- •2008 Содержание
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы… 112
- •6. Построение нечетких систем в диалоговом режиме с помощью Fuzzy Logic Toolbox ……….130
- •1 Обоснование теории нечетких множеств
- •1.1 Введение
- •1.2 Анализ видов неопределенности информации, характерных для процесса управления сложными системами
- •1.3 Человеко-машинные системы
- •1.4 Нечеткие системы
- •1.5 Возможности применения теории нечетких множеств и интервального анализа для описания различных видов неопределенности
- •2. Теория нечетких множеств
- •2.1. Четкие множества
- •2.2 Операции над четкими множествами
- •2.3 Декартово произведение множеств
- •3. Нечеткие множества
- •3.1 Понятие нечеткого множества
- •3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
- •3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
- •3.4 О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •3.5 Операции над нечеткими множествами
- •4 Нечеткие числа
- •4.1 Понятие нечеткого числа
- •4.2 Операции над нечеткими числами
- •4.3 Нечеткие отношения
- •4.4 Свойства нечетких отношений
- •5 Основы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •5.2 Булевы функции
- •5.3 Логика предикатов
- •5.4 Равносильные формулы логики предикатов
- •1) И ;
- •2) И ;
- •3) И ;
- •4) И .
- •5.5 Нечеткая логика
- •5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
- •5.7 Нечеткие предикаты и кванторы
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы
- •5.9 Промышленные применения
- •6. Построение нечетких систем в
- •Диалоговом режиме с помощью
- •Fuzzy Logic Toolbox
- •1. Алгебра высказываний.
5.2 Булевы функции
Функция , принимающая два значения: 0 или 1 и зависящая от переменных, каждая из которых может принимать значения 0 или 1, называется булевой или переключательной. Из самого определения булевой функции следует, что область определения является совокупность всевозможных - мерных наборов из нулей и единиц, а для ее задания достаточно указать, какие значения функции соответствуют каждому из наборов (см. табл.).
Таблица 14
…
0
0
0
…
1
1
0
0
0
…
1
1
…
…
…
…
....
…
0
0
1
…
1
1
0
1
1
…
0
1
……………..
Порядок
расположения наборов, принятый в таблице,
называется стандартным
или естественным.
При таком порядке каждому набору ,
где
есть 0 или 1, ставится в соответствие
число
.
Наборам (0,0,…,0,0), (0,0,…,0,1),…,(1,1,…,1,1) в этом случае будут соответствовать числа 0, 1,…,. Естественным порядком будет расположение наборов в порядке возрастания соответствующих им чисел. Десятичное число, соответствующее входному набору, является его номером. Поэтому очевидно, что количество входных наборов для булевой функции переменных равно . Количество же различных функций переменных можно определить из следующих соображений. Каждая функция задается набором своих значений (для входных наборов), которому также можно поставить в соответствие разрядное двоичное число. Располагая теперь в таблице функции в порядке возрастания соответствующих им чисел, получим все возможные различные функции. Количество таких функций будет равно. Количество таких функций будет равно .
Рассмотрим другие способы задания булевых функций. Но сначала рассмотрим функции одной и двух переменных, которые часто употребляются в математической логике и кибернетике, их можно считать элементарными функциями (см. табл.).
Таблица 15
Булевы функции одной переменной
|
|
|
|
|
0 1 |
0 0 |
0 1 |
1 0 |
1 1 |
Из этой таблицы следует, что функции одной переменной и являются константами, функция =, а функция = (отрицание ).
Таблица 16
Таблица булевых функций двух переменных
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 0 |
0 0 0 1 |
0 0 1 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 0 |
0 1 0 1 |
0 1 1 0 |
0 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 0 0 0 |
1 0 0 1 |
1 0 1 0 |
1 0 1 1 |
1 1 0 0 |
1 1 0 1 |
1 1 1 0 |
1 1 1 1 |
Следует отметить, что к функциям двух переменных относятся и такие, которые в действительности зависят от одной переменной или не зависят ни от одной. Так функции: - константы 0 и 1 и не зависят существенно ни от одной переменной.
, , , завися существенно только от одной переменной.
- конъюнкция или логическое умножение (знак можно опустить или заменить на обычный знак умножения).
- дизъюнкция или логическое сложение.
- эквивалентность, .
или - сложение по модулю два.
- импликация, и .
- штрих Шеффера, .
- стрелка Пирса, (другое название – функция Вебба).
- функции запрета , соответственно. , .
Исходя из элементарных функций можно строить формулы, то есть рассматривать функции от функций.