1 курс / Курсовик по переменному току
.doc
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электротехники
Расчетно-графическая работа №2 по курсу ТОЭ “Методы расчета линейных цепей в стационарных режимах” Задача №2 Расчет цепей переменного тока
Вариант №25
Выполнил студент группы ЕТ-31 Чалый Виталий Николаевич
Проверил Червякова Л.П
Сумы 2004
1. Начертить схему электрической цепи согласно варианту задания. 2. Составить в дифференциальной форме систему уравнений по законам Кирхгофа. 3. Составить в комплексной форме систему уравнений по законам Кирхгофа. 4. Рассчитать токи во всех ветвях методом непосредственного применения законов Кирхгофа. 5. Составить систему уравнений методом контурных токов. 6. Рассчитать токи в ветвях методом контурных токов. 7. Определить показания вольтметра, ваттметра и амперметра. 8. Рассчитать и построить топографическую векторную диаграмму напряжений совместив ее векторной диаграммой токов. 9. Преобразовать цепи убрав индуктивную связь между катушками. Начертить схему преобразованной цепи. 10. Рассчитать токи во всех ветвях методом двух узлов. 11. Составить таблицу сравнения по расчету токов тремя методами. 12. Составить уравнения баланса мощностей вычислив отдельно активную, реактивную и полную мощность каждой ветви и всей цепи.
1. Начертить схему электрической цепи согласно варианту задания.
2. Составить в дифференциальной форме систему уравнений по законам Кирхгофа.
M34 M12
E2m = 110 B, E3m = 150 B.
φ2 = 20 град., φ3 = -50 град.
R1 = 65 OM, R2 = 85 OM, R3 = 90 OM.
L1 = 17 мГн, L2 = 10 мГн, L3 = 17 мГн, L4 = 7 мГн.
M12 = 3 мГн, M34 = 2 мГн.
C1 = 2 мкФ, C2 = 4 мкФ.
f = 1250 Гц.
Для составления уравнений в дифференциальной форме применим 1-ый и 2-й законы Кирхгофа, из рисунка видно что катушки L4 и L3 включены встречно а L2 и L1 включены согласно, выбрав положительный обход контура составим уравнения: i1 – i2 + i3 = 0 L4(di1/dt) – M34(di3/dt) + 1/c1 + i1R1 + L1(di1/dt) + M12(di2/dt) + 1/c2 + i2R2 + L2(di2/dt) + M12 (di1/dt) = e2 -(L2(di2/dt) + M12(di1/dt)) – i2R2 – 1/c2 - (L3(di3/dt) – M34(di1/dt)) – i3R3 = - e2 – e3
3. Составить в комплексной форме систему уравнений по законам Кирхгофа.
M34 M12
Учитывая что катушки L4 и L3 включены встречно а L2 и L1 включены согласно, выбрав положительный обход контура составим уравнения:
İ 1 – İ 2 + İ 3 = 0 jxL4 İ1 – jxM34 İ 3 – jxc1 İ 1 + İ 1R1 + jxL1 İ 1 + jxM12 İ 2 – jxc2 İ 2 + İ 2R2 + jxL2 İ 2 + jxM12 İ 1 = Ė 2 -(jxL2 İ2 + jxM12 İ 1) – İ2R2 – (-jxc2) İ2 – (jxL3 İ 3 – jxM34 İ 1) – İ 3R3 = - Ė2 – Ė3
4. Рассчитать токи во всех ветвях методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Для расчета токов во всех ветвях воспользуемся уравнениями составленными по законам Кирхгофа в комплексной форме:
İ1 – İ2 + İ3 = 0 jxL4 İ1 – jxM34 İ3 – jxc1 İ 1 + İ1R1 + jxL1 İ1 + jxM12 İ2 – jxc2 İ2 + İ2R2 + jxL2 İ2 + jxM12 İ1 = Ė2 -(jxL2 İ 2 + jxM12 İ 1) – İ2R2 – (-jxc2) İ2 – (jxL3 İ3 – jxM34 İ1) – İ3R3 = - Ė2 – Ė3 Исходные данные таковы: E2m = 110 B, E3m = 150 B.
φ2 = 20 град., φ3 = -50 град.
R1 = 65 OM, R2 = 85 OM, R3 = 90 OM.
L1 = 17 мГн, L2 = 10 мГн, L3 = 17 мГн, L4 = 7 мГн.
M12 = 3 мГн, M34 = 2 мГн.
C1 = 2 мкФ, C2 = 4 мкФ.
f = 1250 Гц. Сперва нужно найти неизвестные величины реактивных элементов катушки и конденсатора за формулами: xL = 2πfL, xc = 1/2πfc и xM = 2πfM. xL4 = 2πfL4 = 2*3,14*1250*7*10-3 = 54,977 OM xL1 = 2πfL1 = 2*3,14*1250*17*10-3 = 133,517 OM xL2 = 2πfL2 = 2*3,14*1250*10*10-3 = 78,539 OM xL3 = 2πfL3 = 2*3,14*1250*17*10-3 = 133,517 OM
xc1 = 1/2πfc1 = 1/2*3,14*1250*2*10-6 = 63,661 OM xc2 = 1/2πfc1 = 1/2*3,14*1250*4*10-6 = 31,831 OM
xM12 = 2πfM12 =2*3,14*1250*3*10-3 = 23,561 OM xM34 = 2πfM34 = 2*3,14*1250*2*10-3 = 15,707 OM
Ė2 = (Ėm2/)ejφ2=(110/)ej20=77,781ej20=73,090931 + j26,60293 B. Ė3 = (Ėm3/)ejφ3 = (150/)e-j50 = 106,066e-j50 = 68,177 + j(-81,251) B. Подставим полученные значения в систему уравнений:
İ1 – İ2 + İ3 = 0 j54,977 İ1 – j15,707 İ3 – j63,661 İ1 + İ165 + j133,517 İ1 + j23,561 İ2 – j31,837 İ2 + İ 285 + j78,539 İ2 + j23,561 İ1 = 73,090931 + j26,60293
-(j78,539 İ2 + j23,561 İ 1) – İ 285 – (-j31,831) İ2 – (j133,517 İ3 – j15,707 İ1) – İ390 = - (73,090931 + j26,60293) – (68,177 + j(-81,251))
Преобразуя и сведя подобные получим такую систему:
İ1 – İ2 + İ3 = 0 İ1( j148,394 + 65) + İ2(j70,263 + 85) – İ3j15,707 = 73,090931 + j26,60293 İ2(j46,708 + 85) + İ3(90 + j133,517) + j7,854İ1 = 141,268 - j54,648
Решив систему уравнений, получим значения токов: İ1 = 0,275 + j0,0391 = 0,278ej8,092 A İ2 = 0,3998 – j0,5059 = 0,6448ej-51,681 A İ3 = 0,1241 – j0,5451 = 0,559ej-77,174 A
5. Составить систему уравнений методом контурных токов.
M12 M34 I11 I22 Выбрав положительный обход контура и контурных токов, составим систему уравнений методом контурных токов: z11 İ11 + z22 İ22 = Ė11 ¯ ¯ z21 İ11 + z22 İ22 = Ė22 ¯ ¯ z11, z22 – собственные сопротивления контуров. ¯ ¯ z11 = jxL4 - jxc1 + R1 + jxL1 + jxM34 + jxM12 – jxc2 + R2 + ¯ jxL2 – jxM34 + jxM12
z22 = -jxc2 + R2 + jxL2 – jxM34 + jxM12 + jxL3 + R3 + jxM34 ¯ – jxM12
z12 = z21 – взаимные сопротивления.
z12 = z21 = -(-jxc2 + R2 + jxL2 – jxM34 + jxM12)
Ė11, Ė22 – контурные ЭДС.
Ė11 = Ė2
Ė22 = - Ė2 – Ė3
6. Рассчитать токи в ветвях методом контурных токов.
Считаем коэффициенты: z11 = j54,977 – j63,662 + 65 + j133,517 + j15,7079 + j23,562 – ¯ j31,831 + 85 + j78,539 – j15,7079 + j23,562 = 150 + 218,666 (1/OM).
z22 = -j31,8309 + 85 + j78,539 – j15,7079 + j23,562 + j133,517 ¯ + 90 + j15,7079 – j23,562 = 175 + j180,226 (1/OM).
z12=z21 = -( - j31,8309 + 85 + j78,539 – j15,7079 + j23,561) = ¯ ¯ -85 – j54,562 (1/OM).
Ė11 = 73,09093 + j26,6029 B.
Ė22 = - 73,09093 – j26,603 – 68,178 + j81,251 = - 141,268 + j54,648 B.
Получим систему: (150 + j218,666)İ11 + (-85 – j54,562)İ22 = 73,09093 + j26,603 (-85 – j54,562) İ11 + (175 + j180,226) İ22 = -141,268 + j54,648
Решая ее, получим значения контурных токов: İ11 = 0,2757 + j0,03915 A. İ22 = -0,1241 + j0,5451 A.
Откуда получим значения токов: İ1 = İ11; İ1 = 0,2757 + j0,03915 А.
İ2 = İ11 – İ22 İ2 = 0,2757 + j0,03915 – (-0,1241 + j0,5451) = 0,3998 – j0,5059 A.
İ3 = - İ2; İ3 = 0,1241 – j0,5451 А.
7. Определить показания вольтметра, ваттметра и амперметра.
Показания вольтметра:
Uv = UR3 + Ė3 = - İ3R3 + Ė3 Uv = - (0,1241 – j0,5451)90 + 68,1778 – j81,2512 = 57,00488 – j32,191 = 65,466e-j29,453 B.
Показания амперметра:
IA = İ1 = 0,2757 + j0,03915 = 0,278ej8,092 A.
Показания ваттметра:
Pw = Re[Ůw * İw]
Ůw = - İ1R1 – İ1jxL1 – İ2jxM12 + İ3jxL3 – İ1jxM34 – Ė3 Ůw = - (0,2757 + j0,03915)*65 – (0,2757 + j0,03915)*j133,5176 -(0,3998 – j0,5059)*j23,5619 + (0,1241 – j0,5451)*j133,5176 -(0,2757 + j0,03915)j15,7079 – 68,1779 + j81,2512 = - 19,3956 + j44,7157 B.
İw = - İ2; İw = - 0,3998 – j0,5059 A.
Pw = Re[(-19,3956 + j44,7157) * (-0,3998 – j0,5059)] = Re[30,3798 – j8,0668] = 30,3798 Bт.
8. Рассчитать и построить топографическую векторную диаграмму напряжений совместив ее векторной диаграммой токов.
0 1 2 3 4 5 6 7 9 8 M344 M12
Примем φ0 равным нулю, тогда: φ0 = 0;
φ1 = φ0 – İ1jL4 + İ3jM34 = 0 – (0,2757 + j0,03915)j54,9778 + (0,1241 – j0,5451)j15,7079 = 10,7153 – j13,2083
φ2 = φ1 - İ1(-jxc1) = 10,7153 – j13,2083 – (0,2757 + j0,03915) * ( - j63,6619) = 8,2225 + j4,3444
φ3 = φ2 - İ1R1 = 8,2225 + j4,3444 – (0,2757 + j0,03915) * 65 = - 9,6991 + j1,7992
φ4 = φ3 - İ1jxL1 – İ2jxM12 = - 9,6991 + j1,7992 – (0,2757 + j0,03915) * j133,5176 – (0,3998 – j0,5059) * j23,5619 = - 16,3924- - j44,4356
φ5 = φ4 - İ2(-jxc2) = - 16,3924 – j44,4356 – (0,3998 – j0,5059) * (-j31,8309) = - 0,2873 – j31,7075
φ6 = φ5 - İ2R2 = -0,2873 – j31,7075 – (0,3998 – j0,5059) * 85 = - 34,2757 + j11,2987
φ7 = φ6 + Ė2 = -34,2757 + j11,2987 + 73,09093 + j26,6029 = 38,8151 + j37,9017
φ0 = φ7 - İ2jxL2 – İ1jxM12 = 38,8151 + j37,9017 – (0,3998 – j0,5059) * j78,5398 – (0,2757 + j0,03915) * j23,5619 = 0 B.
φ9 = φ0 – İ3R3 = 0 – (0,1241 – j0,5451) * 90= - 11,173 + j49,06019
φ8 = φ9 + Ė3 = - 11,173 + j49,06019 + 68,1779 – j81,2512 = 57,00488 – j32,191
φ4 = φ8 - İ3jxL3 + İ1jxM34 = 57,00488 – j32,191 – (0,1241 – j0,5451) * j133,5176 + (0,2757 + j0,03915) * j15,7079 = -16,3924 – j44,4356 Построим диаграмму. Масштаб тока: 0,01 А/дел.
9. Преобразовать цепи убрав индуктивную связь между катушками. Начертить схему преобразованной цепи.
4 0 -M12 M34 M12 -M34 M12 M34
10. Рассчитать токи во всех ветвях методом двух узлов.
