Ответы на билеты по выс.математике

Билет 1 Ф.м.п., определение, графическое изображение, поверхности и линии уровня. Предел. Непрерывность.

Общ. опред. ф-ии многих переменных.

Обл. опред. ф-ии n-перемен. назыв. совокупность точек Rⁿ, для кот. ф-ия имеет смысл.

Говорят, что в D задана числов. ф-ия n-переменных f(M) если по з-ну f(M) кажд. т. MD поставл. в соответств. число yE – обл. знач. y=f(x)

Бывает, что ф-ии нес-ких перем. зад. с пом. описан., граф., табл.

Ф-ии 2 перемен.:

z=f(x,y) DR²

z=f(x₁,x₂) т. M(x,y)

y=y(x₁,x₂) D - совокуп. точек пл-ти

Геом. образ. ф-ии 2 перем. – пов-ть в R³

опр.: т. M наз. внутренней т. обл., если она сама и нек. ее окрест. принадлеж. D полностью. Обл. D наз. замкнут. если ей принадл. все внутр. т. границы, в противном случае – обл. D открытая.

Ф-ия 3 перемен.:

u=f(x,y,z)

u=f(x₁,x₂,x₃)

обл. опред. – это совокуп. т. в R³. Граф. интерпретац. отсутств.

опр.: частичн. приращ. ф-ии: Δ_xif=f(x₁,x₂…x_i+Δx_i, x_i+1…x_n)-f(x₁, x₂…x_i, x_i+1…x_n)

опр.: полн. приращ. ф-ии: Δf=f(x₁+Δx₁, x₂+Δx₂… x_n+Δx_n)-f(x₁, x₂…x_n). Ясно, что

Говорят, что т. M⁰DRⁿ если для нее вып. нерав-во :

опр.: число А наз. если  >0  >0 что как только |MM₀|< буде вып. нерав-во |f(M)-A|<

M→M₀ x₁→x₁⁰ x₂→x₂⁰ x_n→x_n⁰

опр.: ф-ия f(M₀) наз. непрер. в т. М₀ если:

1. ф-ия опред. в т. М₀

2.  и

как и у ф-ий 1 перем. можно говор. о т. разр. – в кот. наруш. усл. непрер. По аналогии с ф-ей 1 перем. имеет место определение:

Ф-ия непрер. если:

Св-ва ф-ий непрер. на замкн. множ-ве:

1) непрер. ф-ия на замк. множ. достиг. своего наиб. М и наим. m.

2) если М-наиб., m- наим. знач. ф-ии на замкн. множ. D то  μ, удовл. нер-ву m<μ<M,  хотя бы 1 т. AD, такая что f(A)=μ

3) о корнях непрер. ф-ии: если M>0, m<0 то  хотя бы 1 т. AD, такая что f(A)=0

для ф-ии 2 перем.:

опр.: линией уров. для ф-ии zx=f(x,y) наз. линия в пл-ти XOY во всех т. кот.знач. ф-ии постоянны, т.е.: f(x,y)=C

для ф-ии 3 перем. гов. о пов-ти уров.: пов-тью уров. для ф-ии u=f(x,y,z) наз. пов-ть в R³ во всех т. кот. знач. ф-ии постоянны, т.е.: f(x,y,z)=C

Билет 2 Векторная функция скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная. Геометрический и механический смысл. Нормальное и тангенциальное ускорение.

Векторная функция скалярного аргумента.

z

A(x, y, z)

y

х

Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:

x = (t); y = (t); z = f(t);

Радиус- вектор произвольной точки кривой: .

Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .

Запишем соотношения для некоторой точки t₀:

Тогда вектор - предел функции (t). .

Очевидно, что

, тогда

.

Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

; ;

или, если существуют производные (t), (t), f(t), то

Это выражение – вектор производная вектора .

Если имеется уравнение кривой:

x = (t); y = (t); z = f(t);

то в произвольной точке кривой А(x_А, y_А, z_А) с радиус- вектором

можно провести прямую с уравнением

Т.к. производная - вектор, направленный по касательной к кривой, то

.

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа  > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1. Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).

2. Не существует предел .

3. Этот предел существует, но он не равен f( x₀, y₀).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …)  f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …)  f(x, y, …)

тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина _xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Билет 3 Частные производные и частные дифференциалы ф.м.п

17. Частные приращения и частные производные. Дифференцируемость Ф.М.П. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл полного дифференциала.

опр.: Приращением функции в точке М0 с координатами называется выражение

опр.: частным приращением функции 2-х переменных Z=f(x,y) по Х в точке Мназывается выражение , частным приращением по у соответственно

опр.: Частной производной функции по х называется , если он существует. Частной производной функции по у называется , если этот предел существует.

Геометрический смысл: Частная производная равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к функции с плоскостью

Билет 4. Полный дифференциал ф.м.п, его приложение, геометрический смысл.

Полное приращение и полный дифференциал.

Определение. Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где ₁ и ₂ – бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно.

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Пример. Найти полный дифференциал функции

Геометрический смысл полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль

N

 N₀

касательная плоскость

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

.

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+х, у₀+у).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Билет 5. дифференцирование сложных ф.м.п.

Дифференцирование сложных функций.

Опр. Переменная z=z(t) - называется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:

z=z(t)=f[x(t),y(t)] - сложная функция от t.

Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то сложная функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:

dz/dt = z/xdx/dt+ x/ydy/dt [**]

Док-во: Дадим переменной t приращение t, при этом х=х(t) получит приращение х, а у=у(t)  у, в результате переменная z=f(x,y) получит приращение z, т.к. z(х,у) - дифференцируемая функция, то это приращение может быть представлено в виде:

z=z/xx + z/yy + 

разделим на t и перейдем к пределу

Lim(t0)z/t = z/xLim(t0)x/t +

+ z/yLim(t0)y/t + Lim(t0)/t

dz/dt = z/xdx/dt + z/ydy/dt + Lim(t0) //t  0

=x2+y2

Lim(t0)/=0 - по определению дифференциала.

Lim(t0)/t = Lim(t0)(x/t)2+(y/t)2=

=(dx/dt)2+(dy/dt)2

Формула [**] доказана.

Рассмотрим частный случай сложной функции:

z= f[x,y(x)] = z(x)

в ф-ле [**] вместо tх, получим

dz/dx= z/xdx/dx+ z/ydy/dx

dz/dx= z/x+ z/ydy/dx [***]

Формула [**] распространяется на сложные функции большего числа переменных.

Пусть z=f(x,y), где x=x(r,s,..t), y=y(r,s,..,t)  z=z(r,s,..,t) - cложная функция.

При этом формула [**] принимает вид:

z/r=z/xx/r+x/yy/r

z/s=z/xx/s+ z/yy/s [****]

\

Билет 6. Дифференцирование неявных ф.м.п.

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Опр. Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .

F(x,y,z)=0

x+y+z=ez - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.

x2+y2+z2=0 - не задает никакой функции.

Теорема: Если ф-я F(x,y,z)  непрерывна в т. р0(x0,y0,z0) и ее производная по z Fz(x,y,z)0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:

z/x= Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z)

z/y=Fz (x,y,z)/Fy(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz

F(x0,y0,z0)=0dF=0

F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0

dz=(F/x)/(F/z)*dx(F/y)/(F/z)*dy (*)

С другой стороны:

z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy (**)

Сравнивая (*) и(**) 

z/x= Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z)

z/y=Fz (x,y,z)/Fy(x,y,z)

Билет 7. Касательная плоскость и нор к поверхности.

Геометрический смысл полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль

N

 N₀

касательная плоскость

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

.

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+х, у₀+у).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Билет 8. Условный экстремум ф.м.п. наибольшее и наименьшее значение в ограниченной замкнутой области.

Условный экстремум.

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

=0 (1)

Кроме того:

(2)

Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1).

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.

Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …)  f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …)  f(x, y, …)

тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Билет 9. Производная по направлению. Скорость наибольшего возрастания функции. Градиент. Крутизна поверхности

Производная по направлению.

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М₁( x + x, y + y, z + z).

Проведем через точки М и М₁ вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками М и М₁ на векторе обозначим S.

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

z

M

M₁

y

x

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины ₁, ₂, ₃ – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

Из этого уравнения следует следующее определение:

Определение: Предел называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами

( x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

Пример. Вычислить производную функции z = x² + y²x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

=

За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cos = ; cos = -

Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Градиент.

Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Билет 10 уравнение первого порядка. Общее, частное, особое решение. Метод изоклин. Задача Коши. Д.у. с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения первого порядка.

  Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

  Если такое соотношение преобразовать к виду  то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

 

  Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде:  тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

 

-         это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

  

Уравнения вида y’ = f(x).

  Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как . Если заданы начальные условия х₀ и у₀, то можно определить постоянную С.

2. Метод изоклин

Данный метод является одним из наиболее широко используемых графических методов приближенного интегрирования. Он непосредственно используется для решения уравнений первого порядка вида  и при этом включает в себя в общем случае следующие этапы:

в плоскости по уравнениям изоклин (изоклина - линия равного наклона, вдоль которой функция имеет постоянное значение, т.е. геометрическое место точек, для которых ) строятся изоклины для различных значений углового коэффициента  ;

вдоль каждой изоклины наносятся черточки с наклоном, определяемым соответствующим значением  ;

от точки  соответствующей начальному условию, строится интегральная кривая так, чтобы она пересекала каждую изоклину параллельно нанесенным на ней черточкам; полученная кривая является графиком искомой зависимости 

 Задача Коши для уравнения первого порядка.

Как уже было сказано, общим решением уравнения (16.2) является все множество функций, обращающих при подстановке рассматриваемое уравнение в тождество. Пусть теперь требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию

у (х₀) = у₀ , (16.3)

называемому начальным условием. Если общее решение уравнения (16.2) задается формулой у = φ (х, С), (16.4)

то значение постоянной С, соответствующее поставленному начальному условию, можно определить, подставив в равенство (16.4) х = х₀ и у = у₀.

Определение 16.3. Задача выбора из общего решения (16.4) уравнения (16.2) решения, удовлетворяющего начальному условию (16.3), называется задачей Коши, а выбранное решение называется частным решением уравнения (16.2).

Замечание. Если воспринимать множество всех решений уравнения (16.2) как множество интегральных кривых на плоскости, то ставится задача поиска той из них, которая проходит через точку с координатами (х₀ , у₀). Выясним, при каких условиях такая кривая существует и является единственной.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения вида

f₂(y)dy = f₁(x)dx (17.1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Тогда любое решение у(х) этого уравнения будет удовлетворять и уравнению

, (17.2)

где с – произвольная постоянная. Если удается найти первообразные функций f₁(x) и f₂(y), выраженные в элементарных функциях, то из (17.2) можно получить конечное уравнение вида Ф (х , у) = 0, (17.3)

которое определяет решение у(х) уравнения (17.1) как неявную функцию х.

Определение 17.1. Уравнение вида (17.3) называется интегралом уравнения (17.1), а если оно определяет все решения (17.1) – общим интегралом этого уравнения.

Пример.

. Приведем уравнение к виду (17.1): , откуда . Проинтегрируем обе части равенства: . Полученное уравнение можно считать общим интегралом или решением исходного уравнения.

Если требуется найти частное решение уравнения (17.1), удовлетворяющее условию у(х₀)=у₀ , достаточно подставить значения х₀ и у₀ в уравнение (17.3) и найти значение с, соответствующее начальному условию.

Пример.

Найти решение уравнения y′ctg x + y = 2, удовлетворяющее условию у(0) = -1.

Разделим переменные: , -ln | 2 – y | = -ln | cos x | - ln | c |,

2 – y = c• cos x. Подставив в это равенство х = 0 и у = -1, получим, что с = 3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: y = 2 – 3cos x.

Билет 11. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка, приводящиеся к ним. Их решение.

4. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если .

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если .

Например, функция является однородной второй степени. Действительно, . Функция однородная нулевой степени, так как .

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве , имеем , где может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y^/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y^/=f(x,y) или ., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени.

Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнение и , получаем уравнение вида или , являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

(x²-y²)dx+2xydy=0.

Перепишем его в виде . Справа стоит функция однородная нулевой степени. Действительно, . Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

или , т.е. .

Разделяя переменные приходим к уравнению

.

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

.

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u

или , где c>0.

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид , где c – произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения или y²+x²=cx,

Последнее выражение приводится к виду

.

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках , лежащих на оси x, и радиусами . Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. На рис. 6 изображено семейство этих окружностей.

Пример 2. Требуется найти частное решение уравнения ,

Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0.

Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным. Выполняя замену y=ux, приводим его к виду

или .

Разделяем переменные, получаем

.

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения

или .

Подставим в него и получим . Логарифмируя обе части этого уравнения получаем и далее .

Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0. Подставим их в общее решение , отсюда и .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

Билет 12. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 1 порядка. Метод подстановки и метод Лагранжа решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 порядка.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y^/+g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y^/ его можно рассматривать как линейное.

Если , то уравнение принимает простой вид y^/=h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла . Его общее решение тогда имеет вид .

Если , то уравнение называется однородным линейным. Оно приобретает вид , и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными и далее .

Его общее решение имеет вид , где - некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, что , функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения.

Представим исходное уравнение в виде

,

и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках, , т.е. как бы полагая в общем решении . Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

,

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным).

Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в виде

,

где A – произвольная постоянная. Очевидно, является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении , т.е.

.

Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной , то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид

.

В нем второй множитель функция является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения . Первый множитель функция представляет общее решение дифференциального уравнения u^/v(x)=h(x).

Действительно, подставляя в это уравнение u^/_x(x,c), получаем тождество

.

Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения

Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравнения , решаемое при c=1, u(x,c) – общее решение уравнения u^/v(x)=h(x).

Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными.

Заметим, что хотя при решении однородного уравнения бралось частное решение V(x) однородного уравнения v^/+g(x)v=0,

Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.

На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u^/v(x)=h(x),

Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде

Y=u(x,c)v(x).

Пример 1. Решить уравнение

Y^/+2y=sinx.

Сначала решаем однородное уравнение v^/+2v=0.

Из него получаем

или .

Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида

.

Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решение .

Далее решаем уравнение вида

или .

Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения

.

Вычислим интеграл:

.

Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид

.

Следовательно, .

Тогда общее решение исходного уравнения будет

.

Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c:

, отсюда .

Искомым частным решением является

.

Пример 2. Решить уравнение

,

являющееся линейным дифференциальным уравнением.

На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения

, или .

Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем

.

Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение

.

На втором этапе решаем уравнение вида

.

Делая замену , сокращая обе части уравнения на и разделяя переменные, имеем du=x²dx.

Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение

.

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

.

Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a_nz⁽ⁿ⁾ + a_{n − 1}z^{(n − 1)} + ... + a₁z' + a₀z = f(t)

состоит в замене произвольных постоянных c_k в общем решении

z(t) = c₁z₁(t) + c₂z₂(t) + ... + c_nz_n(t)

соответствующего однородного уравнения a_nz⁽ⁿ⁾ + a_{n − 1}z^{(n − 1)} + ... + a₁z' + a₀z = 0 на вспомогательные функции c_k(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z₁,z₂,...,z_n, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам..

Билет 14ДУ_высших порядков_ допускающие понижение порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение п-го порядка:

F (x, y, y′,…, y⁽ⁿ⁾) = 0, (1)

где F предполагается непрерывной функцией всех своих аргументов.

О: Соотношение следующего вида:

у^(п) = f (x, y, y′,…, y^(n-1))

…называется ДУ разрешенным относительно высшей производной.

О: Всякое ДУ порядка выше 1-ого называется ДУ высшего порядка.

О: Начальными условиями при х=х₀ наз. значение функции у и всех ее производных до n-1 включительно: ,

О: Функция у=u(x) называется решением ДУ (1) и (2), если она удволетворяет начальным условиям:

О: Ф-ия , зависящая от n произвольных постоянных С₁, С₂ и т. д. называются общим решением ДУ (1) и (2).

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях с1, с2 и т. д. называются частными решениями ДУ (1) и (2).

Если эта ф-я есть общее решение ДУ () и (), то частные решения получаются из общего путем определения постоянных с1, С2 и т. д. из системы:

y0 = (x₀, C₁, C₂, ……., Cn) Эта система с n неизвестными C₁, C₂, ……., Cn

y0’ = ’( x₀, C₁, C₂, ……., Cn) (4) Найдя их значения и подставив в общее

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ решение получим частные решения, например:

y0^(n-1) = ^(n-1)( x₀, C₁, C₂, ……., Cn) y = (x, C₁⁰, C₂⁰, ……., Cn⁰)

___________________________________________________________________________

В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Рассмотрим несколько типов подобных уравнений. 1.Уравнение не содержит искомой функции и ее производных по порядок (k – 1) включительно: . В этом случае можно сделать замену р = у^(k), которая позволяет понизить порядок уравнения до n – k, так как после замены уравнение примет вид: Из этого уравнения можно найти р = р (х, С₁ , С₂ ,…, С_n-k), а затем найти у с помощью интегрирования k раз функции р = р (х, С₁ , С₂ ,…, С_n-k). Пример. Уравнение при замене становится уравнением 1-го порядка относительно р: , откуда . Тогда

.

2. Уравнение не содержит независимой переменной: F ( y, y′,…, y⁽ⁿ⁾) = 0

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой у′ = р(у). При этом производные функции f(x) по аргументу х нужно выразить через производные р по у:

и т.д.

Билет 15 ЛОДУ_с постоянными коэфициентами.

ЛОДУ-уравнение вида: (1) в котором коэффициенты a_i постоянны. Уравнение вида (2)

называется характеристическим уравнением для уравнения (1). Числа k, являющиеся его решениями. Исследуем различные возможности количества и вида решений характеристического уравнения.

1. 1. Все корни уравнения (2) действительны и различны: k₁, k₂,…, k_n . Тогда они задают максимально возможное количество линейно независимых решений уравнения (1) , то есть определяют фундаментальную систему решений. Следовательно, в этом случае общее решение уравнения (1) может быть записано в виде: .

2. 2. Корни уравнения (21.2) различны, среди них есть комплексные. При этом, как было показано ранее, они образуют пары комплексно сопряженных чисел. При этом решения уравнения (1), соответствующие паре комплексно сопряженных решений уравнения (2) и .В этом случае решением уравнения (1) будет

3. Характеристическое уравнение имеет кратные корни. В этом случае число линейно независимых решений предыдущих типов меньше п, и для получения фундаментальной системы нужно найти дополнительные решения иного вида.

В этом случае каждый кратный корень уравнения (2) задает серию линейно независимых частных решений уравнения (1), количество которых равно его кратности. Таким образом общее решение уравнения (1) можно записать в виде .

Билет 16 ЛОДУ с переменными коэффициентами.

