- •2008 Содержание
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы… 112
- •6. Построение нечетких систем в диалоговом режиме с помощью Fuzzy Logic Toolbox ……….130
- •1 Обоснование теории нечетких множеств
- •1.1 Введение
- •1.2 Анализ видов неопределенности информации, характерных для процесса управления сложными системами
- •1.3 Человеко-машинные системы
- •1.4 Нечеткие системы
- •1.5 Возможности применения теории нечетких множеств и интервального анализа для описания различных видов неопределенности
- •2. Теория нечетких множеств
- •2.1. Четкие множества
- •2.2 Операции над четкими множествами
- •2.3 Декартово произведение множеств
- •3. Нечеткие множества
- •3.1 Понятие нечеткого множества
- •3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
- •3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
- •3.4 О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •3.5 Операции над нечеткими множествами
- •4 Нечеткие числа
- •4.1 Понятие нечеткого числа
- •4.2 Операции над нечеткими числами
- •4.3 Нечеткие отношения
- •4.4 Свойства нечетких отношений
- •5 Основы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •5.2 Булевы функции
- •5.3 Логика предикатов
- •5.4 Равносильные формулы логики предикатов
- •1) И ;
- •2) И ;
- •3) И ;
- •4) И .
- •5.5 Нечеткая логика
- •5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
- •5.7 Нечеткие предикаты и кванторы
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы
- •5.9 Промышленные применения
- •6. Построение нечетких систем в
- •Диалоговом режиме с помощью
- •Fuzzy Logic Toolbox
- •1. Алгебра высказываний.
2.1. Четкие множества
Успехи современной математики в значительной мере принадлежит усилиям Аристотеля и философов, которые ему предшествовали. Их усилиями была создана четкая теория логики и позднее математики создали так называемые «Законы Мысли». Один из них – «Закон Исключения Середины», установил, что каждое суждение должно быть Истинно или Ложно, А или НЕ-А, это или не это. Каждое утверждение или предположение истинно или ложно или имеет значение 1 или 0. Следовательно, логику компьютера, который имеет дело с 1 и 0, называют четкой логикой, а обычные множества четкими множествами.
Введем основные термины и обозначения. Прописными буквами (например, X) будем обозначать совокупность объектов, с которыми будем иметь дело, а строчными буквами обозначим (например, x) – отдельные структурные элементы. Введем обозначение
(2.1)
Фигурные скобки означают совокупность объектов. Совокупность объектов (здесь ) называется предметной областью или универсальное (вспомогательное) множество. Отдельные структурные элементы назовем просто элементами или объектами. Тот факт, что элемент x принадлежит универсальному множеству , обозначается следующим образом
(2.2)
Пусть универсальное множество, - некоторое свойство. Тогда четкое подмножество множества , элементы которого удовлетворяют свойству , будем обозначать прописными буквами . Например, универсальное множество состоит из десяти цифр
, (2.3)
- свойство быть четным. Тогда множество - четные цифры будет
. (2.4)
Число структурных элементов определяет мощность множества и называется кардинальным числом. Для него вводится обозначение , тогда в приведенных выше примерах
, (2.5)
Множества с конечным кардинальным числом называются конечными и их можно записать как в формулах (2.3) и (2.4), то есть перечислить все его элементы. Если множество состоит из одного элемента, то есть , то такое множество называется синглетоном.
В случае бесконечных множеств, например, множество натуральных или вещественных чисел, этого сделать нельзя. В этом случае используется способ записи, при котором справа от вертикальной черты записываю свойство, которому удовлетворяют элементы множества. Например, формулу (2.4) можно записать в виде
. (2.6)
В общем случае можно записать
.
Кроме того, для обозначения множества в виде рисунка часто используют диаграммы Венна. Они будут приведены ниже, когда речь пойдет об алгебраических операциях с множествами.
Помимо приведенных способов задания четкого множества, существует способ их определения с помощью характеристической функции. Характеристическая функция , определяющая множество в универсальном множестве, представляет собой отображение, для которого множество есть область определения, а {0,1} (двузначное множество из элементов 0 и 1) есть область значений:
(2.7)
При этом , если элемент универсального множества , удовлетворяет свойству множества и , если не удовлетворяет. В универсальном множестве можно рассматривать различные множества, отвечающие различным свойствам . Объединение всевозможных множеств, которые можно организовать из элементов и пустого множества называется степенным множеством и обозначается как . Например, пусть
(2.8)
Тогда степенное множество есть
. (2.9)
Вводится понятие пустого множества, которое не содержит ни одного элемента и обозначается . Не следует путать пустое множество и нулевой элемент. Множество, состоящее из одного нулевого элемента, не является пустым. Характеристическая функция пустого множества есть
, для . (2.10)
Здесь называется квантором всеобщности, его можно читать словом «всех». Кроме того есть квантор существования в смысле «существует …».
В отличии от пустого множества характеристическая функция универсального множества имеет вид
, для . (2.11)