ЭД-103 / Subj / 1084-Линейная алгебра

Уральский социально-экономический институт Образовательного учреждения профсоюзов Высшего профессионального образования «Академия труда и социальных отношений» Кафедра прикладной информатики и математики

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения направления «Экономика»

Челябинск

2011

Алябьева Ю.В. Линейная алгебра: методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе /Алябьева Ю.В.; Кравченко Е.А.; Морозова Е.В. УрСЭИ АТиСО. – Челябинск, 2011. – 26 с.

Контрольная работа составлена в соответствии с требованиями Федерального Государственного Образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению бакалавриата «Экономика».

Пособие содержит методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе и правила ее оформления по дисциплине «Линейная алгебра».

Составители: Алябьева Ю.В., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ

Кравченко Е.А., канд. пед. наук., доцент кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ

Морозова Е.В., канд. пед. наук., доцент кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ

Утверждено ученым советом УрСЭИ (протокол № от 2011 г.)

©Уральский социально-экономический институт Академии труда и социальных отношений, 2011

©Алябьева Ю.В., Кравченко Е.А., Морозова Е.В.,2011

	Оглавление
Общие указания............................................................................................................		4
Тема 1.	Действия с матрицами ....................................................................................	6
Тема 2.	Системы линейных алгебраических уравнений ............................................	7
Тема 3.	Скалярное произведение векторов.................................................................	9
Тема 4.	Уравнения прямой на плоскости..................................................................	12
Список литературы ....................................................................................................		17
Приложение 1 .............................................................................................................		18
Приложение 2 .............................................................................................................		25

Общие указания

Дисциплина «Линейная алгебра» изучается в первом семестре и содержит следующие

разделы математики:

1.Элементы линейной алгебры.

2.Элементы векторной алгебры.

3.Элементы аналитической геометрии.

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных

ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил не зачитываются и

возвращаются студенту для переработки:

1.Каждая контрольная работа №1 должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного.

2.В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, вариант, название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения (см. приложение). В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4.Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5.Перед решением задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеет общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

6.Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата (в виде десятичного числа).

7.В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

8.После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с не зачтенной ранее работой и рецензией к ней.

9.На экзамен/зачет студент должен явиться с контрольными работами, допущенными к собеседованию.

10.Номера задач индивидуального задания (см. приложение) контрольной работы определяются по таблице с помощью первой буквы фамилии студента:

Первая буква фамилии

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

студента

Номер задачи в каждой

1

2

3

4

5

6

7

теме

Первая буква фамилии

З

И

К

Л

М

Н

О

студента

Номер задачи в каждой

8

9

10

11

12

13

14

теме

Первая буква фамилии

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

студента

Номер задачи в каждой

15

16

17

18

19

20

21

теме

Первая буква фамилии

Ц

Ч

Ш

Щ

Э

Ю

Я

студента

Номер задачи в каждой

22

23

24

25

26

27

28

теме

РАБОТЫ, ВЫПОЛНЕННЫЕ БЕЗ СОБЛЮДЕНИЯ ЭТИХ ПРАВИЛ, К ЗАЧЕТУ НЕ

ПРИНИМАЮТСЯ И ВОЗВРАЩАЮТСЯ БЕЗ РЕЦЕНЗИРОВАНИЯ ДЛЯ

ПЕРЕРАБОТКИ.

Тема 1. Действия с матрицами

Определение. Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы обозначаются заглавными буквами и записываются в виде:

a11		a12	a1n
a21		a22	a2n
A
		am2
am1			amn
Сокращенно матрица А записывается в виде: A аij						, где i 1 i m указывает номер строки, а

j 1 j n номер столбца.

Опр. 2. Числа aij, образующие матрицу А, называются ее элементами и обозначаются прописными буквами

Опр. 3. Количество строк на количество столбцов матрицы (m×n) называют размером

(размерностью) матрицы.

1		0	4		A
A
		2	6		2 3
1
	4
B	2		B3 1
	5
Задача 1. Найти значение выражения 2BA – CB.
					3	1	2		2	4 1		3 1
			А		1 3		1
									B		С
					9	5	0		1	0 1		1 3

Решение.

Произведение матриц BА существует, т.к. матрица B имеет размерность 2х3, а матрица

А– 3х3, и число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы А.

Произведение матриц AB не существует.

2		4	1		3		1	2		2 3 ( 4) 1 1 9		2 1 ( 4) 3 1 ( 5)	2 ( 2) ( 4) 1 1 0
						1	3	1
BА
	1										1 3 0 1 1 9	1 1 0 3 1 ( 5)	1 ( 2) 0 1 1 0
		0 1				9	5	0

6 4 9				2 12 5	4 4 0		11	15	8
										.
	3	0	9	1 0 5	2 0 0			4	2
							12

11	15	8		22		30	16
2BA 2								.
	4	2			24	8	4
12

Произведение матриц СB существует, т.к. матрица С имеет размерность 2х2, а матрица B

– 2х3, и число столбцов матрицы С совпадает с числом строк матрицы B.