Примем потенциал точки 0 равным нулю: φ0 = 0. Тогда для точки 4 имеем уравнение: Ġ44φ4 = İ44 (1) Где: Ġ44 = 1/(jxM34 + jxM12 + jxL4 – jxc1 + R1 + jxL1) + 1/(-jxM34 + jxM12 – jxc2 + R2 + jxL2) + 1/(jxM34 – jxM12 + jxL3 + R3);
İ44 = - Ė2/(-jxM34 + jxM12 – jxc2 + R2 + jxL2) + Ė3/(jxM34 – jxM12 + jxL3 + R3)
Из уравнения (1) имеем: φ4 = İ44/ Ġ44
Зная потенциалы точек 0 и 4, найдем токи во всех ветвях: İ1 = (φ0 – φ4)/(jxM34 + jxM12 + jxL4 – jxc1 + R1 + jxL1); İ2 = (φ0 – φ4 – Ė2)/(-jxM34 + jxM12 – jxc2 + R2 + jxL2); İ3 = (φ0 – φ4 + Ė3)/(jxM34 - jxM12 + R3 + jxL3);
Ġ44 = 1/(j15,7079 + j23,5619 + j54,9778 – j63,6619 + 65 + j133,5176) + 1/(-j15,7079 + j23,5619 + j31,8309 – j78,5398 + 85 ) + 1/(j15,7079 - j23,5619 + 90 + j133,5176) = 0,01418 – j0,01587 (1/ОМ).
İ44 = (-73,0909 – j26,6029)/(85 + j54,5628) + (68,1779 – j81,2512)/(90 + j125,6637) = -0,9217 – j0,4954 A. Тогда для преобразованной цепи потенциал узла 4 равен: φ4 = (-0,9217 – j0,4954)/(0,01418 – j0,01587) = -11,496 – j47,7915 B. Рассчитаем токи: İ1 = (11,4960 + j47,7915)/(65 + j164,1034) = 0,2757 + j0,0391 = 0,278ej8,092 A İ2 = (-61,5948 + j21,1886)/(85 + j54,5628) = 0,3998 – j0,5059 = 0,6448ej-51,681 A İ3 = (79,6739 – j33,4596)/(90 + j125,6637) = 0,1241 – j0,5451 = 0,559ej-77,174 A
11. Составить таблицу сравнения по расчету токов тремя методами.
12. Составить уравнения баланса мощностей вычислив отдельно активную, реактивную и полную мощность каждой ветви и всей цепи.
Активные мощности каждой ветви: Рнагр1 = İ21 * R1; Рнагр2 = İ22 * R2; Рнагр1 = İ23 * R3;
Рнагр1 = 0,27842 * 65 = 5,041 Вт; Рнагр1 = 0,64482 * 85 = 35,3501 Вт; Рнагр1 = 0,5592 * 90 = 28,1304 Вт.
Полная активная мощность: Рнагр = i Рнагр = 5,041 + 35,3501 + 28,1304 = 68,5215 Вт. Реактивные мощности: Qнагр1 = İ21 *(xL4 – xc1 + xL1 + xM34 + xM12); Qнагр2 = İ22 *(-xc2 + xL2 - xM34 + xM12); Qнагр3 = İ23 *(xL3 + xM34 - xM12);
Qнагр1 = 0,27842 * (54,9778 – 63,6619 + 133,5176 + 15,7079 + 23,5619) = 12,7269 ВАр. Qнагр2 = 0,64482 * (-31,8309 + 78,5398 – 15,7079 + 23,5619) = 22,6917 ВАр. Qнагр3 = 0,5592 * (133,5176 + 15,7079 – 23,5619) = 39,2775 ВАр.
Полная реактивная мощность: Qнагр = i Qнагр = 12,7269 + 22,6917 + 39,2775 = 74,6961 ВАр.
Полная мощность нагрузки: Sнагр = Sнагр = = 101,3643 ВА. Вычислим мочь источников каждой ветви:
Sист1 = 0; Sист2 = İ2 * Ė2; Sист3 = İ3 * Ė3;
Sист2 = (73,0909 + j26,6029) * (0,3998 + j0,5059) = 15,7664 + j47,6184 BA. Sист3 = (68,1779 – j81,2512) * (0,1241 + j0,5451) = 52,755 + j27,0777 BA. Из полученных значений имеем активную и реактивную мощности источников: Рист1 = 0 Вт; Qист1 = 0 ВАр. Рист = 15,7664 Вт; Qист1 = 47,6184 ВАр. Рист1 = 52,755 Вт; Qист1 = 27,0777 ВАр. Полная мощь источников: Рист = 0 + 15,7664 + 52,755 = 68,5215 Вт. Qист = 47,6184 + 27,0777 = 74,6961 ВАр. Sист = = 101,3643 ВА. Сравнивая численные значения активной, реактивной и полной мощности нагрузки видно что они совпадают с довольно высокой точностью, из чего можно сделать вывод о правильности расчетов.
|