- •2008 Содержание
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы… 112
- •6. Построение нечетких систем в диалоговом режиме с помощью Fuzzy Logic Toolbox ……….130
- •1 Обоснование теории нечетких множеств
- •1.1 Введение
- •1.2 Анализ видов неопределенности информации, характерных для процесса управления сложными системами
- •1.3 Человеко-машинные системы
- •1.4 Нечеткие системы
- •1.5 Возможности применения теории нечетких множеств и интервального анализа для описания различных видов неопределенности
- •2. Теория нечетких множеств
- •2.1. Четкие множества
- •2.2 Операции над четкими множествами
- •2.3 Декартово произведение множеств
- •3. Нечеткие множества
- •3.1 Понятие нечеткого множества
- •3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
- •3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
- •3.4 О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •3.5 Операции над нечеткими множествами
- •4 Нечеткие числа
- •4.1 Понятие нечеткого числа
- •4.2 Операции над нечеткими числами
- •4.3 Нечеткие отношения
- •4.4 Свойства нечетких отношений
- •5 Основы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •5.2 Булевы функции
- •5.3 Логика предикатов
- •5.4 Равносильные формулы логики предикатов
- •1) И ;
- •2) И ;
- •3) И ;
- •4) И .
- •5.5 Нечеткая логика
- •5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
- •5.7 Нечеткие предикаты и кванторы
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы
- •5.9 Промышленные применения
- •6. Построение нечетких систем в
- •Диалоговом режиме с помощью
- •Fuzzy Logic Toolbox
- •1. Алгебра высказываний.
2.2 Операции над четкими множествами
Теперь рассмотрим некоторые операции над множествами. Прежде рассмотрим отношение вложения множеств. Вводится понятие подмножества. Если элементы множества являются в тоже время элементами множества , то говорят, что является подмножеством , что обозначается как
.
Значок употребляется в случае, если не исключена возможность совпадения множеств и . Если такая возможность исключена, то употребляется значок , а множество называется собственным подмножеством . Все множество и пустое множество называются несобственными подмножествами. Множества и будут равными, если одновременно выполняются условия
и .
Если определить отношение вложения через характеристические функции, то получим следующее неравенство
, для . (2.12)
Суммой (объединением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному множеству. Другими словами, элементы принадлежащие одновременно и , входят в сумму только один раз. Отсюда следует, что
где - знак суммы. Можно определить сумму любого числа множеств
.
Геометрически (диаграмма Венна) сумму двух множеств можно представить в виде заштрихованной области на рис.1.
Рис.1
С помощью характеристических функций операцию объединения можно представить следующим образом (алгебраическая форма)
, для (2.13)
В результате получим четыре класса элементов:
- элементы, не входящие ни в множество , ни в множество ;
- элементы, принадлежащие только множеству и не принадлежащие множеству ;
- элементы, принадлежащие только множеству и не принадлежащие множеству ;
- элементы, принадлежащие одновременно множествам и .
Логически операцию объединения двух множеств можно охарактеризовать словами: элемент принадлежит множеству или множеству . При этом связка или одновременно означает и связку и. Поэтому то, что элемент принадлежит множеству или/и множеству , выражается формулой
, (2.14)
где - символ логической связки или, которая называется дизъюнкцией.
С точки зрения логики, вместо одной предметной переменной удобно ввести две логичиские переменные: характеристические функции и , которые принимают только два логических значения: 1 для истинного значения и 0 для ложного.
Допустим, что элемент принадлежит классу , то значения логических переменных будут: и . Пусть теперь элемент принадлежит классу , то логические переменные примут значения: и . Существуют еще два варианта, когда элемент принадлежит либо классу , либо классу .
Переменные и в это случае определяют некоторую логическую функцию:
, (2.15)
которая, в случае дизъюнкции, записывается как . При использовании в качестве логических переменных характеристические функции и символ логической связки или имеет смысл взятия максимума, то есть значение логической функции равно максимальному значению характеристических функций для данного элемента .
Удобно построить таблицу истинности
Таблица 1. Таблица истинности
-
.
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
Из таблицы истинности легко усмотреть, что четыре комбинации логических переменных и отвечают четырем классам
Пересечением или общей частью множеств и является множество, состоящее из элементов, которые одновременно принадлежат как множеству так и множеству . Пересечение, обозначаемое следующим образом,
схематически представлено на рис.2 заштрихованной областью.
Рис. 2
Через характеристические функции операция пересечесния запишется следующим образом (алгебраичекая форма)
, для (2.16)
С точки зрения логики, это означает, что элемент одновременно принадлежит множествам и можно представить выражением
. (2.17)
Здесь - символ логической связки и, которая называется конъюнкцией.
При использовании в качестве логических переменных характеристические функции и символ логической связки и имеет смысл взятия минимума, то есть значение логической функции равно минимальному значению характеристических функций для данного элемента .
Таблица истинности в случае конъюнкции имеет вид
Таблица 2.
Таблица истинности для конъюнкции
-
.
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Если в таблице истинности для конъюнкции все нули заменить единицами, а все единицы – нулями, то получим таблицу для дизъюнкции. Этот факт определяет взаимную двойственность конъюнкции и дизъюнкции. Для любой логической операции можно найти двойственную, о чем будет сказанно в дальнейшим.
Стрелка Пирса, штрих Шеффера и разность. Рассмотрим две новые операции – стрелка Пирса и штрих Шиффера на конкретном примере. Пусть задано фундаментальное множество и два подмножества и . Тогда операция – стрелка Пирса на этих множествах выглядит следующим образом
.
Отсюда следует, что в результате применения операции стрелки Пирса к двум подмножествам фундаментального множества получаем множество, которое является дополнением объединения подмножеств до фундаментального множества.
Операция штрих Шиффера выглядит следующим образом
В результате операции штриха Шиффера получаем множество, которое дополняет пересечение подмножеств до фундаментального множества.
Разностью множеств и называется множество, содержащее все элементы множества , не входящие в множество , и не содержащее никаких других элементов. Разность и обозначается
или .
Обозначение употребляется в тех случаях, когда является собственным подмножеством рис.3.
A-B
Рис. 3.
В остальных случаях употребляется рис.4.
Рис. 4.
Если является собственным подмножеством , то выполняется равенство , а в остальных случаях нет. Разность двух множеств также можно записать в виде
Через характеристические функции операция разности запишется как
, для (2.18)
Приведем таблицу истинности для разности, исходя из формулы (2.18)
Таблица 3.
Таблица истинности для разности
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Введем понятие импликации как дополнение к разности, то есть
(2.19)
или через характеристические функции
. (2.20)
Таблица истинности для импликации, согласно (2.20) имеет вид
Таблица 4.
Таблица истинности для импликации
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Используя операцию разности стрелку Пирса можно представить как
, (2.21)
а через характеристические функции
.
Тогда таблица истинности для стрелки Пирса будет иметь вид
Таблица 5.
Таблица истинности для стрелки Пирса
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
Операция разности позволяет представить штрих Шиффера как
, (2.22)
а через характеристические функции
.
Приведем табдицу истинности для штриха Шиффера
Таблица 6.
Таблица истинности для штриха Шиффера
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
На языке логических формул для стрелки Пирса имеет место
, , (2.23)
а для штриха Шиффера –
, . (2.24)
Иногда вводится понятие симметрической разности
,
представленной на рис.5 заштрихованной частью.
Рис. 5
Симметрическую разность можно представить и другим образом
.
Исходя из этого выражения, симметричную разность легко записать через характеристические функции в алгебраическом виде
, для . (2.25)
Операции объединения и пересечения могут быть записаны с точки зрения логики:
, для , (2.26)
, для . (2.27)
Здесь и называются операциями взятия максимума (дизъюнкция) и минимума (конъюнкция), то есть взятие наименьшего и наибольшего значений.
Рассмотрим операцию эквивалентности, дополняющую операцию симметрической разности. Эквивалентность определяется общими элементами подмножеств . Элементы, не входящие ни в , также считаются эквивалентными:
. (2.28)
Через характеристические операция эквивалентности примет вид
, для (2.29)
Таблица 7.
Таблица истинности для симметрической разности
-
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
Таблица 8.
Таблица истинности для эквивалентности
-
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Введем еще одну операцию дополнения некоторого множества до полного (универсального множества ). Это будет множество , которое можно определить как
или , для . (2.30)
Для введенных выше операций над множествами можно сравнительно легко доказать следующие свойства:
1) закон идемпотенции
; (2.31)
2) закон коммутативности относительно пересечения и суммы
, (2.32)
3) закон ассоциативности
, (2.33)
. (2.34)
4) закон абсорбции
, (2.35)
5) закон дистрибутивности
, (2.36)
.
6) закон комплементарности
, . (2.37)
Аналогичные равенства выполняются и для логических функций, которые имеют соответствующие названия:
- противоречие,
- тавтология.
Отметим еще два важных свойства, справедливых в булевой алгебре:
двойное отрицание
; (2.38)
закон де Моргана
, . (2.39)