ДУ вида (1)

P₁(x), P₂(x)….Pn(x), которые есть непрерывные ф-ии на некотором интервале [a:b]

Назовем линейным дифференциальным оператором

тогда (1) перепишется как L(y)=0

1. L[cy] = cL[y]

2. L[y₁+y₂+……+y_n] = L(y₁)+ L(y₂)+……+ L(y_n)

3. L[c₁y₁+c₂y₂+……+c_ny_n] = c₁L(y₁)+ c₂L(y₂)+……+ c_nL(y_n)

Гипотеза: Операясь на свойства L(y) можно предположить, что любая линейная комбенация частных решений y1, y2, ………yn и c₁y₁+c₂y₂+……+c_ny_n (2) есть также решения ДУ(1). Выражение вида (2) можно было бы считать общим решением ДУ (1)

если бы знать что все y1, y2, ………yn линейно независимы.

y1, y2, ………yn называются линейно независимыми если справедливо следуюющее тождество c₁y₁+c₂y₂+……+c_ny_n =0 (*) но только если все С=0

О: Система функций называется линейно независимой если тождество (*) справедливо

но не когда все Cn=0 т. е. Среди них есть отличные от нуля.

Определить линейную независимость поможет определитель Вронского, который представляет собой выражение вида:

Если W(x) неравно 0 то система y1, y2, ………yn будет линейно независимой т. е. Их линейная комбинация c₁y₁+c₂y₂+……+c_ny_n =0 только в том случае когда С₁=С₂=0

О: Система n линено независимых решений ДУ(1) называется его фундаментальной системой.

Т: Для того чтобы n решений ДУ (1) y1, y2, ………yn составляли его фундаментальную систему необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от 0.

Если y1, y2, ………yn есть какая-либо фундаментальная система решений ДУ(1), то линейная комбенация этих решений с n произвольными параметрами С₁, С₂, ………Сn есть общее решение ДУ(1). у= c₁y₁+c₂y₂+……+c_ny_n

П: у”+y=0 Очевидно что у=cosx и у=sinx будут его частными решениями т.к. W(x)<>0

Следовательно у=С₁cosx +С₂sinx

Билет 17 ЛОДУ 2-ог порядка с переменными коэффициентами

Это уравнение вида y”+P₁(x)y’+P₂(x)y=0 . Можно решить это уравнение подбором, т.е. эвристически найти фундаментальные системы решения. Найти подбором 2 и более частных решений не всегда удается, поэтому существует еще один способ, но для его реализации должно быть уже найдено 1 частное решение, тогда 2 решение можно будет найти по определенной формуле.

Т: Для уравнения y”+P₁(x)y’+P₂(x)y=0 определитель Вронского можно записать через коэффициенты, т.е. W(x)=C*exp^(-P(x)dx)

Следствие из Т: Если известно что частное решение уравнения будет y то 2 частное решение y2 линейно независимое с y1 найдется по следующей формуле:

Тогда общее решение запишется

До-во: y”+(2y’)/(x)+y=0, y1=(cosx)/x

1) P1(x)=2/x Найдем y2

Билет 18 ЛНДУ с переменными коэффициентами

О: Линейное неоднородное ДУ n-ого порядка с переменными коэффициентами называется ДУ следующего вида (1)

L(y)=F(x) L(y)-линейный дифференциальный оператор

Т: Сумма общего решения однородного уравнения и какого либо частного решения неоднородного уравнения есть общее решение неоднородного уравнения, т.е. Уон=Уоо+Учн

Алгоритм возможного решения:

1. Решаем соответствующее однородное Ду т.е. =0

Уоо=С₁У₁+С₂У₂+…..+СnУn

2. Затем нужно найти какое-либо частное решение неоднородого ДУ (1)(чаще всего это делается подбором)

3. Окончательное общее решение неоднородного уравнения. Уоо=С₁У₁+С₂У₂+…..+СnУn+Учн=Уоо+Учн

П: Рассмотрим Ду 2-ого порядка

Метод называется методом варьирования произвольной постоянной в соответствующем данному однородном ДУ

(3) L(y)=0 или методом Лагранджа

Алгоритм:

1. Находим Уоо (3) Уоо=С₁У₁+С₂У₂

2. Надо найти общее решение Ду(2) Для этого заменим С₁ и С₂ ф-ями С₁(x) и С₂(х) и запрограмируем общее решение неоднородного уравнения в следующем виде Уон=С₁(х)У₁+С₂(х)У₂ (*)

3. Теперь надо найти С1(х) и С2(х). Для этого проинтегрируем Уоо два раза и при этом наложем условие следующего содержания:

(4) С₁(х)У₁ + С₂(х)У₂=0

С₁’(х)У₁'+ С₂’(х)У₂’= F(x)

Тогда имеем систему (5). Умножим уравнение (5)на единицу, Р1(х) и Р2(х) начиная снизу и сложим:

У=С₁(х)У₁+С₂(х)У₂ Р₂(х)

У=С₁(х)У₁+С₂(х)У₂ Р₁(х)

У=С₁(х)У₁+С₂(х)У₂ 1

Получим: L(y)=C₁(х)L(y₁)+ C₂(х)L(y₂)+f(х) (6) Но L(y₁=L(y₂)=0, т.к. у₁ и у₂ есть решения ДУ (3) поэтому ур (6) перепишется L(y)=f(x), а это и есть(2). Отсюда ф-ия (*) есть общее решение (2) при условиях (4) из которых можно найти С₁(х) и С₂(х)

Определитель (4) есть определитель Бронского от у₁ и у₂ (здесь они постоянные а С₁’(х) и С₂’(х)-искомые). По формулам крамера находим С₁’(х) и С₂’(х)

С₁’(х)=W₁(x)/W(x); С₂’(х)= W₂(x)/W(x); С₁ (х)= (W₁(x)/W(x))dx+C₁;

С₂’(х)= (W₂(x)/W(x))dx+C₂

Уон=( (W₁(x)/W(x))dx+C₁)у₁+( (W₂(x)/W(x))dx+C₂)у₂= у₁ (W₁(x)/W(x))dx+

+у₂ (W₂(x)/W(x))dx+ С₁У₁+С₂У₂= Уоо+Учн

ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Билет 19

Т: Сумма общего решения однородного уравнения и какого либо частного решения неоднородного уравнения есть общее решение неоднородного уравнения, т.е. Уон=Уоо+Учн

Уоо находится по характеристическому уавнению:

1. k₁, k₂,…, k_n :

2. и .: будет

3. Характеристическое уравнение имеет кратные корни:

Для некоторых видов правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения

(1)

можно подобрать частное решение в виде функции с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки этой функции в уравнение (1).

1. f(x) = A₀ x^s +A₁ x^s-1 +…+ A_s (а_п ≠ 0). При этом существует частное решение уравнения (1), имеющее такой же вид: y = B₀ x^s + B₁ x^s-1 +…+ B_s. Действительно, подставив эту функцию в уравнение (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим разрешимую единственным образом систему линейных уравнений: .

