

элементы, стоящие на главной диагонали, т.е.

aij 0, i j и aij 0, i j :

a11		0		0
	0	a22		0
						.
An				0
	0	0		ann

Опр. Единичная матрица Е – это диагональная матрица, в которой все элементы главной диагонали равны единице, т.е. aii 1, i :

10

E0

0

0 0

1 0

0 1

0 0

0

0

0 .

1

Опр. Треугольная матрица – это квадратная матрица, все элементы которой расположенные ниже (выше) главной диагонали равны нулю: