Дифференциал

Понятие дифференциала

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке хо, тогда её приращение в этой точке

можно записать в виде суммы:
y =A x + ( x) x, где lim x 0		(	x )	0 .

Слагаемое ( х) х при х 0 -бесконечно малая более высокого порядка, чем х.

Опр. Дифференциалом функции y= f(x)

в точке хо называется главная, линейная относительно х, часть

приращения функции в этой точке: dy=A x

Учитывая, что А=f '(xo), формулу можно

записать в виде

dy = f '(xo ) x.

Дифференциалом независимой переменной х назовём приращение этой

переменной dx = x. Соотношение принимает теперь вид

dy f (xo )dx

Геометрический смысл дифференциала

y

y

M

dy

y		f	( x	)		x

0
	х		х				х	х
		о		о

Замечание. Из

dy f (xo )dx

f (xo ) dydx .

Производные высших порядков

Производная f '(x) функции y=f(x) сама

является некоторой функцией аргумента х. Назовём f '(x) производной первого порядка функции f(x).

Производная от производной некоторой функции называется производной 2-го порядка (или второй производной) этой

функции. Производная от второй производной называется производной 3-го порядка (или третьей производной) и т.д.

Производные, начиная со второй, наз.

производными высших порядков и

обозначаются у'', у''', у(4), …, у(n), … или f ''(x), f '''(x), f (4)(x), …, f (n)(x), … Производная n-го порядка является производной от производной (n-1)-го порядка: y(n) = (y(n-1) )'.

Если функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то 1-ая производная f '(x) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а 2-ая производная равна ускорению точки в момент х.

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка.

Тогда её дифференциал: dy = f' (x)dx .

Назовём его дифференциалом 1-го порядка, является функцией аргумента х

(dx полагают константой).

d(dy) = d[f '(x)dx] = [f '(x)dx]' dx = f ''(x) dxdx.

Дифференциал d(dy) от dy в точке х называется дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке х и

обозначается d2y

d2y = f ''(x)(dx)2. Дифференциал n-го порядка:

d n y y(n) (dx)n y(n)dxn .