Шпаргалка высшая математика
.docx
Неопределенный интеграл
1. Функция F(x) называется первообразной
для функции f(x) (дифференциала f(x) dx) на отрезке [a,b],
если F(x) дифференцируема на [a,b] и F’(x) =f(x) для
всех x принадлежащих [a,b] ( dF(x) =f(x)dx ).
2. Если F(x) — первообразная для
функции f(x), то F(x) +C, где C — некоторая константа,
также является первообразной для f(x).
Доказательство. Действительно, (F(x) + C)’ =F’(x) + C’ =f(x).
Теорема доказана.
3. Множество всех первообразных функции f(x)
(дифференциала f(x) dx) называется неопределенным ин-
тегралом от этой функции и обозначается .
4. Укажем несколько свойств неопределенного интеграла.
1. d
Действительно, если F(x) —какая-либо первообразная функ-
ции f(x), то d
2.
Доказывается аналогично.
3. =
Вычисляя дифференциал правой части, получаем
d (a . Последнее означает спра-
ведливость доказываемого свойства.
4. .
Аналогично предыдущему, вычисляя дифференциал правой
части, получаем
d( f(x)dx g(x)dx = (f(x) g(x))dx =d (Свойство доказано.
Заметим, что свойства 3 и 4 означают линейность операции
интегрирования.
5.
Так как по свойству инвариантности формы первого диффе-
ренциала, f(x)dx = f(x(t)) x’(t) dt , то, используя свойство 1, полу-
чаем
d .
Утверждение доказано. Это свойство лежит в основе нахож-
дения интеграла с помощью замены переменной.
Используя свойства 1–5 и свойства дифференциалов, сводят
вычисление интегралов к так называемым табличным интег-
ралам.
5.
6. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж "сложной" структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются (по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимися. Итак, интеграл не берётся, если функция не является элементарной.
7. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Иногда удается представить подынтегральное выражение
f(x) dx в виде (u) du, где u — некоторая функция от x, то
есть записать его в форме f(x)dx =(u(x))du(x) , и при этом
интеграл является табличным. Тогда если = F(u) +C , то по свойству 5 неопределённого интеграла
F(u(x)) +C =
Этот прием называется подведением под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант использования
формулы замены переменной, выраженной свойством 5.
8. Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы
для неопределённого интеграла:
называемое формулой интегрирования по частям. Понимают его
в том смысле, что множество первообразных, стоящее в
левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.
9. Пусть требуется найти интеграл , где функция непрерывна на некотором интервале . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где - функция непрерывно дифференцируемая на некотором интервале T и имеющая обратную функцию
(1)
определенную на . Так как , получим
(2)
то есть, вычисление исходного интеграла сводится к вычислению
интеграла , стоящего в правой части равенства (2.). По окончании вычислений необходимо вернуться к переменной , пользуясь равенством (1).
Замечание 1.Часто целесообразно подобрать замену переменной не в виде , а в виде .
10.