3		1	2		4	1
С			B
	1			1	0
		3				1

3	1	2	4	1		3 2 1 1				3 ( 4) 1 0			311 1			7	12		4
СB																				.
			0					3	1	1 ( 4) 3 0			1 1			5		4	4
1	3 1			1		1 2								31
	7		12	4
( 1) СB				.
			4
	5			4
			22	30			16			7 12	4		15	18		20
2BA (–1) CB																		.
				8						5 4	4			4		8
			24					4					19

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Задача 2. Исследовать систему уравнений и решить ее методом Гаусса, если она совместна:

найти ее общее решение;

базисное решение;

частное решение;

сделать проверку.

x1 2x2 3x3 x4 4,2x1 x2 2x3 x4 3,

x1 3x2 x3 2x4 1.

Решение.

Дана неоднородная линейная система из 3-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=3, n=4).

Выпишем матрицы системы линейных уравнений:

						х
1	2	3	1			1			4
				Х		х2
A 2 1		2	1			х3		B	3
	3	1				х4
1			2						1	.

1) определим, совместна или нет система.

Вычислим для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rang(A,B) и RangA.

привели матрицу (A,B) к матрице (A' ,B'), имеющую ступенчатую форму:

	1		2	3	1	4		1		2	3	1	4		1 2			3	1	4
	( A, B)	2	1	2	1	3			2	1 2		1	3			0	5	4	3	5
		1	3	1	2	1			0	5	4	3	5			0	5	4	3	5

1		2	3	1	4			1				1 4
	0	5	4	3	5					2	3
									0	5	4	3 5
	0	0	0	0	0
Привели матрицу (A,B) к матрице (A' ,B' ), имеющую ступенчатую форму
		1	2	3	1		4
( A , B )								.
			5	4	3		5
		0

Rang(A', B') = Rang(A,B)= RangA= 2. Следовательно, система совместна.

2) Т.к. Rang A< n (n = 4), то система имеет бесконечное множество решений. Найдем все решения системы. Для этого перейдем к следующей эквивалентной системе, используя коэффициенты уравнений расширенной матрицы ступенчатового вида (A', B').

x 2x 3х x 4,
1		2	3		4
5x	2	4х 3x		4	5.
			3
Пусть х1			и х2 - основные (базисные) неизвестные:				2		5 0 .
						1
						0	5

Тогда х3 и х4- свободные неизвестные и можно считать х3 = а , х4 = b, где a и b – произвольные числа.

Решая эту систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными х1 и х2 , найдем их:

x1 2x2 3а b 4,5x 4a 3b 5.2

Из последнего уравнения имеем: 5x	4a 3b 5	x	4	a	3	b 1
2		2	5	5

Тогда из первого уравнения найдем:

x1 2( 54 a 53 b 1) 3а b 4 2 75 a 15 b

Тогда общее решение системы имеет вид:	x 2	7	a	1	b ;	x			4	a	3	b 1 ; x	a,	x b
	1	5		5			2	5			5	3		4

3) найдем базисное решение СЛУ из общего решения:

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых

значениях всех свободных переменных.

Пусть	x3 0,	x4 0	тогда	x 2 x 1		.
				1	2

Базисное решение имеет вид (2; 1; 0; 0).

4) найдем частное решение системы из общего решения:

Например, а=1, b = 1, тогда имеем

x1 52 x2 54 x3 1, x4 1

Замечание: после решения системы линейных уравнений необходимо сделать проверку.

Проверка делается подстановкой в исходную систему линейных уравнений общее решение системы.

Ответ:

							7	a			1
			2									b
							5				5
					4				3
		общее решение				a				b 1				;
					5				5
								a
								b

	2			4
	частное решение		;		;1;1 ;
	5			5
	базисное решение (2; 1; 0; 0).

Тема 3. Скалярное произведение векторов

		x , y , z в декартовых координатах:					x2	y2	z2
Длина вектора a					a
		1	1	1			1	1	1
Линейные операции над векторами в координатной форме
Если
		x2 , y2 , z2
a x1, y1, z1 и b
Тогда
		y2 ; z1 z2
a	b x1 x2 ; y1
	x1; y1; z1
a

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов определяются по формулам:

cos

x1

cos

y1

cos

z1

a

a

a

Опр. Скалярным произведением двух векторов

называется число,

a и b

обозначаемое

a b

и равное a

b

a

b

cos(a,b) .

x1, y1, z1 ,

Если a

b x2 , y2 , z2

x1x2 y1 y2 z1z2

a

b

a

b

cos(a,b)

a

b

Опр. Проекцией или скалярной проекцией вектора a

на вектор b называется число,

a

b

равное

пр a

b

b

Опр. Векторным произведением двух векторов

называется такой третий

a и b

вектор

с , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1)

c

a и c

b

2)

с

a

b

sin(a,b)

3)векторы a, b, c образуют правую тройку.

Обозначения: c

a

b

или c

[a,b] .

Геометрический смысл: 2Sтреуг. Sпараллелог.

a

b

x2 , y2 , z2 , то

Запись векторного произведения в координатах. Если a

x1 , y1 , z1 и b

i

j

k

c

a

b

x1

y1

z1

(псевдоопределитель).

x2

y2

z2