5.7 Нечеткие предикаты и кванторы

Нечеткое отрицание – аналог четкой операции НЕ – представляет собой бинарную операцию отрицания в нечетком смысле оценки [0,1], дающую в ответе оценку [0,1]. Аксиоматическое определение записывается в виде:

для функции ,

1 аксиома ,

2 аксиома , (далее это условие опускается).

3 аксиома .

Здесь аксиома 1 сохраняет свойство двузначного НЕ и означает, что «нечеткое отрицание 0 равно 1», другими словами является граничным условием. Аксиома 2 является правилам двойного отрицания, утверждающим, что взятые дважды отрицания возвращают к исходной оценке. Это достаточно сильное требование, но если его опустить, то будут несправедливы некоторые известные свойства, и в настоящее время это требование включают в набор аксиом нечеткого множества. Третья аксиома – наиболее существенное требование понятия «отрицание» – нечеткое отрицание инвертирует (в смысле строго неравенства) последовательность оценок (то есть меняет местами хорошие и плохие оценки). Если отложить на оси абсцисс, а - на оси ординат, то отрицание можно интерпретировать как монотонную строго убывающую функцию.

Все функции, удовлетворяющие аксиомам (1-3), являются нечеткими отрицаниями. Типичная операция нечеткого отрицания – «вычитание из 1»:

.

С точки зрения нечетких множеств это соответствует понятию дополнения нечеткого множества. Легко показать, что «вычитание из 1» удовлетворяет всем аксиомам нечеткого отрицания:

1 аксиома ,

2 аксиома ,

3 аксиома - монотонная строго убывающая функция.

Как легко видеть, что при (что соответствует лингвистической переменной «не знаю») , то есть неизменно, в этом смысле 0,5 является центральным значением и обычно и принимают симметричные значения относительно 0.5. Операция «вычитание из 1» является типичной операцией нечеткого отрицания, и сточки зрения практического применения нет особых возражений против того, чтобы в качестве нечеткого отрицания использовалась именно эта операция.

Для более глубокого понимания сущности аксиом рассмотрим несколько результатов, выводимых из этих аксиом.

Результат 1.

.

Этот результат получается сразу, если подставить в аксиому 2 и применим аксиому 1.

Результат 2. график функции с по оси абсцисс, а по оси ординат симметричен относительно наклонной под 45 градусов линии, проведенной из начала координат. Это следует из того, что если существует точка (,), то существует точка и они расположены симметрично относительно линии с углом наклона 45 градусов.

Результат 3. Приведем без доказательства, что график является непрерывным монотонным строго убывающим.

Таким образом, из сказанного выше следует, что существует неограниченное число простых нечетких отрицаний. Но на практике часто используют прямую линию. Разработано несколько нечетких логических схем, реализующих эту операцию и служащих основным элементом нечетких компьютеров.

Нечеткое расширение «И» является -норма (или триангулярная норма). В общем случае -норма, так же как и рассмотренная ниже -норма, удобны при обсуждении нечеткой логики. Так схема -нормы – это схема с двумя входами и одним выходом, а как функция – это функция двух переменных. -нормой называется отображение:

.

Приведем 4 аксиомы - норм:

А 1. , (далее это условие опускается),

А 2. ,

А 3. ,

А 4. .

Треугольную норму или -норму можно определить как обобщение нечеткого пересечения. Треугольной нормой или -нормой называется бинарная операция , определенная на единичном интервале [0,1] и которая любой паре чисел из этого интервала сопоставляет число из этого же интервала. Такое определение -нормы соответствует определению, приведенному выше и все аксиомы (А1-А4) остаются в силе. Аксиома А1 трактуется как граничное условие или существование единичного элемента; аксиома А2 определяет свойство коммутативности; аксиома А3 – ассоциативность; аксиома А4 – монотонность.

Наиболее часто используются такие - нормы:

.

Нечетким расширением является треугольная конорма или - норма. Конорма или -нормой называется бинарная операция , определенная на единичном интервале [0,1] и которая любой паре чисел из этого интервала сопоставляет число из этого же интервала. Среди аксиом -нормы только граничное условие отличается от случая -нормы, остальные аксиомы те же самые:

определение -нормы как отображения.

А 1. , (далее это условие опускается),

А 2. ,

А 3. ,

А 4. .

Типичными -нормами являются: логическая сумма (объединение по Заде), определяемая с помощью операции , вероятностное объединение , объединение по Лукасевичу .

Возможны различные варианты нечеткого отрицания -нормы и -нормы, но среди всех операций обычно выбирают такие, которые удовлетворяют следующим условиям:

,

.

Для четких множеств эти условия соответствуют закону де Моргана, а в данном случае они называются нечетким законом де Моргана. Используя аксиомы нечеткого отрицания для -нормы и -нормы, по одной из этих формул можно вывести другую, поэтому достаточно указать только одну из них