МЕТОДИЧКА ПО MAPLE и MATHCAD

111

Тригонометрические функции

sin(z)	Возвращает синус
cos(z)	Возвращает косинус
tan(z)	Возвращает тангенс, z n* /2
csc(z)	Возвращает 1/sin(z), z n*
sec(z)	Возвращает 1/cos(z), z n* /2
cot(z)	Возвращает 1/tan(z), z n*
Обратные тригонометрические функции
asin(z)	Возвращает угол (в радианах), чей синус - z
acos(z)	Возвращает угол (в радианах), чей косинус - z
atan(z)	Возвращает угол (в радианах), чей тангенс - z

Гиперболические функции

Гиперболические функции sinh и cosh определяются формулами

sinh(z) exp(z) exp( z),

	2
cosh(z)		exp(z) exp( z)
sinh(z)	2
		Возвращает гиперболический синус
cosh(z)		Возвращает гиперболический косинус
tanh(z)		Возвращает гиперболический тангенс sinh(z)/cosh(z)
csch(z)		Возвращает гиперболический косеканс 1/sinh(z)
sech(z)		Возвращает гиперболический секанс 1/cosh(z)
coth(z)		Возвращает гиперболический котангенс 1/tanh(z)
asinh(z)		Возвращает число, чей гиперболический синус- z
acosh(z)		Возвращает число, чей гиперболический косинус- z
atanh(z)		Возвращает число, чей гиперболический тангенс- z
Логарифмические и показательные функции
exp(z)	Возвращает е в степени z
ln(z)	Возвращает натуральный логарифм z z 0
log(z)	Возвращает логарифм по основанию 10 z 0
Функции Бесселя

Функции Бесселя первого Jn(x) и второго рода Yn(x) порядка n, являются решениями для дифференциального уравнения

x2	d2	y x	d	y (x2 n2)y 0
	dx2
			dx

Модифицированные функции Бесселя первого In(x) и второго рода Kn(x) порядка n, являются решениями для дифференциального урав-

						112
нения
x2	d2	y x		d	y (x2 n2)y 0
	dx2			dx
J0(x)			Возвращает J0(x),			x	вещественный
J1(x)			Возвращает J1(x),			x	вещественный
Jn(m,x)			Возвращает Jm(x), x				вещественный 0 m 100
Y0(x)			Возвращает Y0(x),			x	вещественный
Y1(x)			Возвращает Y1(x),			x	вещественный
Yn(m.x)			Возвращает Ym(x), x>0				вещественный 0 m 100
I0(x)			Возвращает I0(x),			x	вещественный
I1(x)			Возвращает I1(x),			x	вещественный
In(m,x)			Возвращает Im(x)			x	вещественный 0 m 100
K0(x)			Возвращает K0(x), x>0				вещественный
K1(x)			Возвращает K1(x),			x>0	вещественный
Kn(m,x)			Возвращает Km(x), x>0				вещественный 0 m 100
Функции усечения и округления
floor(x)				Возвращает наибольшее целое число x, x вещественно
ceil(x)				Возвращает наименьшее целое число x, x вещественно

mod(x,y) Возвращает остаток о деления x на y. Результат имеет тот же знак, что и x.

Функции дискретного, быстрого преобразования Фурье

Преобразование Фурье в вещественной области

Для вещественного вектора с 2m элементами можно применять пару функций fft / ifft .

fft(x) - возвращает дискретное преобразование Фурье 2m- мерного вектора x.

ifft(x) - возвращает обратное дискретное преобразование Фурье.

Преобразование Фурье в комплексной области

cfft(A) - возвращает дискретное преобразование Фурье комплексных вектора или матрицы. Возвращаемый массив имеет ту же размерность, что и массив аргумента А.

icfft(A) - возвращает обратное дискретное преобразование Фурье. Возвращаемый массив имеет ту же размерность, что и массив аргумента А.

Примечание:

Если в Вашей программе нумерация элементов вектора (матрицы) начинается с 1, а не c нуля, то необходимо переопределить значение предопределенной переменно ORIGIN задав ей значение 1.

113

Функции сортировки

sort(x) Возвращает элементы вектора x, отсортированные в порядке возрастания

csort(A,n) Сортирует строки матрицы А таким образом, чтобы расположить элементы в столбце n в порядке возрастания

rsort(A,n) Сортирует столбцы матрицы А таким образом, чтобы расположить элементы в строке n в порядке возрастания

reverse(A) Обращает порядок элементов вектора или строк матрицы

Статистические функции

mean(A) Возвращает среднее значение элементов массива А размерности n m согласно формуле

				1	n	m
	mean(A)				Ai, j
				nm i 0		j 0
me-	Возвращает медиану массива А
dian(A)
var(A)	Возвращает дисперсию элементов массива
	А размерности n m согласно формуле
		1	n m
	var(A)		Ai,j			mean(A) 2
		nm
			i 0j 0
stdev(A)	Возвращает среднеквадратическое откло-
	нение

stdev(A) var(A)

corr(A,B) Возвращает коэффициент корреляции двух массивов А и В

cvar(A,B) Возвращает ковариацию элементов массивов А и В размерности n m согласно формуле

		1	n	m
	сvar(A)		Ai, j mean(A) Bi, j mean(B)
		nm
			i	0j 0

Функции распределения

Эти функции возвращают вероятности того, что случайная величина меньше или равна определенному значению

pbeta(x,s1,s2) Возвращает функцию бета - распределе-

rF(n,d1,d2) rnorm(n,m,s)

rt(n,d)

rnd(x)

rcauchy(n,l,s)

rexp(n,r)

rchisq(n,d)

114

ния с параметрами s1,s2>0

pchisq(x,d) Возвращает функцию распределения хиквадрат, в которой d>0 число степеней свободы

pexp(x,r) Возвращает функцию экспоненциального распределения r>0

pF(x,d1,d2) Возвращает функцию F- распределения d1,d2>0 - числа степеней свободы

pnorm(x,m,s) Возвращает функцию нормального распределения со средним m и среднеквадратическим отклонением s

pt(x,d) Возвращает функцию распределения Стьюдента d>0 -число степеней свободы pcauchy(x,l,s) Возвращает функцию распределения Ко-

ши l,s>0

Случайные числа

rbeta(n,s1,s2) Возвращает вектор n случайных чисел имеющих бетараспределение s1,s2>0 Возвращает вектор n случайных чисел имеющих хи-квадрат распределение d>0 Возвращает вектор n случайных чисел имеющих экспоненциальное распределение r>0

Возвращает вектор n случайных чисел имеющих F- распределение d1,d2>0 Возвращает вектор n случайных чисел имеющих нормальное распределение со средним m и среднеквадратическим отклонением s

Возвращает вектор n случайных чисел имеющих распределение Стьюдента d>0 Возвращает случайное число, равномерно распределенное на интервале [0,x] Возвращает вектор n случайных чисел имеющих распределение Коши l,s>0

Векторы и матрицы

По определению вектор есть столбец, а матрица таблица составленные из упорядоченной последовательности чисел, следовательно, элементы вектора или матрицы можно рассматривать, как функции

115

дискретных аргументов задающих его положение в столбце или таблице. Примечание:

Mathcad нумерует, по умолчанию элементы векторов и матриц начиная с нуля. Если нумерация элементов вектора или матрицы в Вашей программе начинается с 1, то необходимо переопределить значение предопределенной переменно ORIGIN задам ей значение 1.

Определение дискретного аргумента

Чтобы задать дискретный аргумент следует набрать его имя и затем присвоить ему с помощью знака := (для чего после имени дискретного аргумента следует набрать двоеточие) диапазон его значений. В простейшем случае, когда дискретный аргумент меняется с шагом 1 (как в случае вектора или матрицы) задать диапазон значений можно следующим образом:

набрать первое значение диапазона,набрать знак точка с запятой (;).набрать последнее значение диапазона,

в результате выполнения указанной последовательности операций на экране должна появиться запись подобная одной из следующих

i:=0..9, j:=9..1, k:=-9..0, l:=0..-9 start:=1 end:=10 ii:=start..end.

Если шаг дискретного аргумента отличен от единицы, то его область значений можно задать следующим образом:

набрать первое значение диапазона,набрать знак запятая,набрать второе значение диапазона,набрать знак точка с запятой,

набрать последнее значение диапазона, в результате выполнения указанной последовательности операций на

экране должна появиться запись подобная одной из следующих i:=0,1.23..12.3, j:=10,9.3..0.2

start:=1 step:=0.23 end:=3.3 i:=start,start+step..end

Создание вектора и матрицы

Вектор или матрицу можно создать следующими способами:заполнив массив пустых полей,с помощью дискретного аргумента

считыванием массива из файла данных.

Для того чтобы создать вектор или матрицу посредством запол-

116

нения пустых полей необходимо выполнить следующую последовательность операций:

набрать имя вектора или матрицы,набрать знак присвоение (;),войти в меню Insert, подменю Matrix

и набрать в окошке Rows число строк матрицы, а в окошке Columns - число столбцов, после чего следует нажать кнопку Create. При создании вектора в окошке Columns следует ввести 1.

Альтернативный способ создания:

нажмите иконку с изображением матрицы , после чего появится палитра матричных и векторных операций,

в палитре операций нажмите кнопку с изображением матрицы, после чего появится подменю Insert Matrix.

В результате выполнения указанной последовательности операций на экране должно появиться изображение подобное одному из следующих

,

M

:

,

x:

введя, в соответствующие места внутри скобок численные значения для элементов матрицы получим, например

	1		2	21.	05.					1
		32.	4	1						0
M:					072.		,	x:=
		6	1	083.	0
										21.
			1	0	12.
	24.									3

117

Для того, что бы создать матрицу или вектор с помощью дискретного аргумента необходимо выполнить следующие операции:

задать дискретные аргументы (для вектора один, для матрицы

два),

набрать имя элемента матрицы (вектора) (он совпадает с именем матрицы (вектора)) нажать клавишу ( [ ) (открывающая прямоугольная скобка) и набрать номер строки (для вектора) или через запятую номер строки и столбца для матрицы,

набрать знак присвоения ( ; ),набрать числовое значение соответствующее данному элемен-

ту матрицы (вектора).

В результате выполнения указанной последовательности операций на экране должна появиться запись подобная одной из следующих

i:1..10

j:1..10

M1,1: 1 M1,2: 2	x1: 1	x2: 0 .......
..........................

Примечание:

Данный способ задания матрицы (вектора) следует использовать в том случае, когда численные значения матрицы (вектора) можно задать с помощью функции зависящей от дискретного аргумента, например

i: 1..10j : 1..10

hx := 0.1 hy := 0.2

f(x,y):= sin(x+ y) Mi,j : f(hx i,hy j),

где f(x,y)- любая допустимая в Mathcad функция.

Векторные и матричные операторы

Введем обозначения
А, В матрицы,
М	квадратная матрица,
x, y	векторы,
z	скаляр
Операция		Обо-	Кла-	Описание
		зна-	виши
Умножение		чение	*	Умножает каждый эле-
		A z

118

матрицы

на

мент А на скаляр

скаляр

Скалярное

x y

*

Возвращает xi yi. Век-

произведение

торы должны быть од-

ной размерности

Умножение

A B

*

Возвращает

произведе-

матриц

ние

матриц.

Число

столбцов А должно быть

равно числу строк В

Умножение

*

Возвращает

произведе-

матрицы

на

A x

ние матрицы на вектор.

вектор

Результат - вектор. Чис-

ло столбцов матрицы А

должно совпадать с раз-

мерностью вектора

Деление мат-

A

/

Делит

каждый

элемент

рицы на ска-

матрицы на скаляр z.

z

ляр

Сложение

A+B

Складывает

(вычитает)

(вычитание) A-B

одноименные

элементы

векторов

матриц А и В.

(матриц)

Скалярная

A+z

+

Добавляет (вычитает) из

сумма

(раз-

A-z

-

каждого

элемента

мат-

ность)

рицы скаляр z.

Изменение

-A

-

Меняет знак перед каж-

знака

дым элементов матрицы

Mn

А.

Степени мат-

^

Возвращает n-ю степень

рицы,

обра-

M-1

квадратной матрицы М,

щение

мат-

n - целое число. М-1-

рицы

матрица

обратная

мат-

рице М.

Длина

векто-

|x|

|

Возвращает длину

век-

ра

тора х. Корень квадрат-

ный из скалярного про-

АT

изведения хТ х

Транспони-

[Ctrl] 1

Возвращает

транспони-

рование

мат-

рованную матрицу

			119
рицы
Определи-	|М|	|	Возвращает	определи-
тель матрицы			тель квадратной матри-
			цы М.
Векторное	x y	[Ctrl] 8	Возвращает	векторное
произведение			произведение для векто-
			ров с тремя элементами
Комплексное	A	«	Меняет знак	мнимой
сопряжение			части каждого элемента
			на обратный
Векторные и матричные функции
rows(A)	Число строк в матрице А
cols(A)	Число столбцов в матрице А
length(x)	Число элементов в векторе х
max(A)	Максимальный элемент матрицы А
min(A)	Минимальный элемент матрицы А
last(x)	Индекс последнего элемента вектора х
identity(n)	Создает единичную матрицу In n
Re(A)	Создает матрицу, элементы которой яв-
	ляются	вещественной частью		элементов
	матрицы А
Im(A)	Создает матрицу, элементы которой яв-
	ляются мнимой частью элементов матри-
	цы А
diag(x)	Создает диагональную матрицу по диаго-
	нали, которой лежит вектор х
tr(M)	Вычисляет трек (след) матрицы М
rank(A)	Вычисляет ранг матрицы А.
normi(M)	Вычисляет норму матрицы М.
cond2(M)	Вычисляет коэффициент обусловленности
	матрицы М.
augment(A,B)	Формирует матрицу, в которой матрицы
	А, В расположены бок в бок.
stack(A,B)	Формирует матрицу, в которой матрицы А
	расположены над матрицей В.
subma-	Создает матрицу, состоящую из строк с
trix(A,i_r,j_r,i	номерами i_r, j_r		и столбцов i_c, j_c мат-
_c,j_c)	рицы А.
eigenvals(M)	Вычисляет вектор, составленный из соб-

120

ственных значений матрицы М eigenvecs(M) Вычисляет матрицу собственных векторов

матрицы М

cholesky(M) Создает нижнею треугольную матрицу Т такую, что М=Т*ТТ. Матрица М должна быть симметричной положительно определенной

qr(A) Создает матрицу, чьи первые n столбцов содержат ортогональную матрицу Е, а последующие столбцы содержат верхнею треугольную матрицу Т. Матрицы удовлетворяют соотношению А=Е Т. Матрица А, должна быть вещественной.

svd(A) Создает матрицу, содержащую две расположенные друг над другом матрицы U и V. Матрица U имеет размер n m, а матрица V размер m m. Матрицы U и V удовлетворяют разложению A=U diag(s) VT, где s - вектор сингулярных чисел матрицы А

svds(A) Вычисляет вектор сингулярных чисел вещественной матрицы А.

Логические функции Функция if

Синтаксис функции if

y:=if(проверяемое условие, результат1, результат2),

где проверяемое условие - любое выражение, принимающее два значения: 1 (истина) и 0 (ложь),

результат 1 - присваивается y, если проверяемое условие исти-

на,

результат 2 - присваивается y, если проверяемое условие ложно. Хотя проверяемое условие может быть любым выражением, принимающим значение 0 или 1, обычно в качестве проверяемых ус-

ловий используют следующие:

Усло-	Способ	Описание
вие	ввода
А=D	[Ctrl]=	Булево равенство. Возвращает 1, если опе-
		ранды равны, в противном случае 0
x>y	>	Больше чем
x<y	<	Меньше чем