2. Если (то есть k = 0 является α – кратным корнем характеристического уравнения), то частное решение имеет вид: .

3. . Если число р при этом не является корнем характеристического уравнения, можно задать частное решение в виде: . Если же р – корень характеристического уравнения кратности α, частное решение имеет вид: . В обоих случаях с помощью подстановки в исходное уравнение можно убедиться, что выбранные функции являются его решениями.

4. В аналогичной форме задаются частные решения в случае, когда правая часть уравнения (22.1) имеет вид , где Р и Q – некоторые многочлены: а) если p ± qi - не корни характеристического уравнения, то можно подобрать частное решение в виде , где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степень т которых есть старшая из степеней многочленов Р и Q.

б) если p ± qi - корни характеристического уравнения кратности α, то

.

5. Если правая часть уравнения (22.1) представляет собой сумму функций, рассмотренных в предыдущих пунктах, то по принципу суперпозиции частное решение будет задаваться как сумма решений, соответствующих каждому из слагаемых правой части.

Пример.

Для уравнения частное решение ищем в виде:

.

Билет 20 Дифференциальные уравнения свободных колебаний

Спроектируем уравнение движения на ось X, при этом учтем, что сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена в сторону ему противоположную, а ускорение - это вторая производная координаты по времени. Тогда:

(1)

Преобразуем выражение (1) к виду

Введем обозначение (частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота), окончательно получим

(2)

Выражение (2) - это дифференциальное уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний.Решение уравнения (2) будем искать в виде:

(3)

Подставим (3) в (2) получим

Из полученного выражения найдем значения :

(4)

где Тогда

Билет 21 Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний

Второй закон Ньютона для осциллятора запишется в виде: . Если ввести обозначения: и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее дифференциальное уравнение:

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

,

где A,φ произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдем частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: и получим значение для константы:

Тогда окончательное решение запишется в виде:

Из анализа этого решения видно, что при частоте вынуждающей силы равной частоте свободных колебаний возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

Таким образом колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

Билет 22 Нормальная система дифференциальных уравнений

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

  Такая система имеет вид:

   (1)

  Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

  Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции   …  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки  этой области существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х₀ и удовлетворяющее начальным условиям

 

  Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

Билет 23 _системы линейных уравнений

О. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

В частности, система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

. (1) Можно использовать матричную запись такой системы, если ввести матрицы

. Тогда системе (1) эквивалентно матричное уравнение . (2) Если же рассмотреть линейный оператор , уравнение (2) примет вид:

. (3)

Так как оператор L обладает свойствами линейности:

1. L[cX] = cL[X];

2. L[X₁ + X₂] = L[X₁] + L[X₂],

то для решений линейной однородной системы (3) (при F = 0) справедливы те же свойства: если Х₁ и Х₂ – решения однородного уравнения (3) , то и их линейная комбинация будет решением того же уравнения.

Можно ввести понятие линейной зависимости решений Х₁, Х₂,…, Х_п:

О: Х₁, Х₂,…, Х_п , где

, называются линейно зависимыми при , если существуют числа α₁,α₂,…, α_п, не все равные нулю, что α₁Х₁ + α₂Х₂ +…+ α_пХ_п ≡ 0 (4) при . Если же тождество (4) справедливо только при всех α_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание. Назовем определителем Вронского для уравнения (23.4) определитель вида

, (5)

являющийся определителем системы уравнений, получаемых при координатной записи равенства (23.4). Можно показать, что так же, как и в случае решения линейного однородного уравнения, при W = 0 решения Х₁, Х₂,…, Х_п линейно зависимы на [a,b]. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 23.1. Линейная комбинация п линейно независимых решений линейной

однородной системы является общим решением этой системы.

Будем искать фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

(23.6)

в виде: , (23.7)

где α_i – постоянные. Подставив (23.7) в (23.6) и сократив на e^kt, получим:

. (23.8)

Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю:

, (23.9)

что представляет собой уравнение п – й степени относительно k, называемое характеристическим.Если все корни характеристического уравнения различны, то, подставляя их последовательно в систему (23.8), можно найти соответствующие им значения и тем самым п различных решений системы (23.6). Эти решения линейно независимы. Действительно, если бы существовали числа β₁, β₂,…, β_п такие, что

(*) (**) , то в силу линейной независимости функций из(*) следовало бы, что (**) для каждого i. Но поскольку хотя бы одно из не равно нулю, получаем, что все . Следовательно, найденные решения (23.7) линейно независимы, и общее решение системы имеет вид: , (23.10)

где c_i – произвольные постоянные.

Следовательно, общее решение системы имеет вид: .

В случае кратных корней характеристического уравнения решение системы (23.6) имеет вид

, где γ – кратность корня k_s.

Замечание. Для неоднородной системы (23.1) общим решением, так же как для неоднородного уравнения, будет сумма общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. При подборе частных решений справедлив принцип суперпозиции.

Билет 24 Кратные интегралы

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей (причем теми же символами будем обозначать и площади соответствующих частей) и выберем в каждой части точку Р_i (рис.1).

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P₁), f(P₂),…, f(P_n) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(P_i)ΔS_i : . (7.1)

О:. Сумма вида называется интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Замечание. С геометрической точки зрения (при ) интегральная сумма (7.1) представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями ΔS_i и высотами f(P_i).

Определение 7.2. Если существует один и тот же предел интегральных сумм (7.1) при и , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек P_i , то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается . (7.2)

Область D при этом называется областью интегрирования.

Замечание 1. Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости функции двух переменных можно по аналогии со случаем определенного интеграла ввести понятие верхней и нижней интегральных сумм, выбирая в каждой части области D точки, значение функции в которых является наибольшим и наименьшим для данной части. Тогда можно доказать, что необходимым и достаточным условием интегрируемости функции f(x, y) является, во-первых, ее ограниченность на D, а во-вторых, условие

(7.3)

где τ – некоторое разбиение, а S_τ и s_τ – соответственно верхняя и нижняя интегральные суммы. Замечание 2. если функция f(x, y) непрерывна на D, то она интегрируема по этой области.

Тройной интеграл.

Понятие тройного (а в дальнейшем – т-мерного) интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δv_i , считая объем каждой части равным Δv_i , и составим интегральную сумму вида , (7.10)

где точка P_i принадлежит Δv_i . Пусть ρ – наибольшее расстояние между двумя точками любой части области V.

Определение 7.3. Предел при интегральных сумм (7.10), не зависящий от способа разбиения области V, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V: (7.11)

Замечание 1. Условие непрерывности подынтегральной функции не является обязатель-ным для существования кратного (двойного, тройного и т.д.) интеграла, но исследование вопросов, связанных с интегрированием разрывных функций, выходит за рамки нашего курса.

Замечание 2. Все сформулированные ранее свойства двойного интеграла можно распространить на тройной интеграл.

Замечание 3. Подобным образом можно дать определение интеграла любой кратности, рассматривая функцию п переменных, заданную в замкнутой области п-мерного пространства.

Разберем вычисление кратных интегралов на примере тройного интеграла.

Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

. (9.1)

Трехкратный и двукратный интеграл обладают одинаковыми свойствами:

1. Если область V разбить на две области V₁ и V₂ плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям V₁ и V₂.

2. Трехкратный интеграл I_V от непрерывной функции f(x,y,z) по области V равен произведению его объема V на значение функции в некоторой точке Р области V:

Т: Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (9.3)

Замечание: изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного и двукратного интегралов.

Пример. Вычислим интеграл где V – треугольная пирамида с вершинами

точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость Оху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху – плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:

Множители, не зависящие от переменной интегриро-вания, можно вынести за знак соответствующего интеграла:

Билет № 25. Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе. См. Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Рассмотрим эти преобразования подробнее.

Цилиндрическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

Итого:

Билет № 26. Сферическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

Билет 27 _Геометрические приложения кратных интегралов

Двойной интеграл.

1. Площадь плоской области.Из формулы 7.1 следует, что при f(x,y) ≡ 0 предел интегральной суммы при равен площади области интегрирования S, то есть(1)

2. Объем цилиндроида.Рассмотрим тело, ограниченное частью поверхности S ( z = f(x,y) ), ограниченной контуром L, проекцией этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллель-ными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху. Такое тело будем называть цилиндроидом. Тогда из формул (7.1) и (7.2) получим, что объем этого тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области S: (2)

3. Площадь криволинейной поверхности.Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз (см. лекцию 12), что площадь элемента поверхности ΔS_i равна

где ΔD_i – проекция ΔS_i на плоскость Оху, γ – угол между осью Оz и нормалью к ΔS_i в некоторой ее точке Составив интегральную сумму

и устремив ее к пределу при , получим формулу для площади поверхности:

Тройной интеграл.

1. Объем тела.

Из определения 7.3 следует, что при f(x, y, z) ≡ 1 тройной интеграл по некоторой замкнутой области V равен объему тела V:

(1)

2. Масса тела.

Если γ = γ (x, y, z) – функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой

(2)

Билет 28 Механические приложения кратных интегралов

Двойной интеграл

Момент инерции плоской фигуры.Вспомним определение момента инерции

а) материальной точки М с массой т относительно точки О: I = mr² (r – расстояние от М до О);

б) системы материальных точек m₁, m₂,…, m_n относительно точки О:

Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской фигуры D.

у

ΔS_i D

η_i P_i

r_i

O ξ_i x

Рис. 1.

Найдем момент инерции фигуры D (рис.1) относительно начала координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем область D на части ΔS_i (i = 1, 2,… n) и выберем в каждой части точку P_i (ξ_i, η_i). Назовем элементарным моментом инерции площадки ΔS_i выражение вида ΔI_i = (ξ_i² + η_i²)ΔS_i и составим интегральную сумму

(1)

для функции f(x, y) = x² + y² по области D.

О:. Предел интегральной суммы (14.4) при называется моментом инерции фигуры D относительно начала координат:

(2)

О:. Интегралы

(3)

называются моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.

Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является некоторой функци-ей γ = γ(х, у), то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляет-ся по формуле(4)

Координаты центра масс плоской фигуры.

Как известно, координаты центра масс системы материальных точек P₁, P₂,…, P_n с масса-ми т₁, т₂,…, т_п определяются по формулам

.

Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью, равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь, что вся масса эле-ментарной площадки ΔS_i сосредоточена в какой-либо ее точке P_i (ξ_i, η_i). Тогда фигуру D можно рассматривать как систему материальных точек, центр масс которой определяется равенствами

.

Переходя к пределу при , получим точные формулы для координат центра масс плоской фигуры:

. (5)

В случае переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у) эти формулы примут вид

.

Тройной интеграл

1. Момент инерции тела.

Используя формулы для моментов инерции точки М (x, y, z) массы т относительно координатных осей:

и проводя те же рассуждения, что и при определении моментов плоской фигуры, можно задать моменты инерции тела относительно координатных осей в виде:

(6)

где γ (х, y, z) – плотность вещества.

2. Координаты центра масс тела.

Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской фигуры:

(7)

Билет № 29. Криволинейные интегралы первого и второго рода, его приложения(длина дуги, масса кривой, моменты инерции кривой, координаты центра масс кривой)

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δs_i длиной Δs_i и выберем на каждой из частей точку M_i. Составим интегральную сумму . Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой.

Определение 10.1. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек M_i, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

. (10.1)

Криволинейный интеграл 1-го рода.

1. Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

(14.14)

2. Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(14.15)

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области: - (14.16)

• статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

- (14.17)

• момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

- (14.18)

• моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

. (14.19)

Билет №30. Вычисление криволинейного интеграла первого рода при различном задании области определения(дуги кривой). Свойства криволинейного интеграла первого рода.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода:

1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой.

(10.2)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

,

где - координата точки M_i, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно,

= (10.3)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t₀ ≤ t ≤ T,

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

получим:

(10.4)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Билет№31. Криволинейный интеграл второго рода. Задача о работе силового поля .Интеграл в декартовой и векторной форме.

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку M_i и умножим значе-ние функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного инте-грала 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность x_i – x_i-1 = Δx_i. Составим из полученных произведений интегральную сумму .

Определение 10.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек M_i, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

. (10.5)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

,

то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

. (10.6)

Замечание. Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

,

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

2. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

(10.7)

Действительно, при этом изменяется знак Δx_i в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.

Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство

. (10.8)

Доказательство.

Запишем Δx_i = x_i – x_i-1 = φ(t_i) – φ(t_i-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(t_i) – φ(t_i-1) = φ΄(τ_i)Δt_i, где τ_i – некоторое значение t, заключенное между t_i-1 и t_i. Выберем точку М_i так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τ_i : M_i(φ(τ_i), ψ(τ_i), χ(τ_i)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:

.

