Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теория нечетких множеств / 4. Теория нечетких множеств.Ю.В. Гриняев. 2008.doc
Скачиваний:
114
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
3.8 Mб
Скачать

2.3 Декартово произведение множеств

Декартовым произведением двух множеств является множество, состоящее из всевозможных пар вида , где , а . В частности, можно умножить множество на себя. В этом случае состоит из всевозможных пар и . Декартово произведение можно обобщить на случай нескольких множеств , как множество всевозможных наборов где , , …….

Отношение. Для дальнейшего изложения важным является понятие бинарного отношения, базирующегося на определении декартого произведения множества самого на себя. Говорят, что в множестве задано бинарное отношение, если выделено некоторое подмножество в декартовом произведении , то есть задано множество пар . Обратное отношение определяется как совокупность пар , для которых . Совокупность всех пар декартого произведения можно представить в виде таблицы 9. Диагональ такой таблицы, обозначаемая значком , содержит пары вида , … Недиагональные пары и , в общем случае, различны. Пары равны в том случае, если из следует, что , .

Таблица 9

A\A

a

b

c

d

a

(a,a)

(a,b)

(a,c)

(a,d)

b

(b,a)

(b,b)

(b,c)

(b,d)

c

(c,a)

(c,b)

(c,c)

(c,d)

d

(d,a)

(d,b)

(d,c)

(d,d)

Рассмртрим основные свойства отношений.

1.Отношение на множестве называется рефлексивным, если для любого элемента справедливо или, иначе, . Рефлексивное отношение содержит диагональ .

2. Если условие рефлексивности не выполняется ни для одного элемента, то отношение называется антирефлексивным.

3. Отношение между элементами множества называется симметрическим, если для любых элементов справедливо соотношение

. (2.40)

4. Отношение между элементами множества называется антисимметрическим, если для любых элементов справедливо соотношение

.

Антисимметрическое отношение является одновременно и антирефлексивным.

5. Отношение между элементами множества называется, тождественным, если для любых элементов справедливо утверждение:

или

.

Антисимметрическое отношение является пересечением тождественного и антирефлексивного.

6. Отношение между элементами множества называется транзитивным, если для любых элементов справедливо утверждение:

или

.

Примерами транзитивных отношеший являются отношение параллельности, равенства, “больше”. Отношения неравенства, перпендикулярности представляют собой нетранзитивные отношения.

7. Отношение между элементами множества обладает свойством полноты, если для любой пары всегда выполняется одно из двух соотношений:

.

Нулевым называется отношение, которое не выполняется ни для одной пары элементов множества. Универасльным называется отношение, которое выполняется для любой пары элементов множества.

Основные виды отношений.

1. Отношение между элементами множества , обладающее свойством рефлексивности (, ), симметричности (), транзитивности () называется отношением эквивалентности и обозначается как

.

Примерами отношения эквивалентности являются равенство векторов в евклидовом пространстве, равенство фигур в евклидовой геометрии. Любое отношение эквивалентности, заданное на множестве, разбивает это множество на непересекающиеся подмножества. Эти подмножества называются классами эквивалентности. Справедливо и обратное утверждение: каждое разбиение множества на непересекающиеся подмножества определяет некоторое отношение эквивалентности.

2. Отношением квазипорядка на множестве называется отншение , обладающее свойствами рефлексивности () и транзитивности (). Например, отношение на множестве вещественных чисел есть отношение квазипорядка. Поэтому данное отношение часто обозначают символом .

3. Отношение квазипорядка, обладающее также свойством тождественности, называют отношением порядка. Оно должно удовлетворять следующим аксиомам отношения :

()) и .

4. Отношение, обладающее свойствами транзитивности и антисимметричности, называется отношением строгого проядка. Это отношение часто обозначается символом >. Оно должно удовлетворять следующим аксиомам: и .

5. Отношение полного порядка называется отношением порядка, обладающее дополнительно еще и свойством полноты. Оно удовлетворяет аксиомам:

;; .

6. Нерефлекесивным отношением полного порядка называется отношение полного порядка, не удовлетворяющее свойству рефлексивности ни по одному элементу множества. Оно, следовательно, обладает свойствами транзитивности, антисимметричности и полноты.

Отношение называется симметричным, если . Определим произведение отношений как совокупность таких пар , для которых найдется элемент такой, что

, а

Отношение называется транзитивным если для него выполняется условие

.

Бинарное отношение , обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, называется отношением эквивалентности. Для отношения эквивалентности таблица элементов представляет собой квадрат, симметричый относительно диагонали. Бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности называется отношением порядка. Свойство антисимметричности выражается так

Если и , то это возможно лишь в случае , то есть элементы можно сравнивать. Отношение порядка есть множество пар , расположенных ниже (выше) диагонали, включая элементы диагонали, а - выше (ниже) диагонали, включая те же элементы диагонали.

Если сумма , то множество называется упорядоченным, то есть в множестве нет несравнимых элементов или что элементы множества строго подчинены. Таким образом, на множестве можно задать некоторую структуру, определяя каким либо образом бинарные отношения , то есть определяя некоторое подмножество в декартовом произведении . Очевидно, что подмножество можно выбирать в различными способами. Множество со структурой это пара . Частными случаями структуры являются отношения эквивалентности, которые позволяют разбить множества на классы эквивалентности и отношения порядка, которые позволяют сравнивать элементы множества.

Отображение. Пусть заданы два произвольных множества и . Говорят, что на множестве задана функция , принимающая значения на , если известен закон, по которому элементу из поставлен один и только один элемент из . Элемент называется образом элемента . Совокупность всех элементов из , образом которого является элемент , называется полным прообразом и обозначается как . Отображение есть отображение на или сюръекция, если , то есть . В общем случае, когда , говорят, что это отображение в . Если для разных элементов из , их образы различны, то отображение называется инъективным. Если отбражение одновременно сюръективно и инъективно, то существует обратное отображение. В этом случае отображение назыается биективным или взаимооднозначным.

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку