mat_analiz_tipovik

121

Формула

f(x) = f(x0) + f′(x0)(x − x0) + f′′(x0)(x − x0)2 + · · · + 2!

+f(n)(x0)(x − x0)n + Rn(x). n!

называется формулой Тейлора для функции f(x) в точке x0. Пусть функция f(x) имеет непрерывную (n + 1)-ю производ-

ную. Тогда

Rn(x) = f(x) − P (x) = o ((x − x0)n) .

Напомним, что через

n

функция, име-

o ((x − x0) ) обозначается

n,2т.е. такая

ющая более высокий порядок малости, чем (x − x0-)

функция, что

o ((x − x0)n)

lim

= 0.

(x − x0)n

x→x0

В этом случае формула Тейлора имеет вид

Кафедра

f

′′(x0)

f(x) = f(x

) + f′(x

)(x

−

x

) +

2!

ÂÌ(x x )2 +

· · ·

+

0

0

0

− 0

+

f(n)(x0)

(x − x0)n + o ((x − x0)n) .

n!

Это равенство называется формулой Тейлора с остаточным

членом в форме Пеано.

ÌÃÒÓ

Пусть при всех

x (x0−δ; x0+δ)

существует

-я производ-

íàÿ f

(n+1)

МИРЭА(n+1)

(x). Тогда для любого x существует точка ξ, лежащая

между x0 è x, такая, что

Rn(x) =

f(n+1)(ξ)

(x − x0)n+1.

(n + 1)!

Используя это представление остаточного члена, получаем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

f(x) = f(x

) + f′(x

)(x

−

x

) +

f′′(x0)

(x

−

x

)2 +

· · ·

+

0

0

0

2!

0

+

f(n)(x0)

(x − x0)n +

f(n+1)(ξ)

(x − x0)n+1.

n!

(n + 1)!

122

Из формулы Тейлора при x → x0 получается приближ¼нная формула

f(x) ≈ f(x0) + f′(x0)(x − x0) + f′′(x0)(x − x0)2 + · · · + 2!

f(n)(x0)

+

(x − x0)n,

n!

которая дает возможность приближ¼нного нахождения значе-

ний функции f(x) для значений x близких к x0.

-

Пусть известно, что (n + 1)-я производная ограничена:

Тогда из формулы Тейлора с остаточным членом в форме

f(n+1)(x)

< M.

ÂÌ

2

Лагранжа получаем оценку погрешности

МИРЭА

M

|f(x) − P (x)| <

(x − x0)n+1.

(n + 1)!

Кафедра

8.3. Формула Тейлора для некоторых элементарных

функций

Рассмотрим некоторые элементарные функции и найд¼м для

ÌÃÒÓ

них многочлены Тейлора при x0 = 0.

x. Все производные этой функции совпадают с ней:

1. f(x) = e

f(k)(x) = ex, следовательно, коэффициенты Тейлора в точке x0 =

0 равны

f(k)(0)

e0

1

a =

=

=

, k = 0, 1, 2, . . . , n.

k

k!

k!

k!

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

ex = 1 + x +

x2

x3

xn

+

+ · · · +

+ Rn(x).

2!

3!

n!

2. f(x) = sin x. Е¼ производные чередуются в таком порядке:

f′(x) = cos x, f

′′(x) =

−

sin x, f′′′(x) =

−

cos x, f(4)

(x) = sin x,

123

а затем цикл повторяется. Поэтому при также возникает повторение:

f(0) = sin 0 = 0, f′(0) = cos 0 = 1, f′′(0) = − sin 0 = 0,

f′′′(0) = − cos 0 = −1, f(4)(0) = sin 0 = 0,

и, следовательно, все производные с ч¼тными номерами равны 0, а производные с неч¼тными номерами равны 1.

Получаем формулу Тейлора для синуса:

Аналогичным образом выводятся разложения по формуле Тейлора других элементарных функций. Приведем часто используе-

sin x = x

−

x3

+

x5

+

· · ·

+ (

−

1)k−1

x2k−1

+ R

(x).

3!

2k

5!

(2k

−

1)!

2

-

Заметим, что можно записать остаточный член R2k(x) вместо

R2k−1(x), поскольку слагаемое порядка 2k равно 0.

ÂÌ

мую таблицу основных разложений.

ex = 1 + x +

x2

x3

xn

+

+ · · · +

+ Rn(x).

2!

3!

n!

sin x = x

x3

+

x5

x7

+

+ (

1)k−1

x2k−1

+ R

(x).

−

3!

5! −

7!

· · ·

−

2k

(2k

−

1)!

x2

x4

x6

x2k

МИРЭА+ R2k+1(x).

cos x = 1

−

+

−

+ · · · + (−1)k

2!

4!

6!

(2k)!

x2

x3

x4

+ · · · + (−1)n−1

xn

ln(1 + x) = x −

+

−

+ Rn(x).

2

3

4

n

(1 + x) = 1 + αx +

α(α − 1)

x2 +

α(α − 1)(α − 2)

x3

+

· · ·

+

2!

3!

+

Кафедраα(α − 1) . . . (α − n + 1)

xn + Rn(x).

n!

1

2

3

n

=ÌÃÒÓ1 + x + x + x + · · · + x

+ Rn(x).

1

−

x

1

= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)nxn + Rn(x).

1 + x

124

x3

x5

x7

x2k−1

sh x = x +

+

+

+ · · · +

+ R2k(x).

3!

5!

7!

(2k

−

1)!

x2

x4

x6

x2k

ch x = 1 +

+

+

+ · · · +

+ R2k+1(x).

2!

4!

6!

(2k)!

Отметим, что формулу Тейлора ïðè x0 = 0 часто называют формулой Маклорена.

8.4. Применение формулы Тейлора

2

Рассмотрим основные типы задач, связанные с формулой Тей-

ëîðà.

-

ÂÌ

МИРЭА

8.4.1. Разложение функций по формуле Тейлора в

окрестности точки x0

Пример 8.1. Разложить функцию f(x) = xex2 в окрестности

точки x0 = 0.

точки x0 =Кафедра1.

Решение: Напишем разложение для экспоненты

ez = 1 + z +

z2

z3

zn

2!

+

3!

+ · · · +

n!

+ Rn(z)

и положим в н¼м z = x2:

x

2

2

x4

x6

x2n

2

e

= 1 + x

+

2!

+

3!

+ · · · +

n!

+ Rn(x

).

1ÌÃÒÓ1 1

1

Умножим левую и правую части этой формулы на x:

2

x5

x7

x2n+1

xex

= x + x3

+

2!

+

3!

+ · · · +

n!

+ R2n+2(x).

Пример 8.2. Разложить функцию f(x) =

1

в окрестности

7x + 2

Решение: Проведем вспомогательные преобразования заданной

функции с целью выделения степени разложения (x

− 1)

f(x) =

=

=

·

.

7x + 2

7(x

−

1) + 9

9

7

(x − 1)

+ 1

9

												125
Далее, используя разложение функции
						1		= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)nxn + Rn(x),
						1 + x
получаем
1						1				1		7				7				2
		·							=		· {1 −		(x − 1) +			[		(x − 1)] + · · · +
	9			7	(x	−	1) + 1			9		9					9
9
																			n
												7
												+(−1)n [				(x − 1)] } + Rn(x − 1).
														9
																				2
						8.4.2. Вычисление пределов (раскрытие
										неопределенностей)										-

Разбер¼м теперь пример того, как полученные разложения эле-

ментарных функций можно использовать для раскрытия некото-

ÂÌ

рых неопредел¼нностей.

Пример 8.3. Вычислить lim

sin x − x

x→0

x3 .

Решение: Запишем формулу Тейлора для f(x) = sin x:

x3

МИРЭА

sin x = x −

+ o (x4) .

3!

Отсюда

x3

4

Кафедра

− x

lim

sin x

x

= lim

(x −

3! + o

x

)

=

x3−

x3

( )

x→0

x→0

ÌÃÒÓ

1

o x4

1

1

+

=

= .

= lim

[−

3!

x3

−3!

x 0

)

]

6

→

(

126

8.4.3. Приближенные вычисления

Задачи, связанные с приближенными вычислениями уже были рассмотрены в разделе 4.2. Формула Тейлора дает возможность оценить погрешность в таких вычислениях. Это связано с оценкой остаточного члена.

Пример 8.4. Оценить точность приближенного вычисления

√

в разделе 4.2.

-2

3,996

ÂÌ

МИРЭА

Решение: Рассмотрим функцию f(x) = √x. Запишем формулу

Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

f(x) = f(x

) + f′

(x

)(x

−

x

) + f′′(ξ)

(x

−

x

)2,

0

0

0

2!

·

0

Кафедра

ãäå ξ некоторая точка, лежащая между x0

= 4 è x. Следова-

тельно, погрешность в приближенном равенстве

f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f′(x0)∆x

не превосходит

2

0,0042

|Rn(x)| =

(ξ)

=

1

1

1

f′′

(x − x0)2

·

4ξ√

·

(∆x)2

<

·

3,99√

<

2!

2

ξ

8

3,99

1

0,004

<

·

< 0,0000003.

8

3,99

1,9

Таким образом, имеем
√3,996 =			√4ÌÃÒÓ− 0,004 ≈ √4 + √ = 1,999 ± 0,0000003.
							1

2 4

		127
		СОДЕРЖАНИЕ
	Теоретические вопросы к экзамену (зачету) . . . . . . . .			. . .	. . . . . . . .	. 3
	Введение . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . . . .	.5
	Практические задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . .	. 7
	Приложение . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . .	57
	1. Теория пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . .	59
	1.1. Определение предела функции . . . . . . .		. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . . .	59
	1.2. Основные теоремы о пределах . . . . . . . .		. . . . . . . . . . .	. . .	2. . . . . . .	61
	1.3. Элементарные методы вычисления предела					62
				-. . . . . . . . . .
	1.4. Первый и второй замечательные пределы					64
				. . .	. . . . . . .
	1.5. Бесконечно малые функции . . . . . . . . . . .		ÂÌ. . . . . . . . . . . . . .		. . . . . .	65
			МИРЭА
	1.6. Эквивалентные бесконечно малые функции . . . . .			. . .	. . . . . . .	66
	1.7. Применение эквивалентных бесконечно малых к
	вычислению пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	69
	2. Непрерывность функции . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	70
	2.1. Определение непрерывности функции. Свойства
	Кафедра
	непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	70
	2.2. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . .	71
	2.3. Точки разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	71
	3. Дифференцирование функции одной переменной . . .74
	3.1. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	74
	3.2. Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	74
		ÌÃÒÓ
	3.3. Дифференцирование сложной функции . . . . . . . . . .			. .	. . . . . . .	76
	3.4. Вычисление логарифмической производной . . . . . .			. .	. . . . . . .	77
	3.5. Вычисление производной функции, заданной
	параметрически . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . .	78
	3.6. Вычисление производной функции, заданной неявно . . . . . .					78
	3.7. Производные высших порядков . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	79
	3.8. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	80
	4. Приложения производной . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	82
	4.1. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . .	82
	4.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
	85
	4.3. Прикладные задачи на использование производной				. . . . . . .	87

128

4.3.1. Мгновенная скорость при прямолинейном движении . . . . 87 4.3.2. Мощность и напряжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.3. Переходный процесс в линейной электрической цепи . . . .89 4.4. Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5. Исследование функции: возрастание, убывание,
экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . .	. .	95
5.1. Признаки возрастания и убывания функции на интервале 95
5.2. Экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . .	. . .	2. . . . . . . .		96
6. Исследование функции: выпуклость и вогнутость,
асимптоты				-		103
			. . . . . . . . . .	. . .	. . . . . .
6.1. Выпуклость и вогнутость графика функции . . . .				. . .	. . . . . .	103
6.2. Точки перегиба			ÂÌ			105
			. . . . . . . . . .	. . .	. . . . . .
6.3. Асимптоты графика функции . . . . . . . . .			. . . . . . . . . .	. . .	. . . . . .	109
7. Общая схема исследования функции и построение
графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . .	.112
8. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . .	.120
8.1. Многочлен Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . .	. 120
8.2. Остаточный член в формуле Тейлора .			. . . . . . . . . .	. . .	. . . . . .	120
8.3. Формула Тейлора для некоторых элементарных функций 122
8.4. Применение формулы Тейлора . . . . . . . .			. . . . . . . . . .	. . .	. . . . . .	124
8.4.1. Разложение функций по формуле Тейлора в окрестности
точки	x0	Кафедра МИРЭА
		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . .	. 124
8.4.2. Вычисление пределов (раскрытие неопределенностей)						. 125
		ÌÃÒÓ
8.4.3. Приближенные вычисления . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	. . .	. . . . .	.126