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:

,

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что

(10.9)

Билет № 32. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода

от пути интегрирования.

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Рассмотрим некоторые характеристики скалярных и векторных полей.

Определение 11.1. Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то поверхность, определяемая уравнением

U(x, y, z) = C, (11.1)

называется поверхностью уровня. В двумерном случае линия уровня задается уравнением U(x, y) = C. (11.1`)

Определение 11.2. Если в некоторой области задано векторное поле , то кривая, направление которой в каждой ее точке М совпадает с направлением вектора в этой точке, называется векторной линией. Она задается уравнениями

(11.2)

Поверхность, составленная из векторных линий, называется векторной поверхно-стью. Если векторная поверхность образована векторными линиями, проходящими через каждую точку некоторой замкнутой кривой, то она называется векторной трубкой.

Определение 11.3. Пусть задано скалярное поле U(x, y, z). Вектор

(11.3)

называется градиентом величины U в соответствующей точке (см. лекцию 4 за 2-й семестр).

Замечание. Таким образом, скалярное поле U(x, y, z) порождает векторное поле градиента gradU.

Определение 11.4. Пусть дано векторное поле . Интеграл

(11.4)

называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль кривой L.

Здесь - скалярное произведение векторов и

Замечание. Иногда криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру обозначают .

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля ={x, xy, xyz} вдоль контура L:

x² + y² = 9, z = 2 (направление обхода контура – от точки (3,0,2) к точке (0,3,2)).

Зададим контур L параметрически: x = 3cos t, y = 3sin t, z = 2 (0 ≤ t ≤ 2π). Тогда

Формула Грина.

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями

y = y₁(x) и y = y₂(x), y₁(x) ≤ y₂(x), a ≤ x ≤ b (рис.1).

y

P

y=y₂(x)

M D N

y=y₁(x)

Q

O a b x

Рис. 1.

Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имеющие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл

.

Переходя к двукратному интегралу, получим:

(11.5)

Так как у = у₂(х) – параметрическое выражение кривой МPN, то

где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MPN. Аналогично получаем, что

.

Подставим полученные результаты в формулу (11.5):

(11.6)

так как контур L представляет собой объединение кривых MPN и NQM.

Так же можно получить, что (11.7)

Вычтем из равенства (11.6) равенство (11.7):

При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:

(11.8)

Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.

Замечание 1. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки.

Замечание 2. Если рассматривать в плоскости Оху векторное поле {P(x,y), Q(x,y)}, то в правой части формулы (11.8) стоит его циркуляция по контуру L.

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода

от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L – кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

Q

• М • N Рис. 1.

P

Предположим, что, то есть

Тогда , где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Билет №34. Поверхностный интеграл первого род(по площади поверхности).Приложения(масса материальной поверхности, координаты центра тяжести, моменты, площадь искривленной поверхности).

Рассмотрим незамкнутую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S₁, S₂,…, S_n. Выберем в каждой части точку M_i и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проек-ции плоскую фигуру с площадью T_i. Назовем ρ наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.

Определение 12.1. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей T_i при

:

. (12.1)

Поверхностный интеграл первого рода.

Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S₁, S₂,…, S_п (при этом площадь каждой части тоже обозначим S_п). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части S_i точку M_i (x_i, y_i, z_i) и составим интегральную сумму

. (12.2)

Определение 12.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы (12.2), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M_i, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функ-ции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

. (12.3)

Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).

Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.

Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 12.2 следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.

Если же считать, что f(M) задает плотность в точке М поверхности S, то масса этой поверхности равна

. (12.4)

Приложение поверхностного интеграла 1-го рода.

1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в виде:

(14.21)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

2. Масса поверхности

(14.22)

3. Моменты:

- (14.23)

• статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

- (14.24)

• моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

- (14.25)

• моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

- (14.26)

• момент инерции поверхности относительно начала координат.

4. Координаты центра масс поверхности:

. (14.27)

Билет №35. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода(сведение его к кратному).

Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравне-нием вида z = φ(x, y). При этом из определения площади поверхности следует, что

S_i = , где Δσ_i – площадь проекции S_i на плоскость Оху, а γ_i – угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в точке M_i. Известно, что

,

где (x_i, y_i, z_i) – координаты точки M_i. Cледовательно,

.

Подставляя это выражение в формулу (12.2), получим, что

,

где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху, являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.1).

z

S: z=φ(x,y)

S_i L

O

y

Δσ_i Ω

x

Рис. 1.

При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области, которая в пределе при дает двойной интеграл Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла:

(12.5)

Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (12.5) стоит поверхностный интеграл, а в правой – двойной.

Билет № 36. Поверхностный интеграл второго рода. Поток векторного поля. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

Поток векторного поля.

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода

, (13.1)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а А_п – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Замечание 1. Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.

Замечание 2. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).

Поверхностный интеграл второго рода.

Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по аналогии с соответ-ствующим криволинейным интегралом. Рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность S, заданную уравнением z = z(x, y), в каждой точке которой определена функция f(M) = f(x, y, z), и выберем какую-либо из ее сторон (или, что то же самое, определенную ориентацию). Разобьем поверхность S на части S₁, S₂,…, S_п, выберем в каждой части S_i точку M_i(x_i, y_i, z_i), и умножим f(M_i) на площадь D_i проекции части S_i на плоскость Оху. При этом будем считать, проекция части верхней по отношению к плоскости Оху стороны рассматриваемой поверхности имеет знак «+», а нижней – знак «-». Составим сумму

. (13.2)

Определение 13.4. Если существует конечный предел суммы (13.2) при ρ→0, не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называет-ся поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной сто-роне поверхности S и обозначается

(13.3)

Замечание. В этой символической записи не содержится указания на то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно.

Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плос-кости Оxz и Оyz (при условии, что уравнение поверхности можно представить в виде y = y(x, z) или x = x(y, z) ). Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:

и . (13.4)

Рассмотрев сумму интегралов вида (13.3) и (13.4) по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:

(13.5)

Поверхностный интеграл 2-го рода представляет собой поток векторного поля через выбранную сторону поверхности S.

Отметим основное свойство поверхностного интеграла 2-го рода:

При замене рассматриваемой стороны поверхности на противоположную поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак: (13.6) Справедливость этого утверждения следует из определения 13.4.

Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.

Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности S в виде п = {cos α, cos β, cos γ}, где α, β, γ – углы, образованные нормалью с осями координат, то (выбор знака зависит от направления нормали). Тогда из (13.2), (13.3) следует, что

. (13.7)

Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Оху, а выражение для dS взято из формулы (12.5). Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области D от функции f, в которую вместо координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности S. Обобщая эти рассуждения, получим, что

(13.8)

где D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости.

Пример. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода где S – нижняя сторона части конуса при

Применим формулу (13.7), учитывая, что выбрана нижняя сторона поверхности и что проекцией части конуса на плоскость Оху является круг :

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.

Учитывая, что проекции элемента поверхности S_i на координатные плоскости имеют вид S_icosγ, S_icosβ, S_icosα, из (13.5) получим:

, (13.9)

где векторное поле , а - векторное поле единичных нормалей заданно-го направления в каждой точке поверхности. Следовательно, поверхностный интеграл 2-го рода (13.5) равен поверхностному интегралу 1-го рода (13.9). Эта формула предо-ставляет еще одну возможность вычисления поверхностного интеграла 2-го рода. Заметим, что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие косинусы нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства (13.9), который сам по себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от выбора стороны поверхности не зависит.

Пример. Рассмотрим интеграл , где S – внешняя сторона верхней половины сферы x² + y² + z² = R². Так как радиус сферы, проведенный в любую ее точку, можно считать нормалью к сфере в этой точке, единичный вектор нормали можно задать в виде п = . Тогда, используя формулу (13.9), получаем, что требуется вычислить поверхностный интеграл 1-го рода

(Область D – круг с центром в начале координат радиуса R).

Билет 37 Векторное поле.Виды.

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор.Когда исходное пространство — евклидово (конечномерное линейное пространство со скалярным произведением), понятие векторного поля становится наглядным, и тогда векторное поле интерпретируется как способ задания движений некоторой динамической системы: вектор в данной точке описывает направление и скорость движения изображающей точки по фазовой кривой.Векторное поле, заданное на евклидовом пространстве, соответствует полю направлений, где каждой точке пространства сопоставляется некоторая прямая, проходящая через данную точку.Точка пространства, в которой векторное поле равно нулю, называется особой точкой векторного поля. В этом случае направление движения не определено, и соответствующая фазовая кривая вырождается в точку.В более общем случае, когда исходное пространство является многообразием, векторное поле — это сечение касательного расслоения к данному многообразию.В физике термин векторное поле кроме общего значения, описанного выше, имеет специальное значение, в основном в отношении фундаментальных полей (см. ниже). Смысл этого употребления сводится к тому, что фундаментальные физические поля классифицируются по природе их потенциала, и один из таких типов — векторные поля (как электромагнитное или глюонное поля).

Виды векторных полей

1.Векторные поля на прямой. Любую вещественнозначную функцию вещественного переменного можно интерпретировать как одномерное векторное поле. 2.Векторные поля на плоскости. Если  — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид , то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

3.Векторные поля в трёхмерном пространстве

Если — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид , то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

Билет№38. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля.

Формула Гаусса-Остроградского.

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

z

S₂ (z=f₂(x,y))

S₃

V

S₁ (z=f₁(x,y))

O y

x D

Рис. 1.

Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S₁, заданную уравнением z = f₁(x, y), S₂ ( z = f₂ (x, y) ) и S₃ – цилиндрическую поверхность с образующей, параллель-ной оси Oz (рис.1).

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S₁

cos(n, z) < 0, на S₂ cos(n, z) > 0, a на S₃ cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

,

.

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S₁ и области D связаны соотношением dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

Таким же образом можно получить соотношения

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

(15.1)

Воспользовавшись формулой 13.9, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

(15.2)

где запись «S⁺» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

Дивергенция векторного поля.

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение 15.1. Дивергенцией векторного поля A = {A_x, A_y, A_z}, где A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется

. (15.3)

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция харак-теризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (15.1) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля {P, Q, R}, а в правой – поток этого вектора через ограни-чивающую тело поверхность S:

(15.4)

Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы коор-динат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограни-ченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (15.4) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

. (15.5)

Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.

Билет№39. Формула Стокса. Ротор векторного поля.

Формула Стокса.

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

, ,

.

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:

z .

n

σ

λ

O y

D

x L

Рис. 2.

Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:

=.

Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

и подставим его в предыдущее равенство:

. Тогда

= Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (13.7) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхно-сти σ:

так как . Следовательно, окончательный результат преобразований выглядит так:

=.

При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.2).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотношения:

=,

=.

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, уста-навливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориен-тации поверхности:

(15.6)

Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.

Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)), можно записать формулу Стокса в ином виде:

. (15.7)

Ротор векторного поля.

Определение 15.2. Ротором или вектором вихря векторного поля A = {A_x, A_y, A_z}, где A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

. (15.8)

Замечание 1. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке.

Замечание 2. Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид:

, (15.9)

то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, натянутую на данный контур.

Замечание 3. Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Приме-няя формулу Стокса, получим:

Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в пределе, что

.

Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не зависит от выбора координатной системы.

Билет №40. Сумма ряда. Сходимость. Ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Основные свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Определение

Если дана бесконечная последовательность чисел , , ,..., то выражение вида

(1)

называется числовым рядом; числа , , ,...– членами (элементами) ряда, – общим членом ряда, если не зафиксировано.

2. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ

Если дан ряд (1), то сумма первых n членов этого ряда называется ой частичной суммой и обозначается через . Следовательно, суммы

– 1-ая частичная сумма;

– 2-ая частичная сумма;

– 3-ая частичная сумма;

 – ……………………….

– ая частичная сумма;

... – ……………………….

образуют последовательность частичных сумм , , ..., , ...

Определение

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть . При этом число называется суммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм не имеет конечного предела при , то этот ряд называется расходящимся.

3 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

1. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный отбрасыванием из него любого конечного числа членов.

2. Пусть даны ряды , и . Если оба ряда и сходятся, а их суммы соответственно равны и , то сходится и ряд , причем его сумма равна .

3. Если ряд сходится и имеет сумму , то сходится и ряд , причем его сумма равна числу , где .

4. Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, не изменяющей порядок расположения членов ряда, и суммы этих рядов одинаковы. К примеру, если сходится и его сумма равна , то ряд

также сходится, и его сумма равна .

Эти свойства доказываются с помощью определения сходящихся рядов. Для примера докажем второе свойство.

Пусть , ,

, ,

.

Очевидно, что при любом . Тогда , что доказывает рассматриваемое свойство.  (данный знак будет означать окончание доказательства теорем).

4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА

ТЕОРЕМА 1

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , т.е. .

Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Для любого частичная сумма

.

Тогда _. 

Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.