- •2008 Содержание
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы… 112
- •6. Построение нечетких систем в диалоговом режиме с помощью Fuzzy Logic Toolbox ……….130
- •1 Обоснование теории нечетких множеств
- •1.1 Введение
- •1.2 Анализ видов неопределенности информации, характерных для процесса управления сложными системами
- •1.3 Человеко-машинные системы
- •1.4 Нечеткие системы
- •1.5 Возможности применения теории нечетких множеств и интервального анализа для описания различных видов неопределенности
- •2. Теория нечетких множеств
- •2.1. Четкие множества
- •2.2 Операции над четкими множествами
- •2.3 Декартово произведение множеств
- •3. Нечеткие множества
- •3.1 Понятие нечеткого множества
- •3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
- •3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
- •3.4 О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •3.5 Операции над нечеткими множествами
- •4 Нечеткие числа
- •4.1 Понятие нечеткого числа
- •4.2 Операции над нечеткими числами
- •4.3 Нечеткие отношения
- •4.4 Свойства нечетких отношений
- •5 Основы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •5.2 Булевы функции
- •5.3 Логика предикатов
- •5.4 Равносильные формулы логики предикатов
- •1) И ;
- •2) И ;
- •3) И ;
- •4) И .
- •5.5 Нечеткая логика
- •5.6 Нечеткие логические формулы и их свойства
- •5.7 Нечеткие предикаты и кванторы
- •5.8 Нечеткие высказывания и нечеткие выводы
- •5.9 Промышленные применения
- •6. Построение нечетких систем в
- •Диалоговом режиме с помощью
- •Fuzzy Logic Toolbox
- •1. Алгебра высказываний.
3.2 Некоторые характеристики нечетких множеств
Высотой нечеткого множества называется верхняя граница функции принадлежности . Нечеткое множество называется нормальным, если его высота равна 1. Если высота , то множество называется субнормальным;
Нечеткое множество пусто, если для Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле
; (3.3)
Нечеткое множество называется унимодальным, если только на одном элементе ;
Носителем нечеткого множества называется четкое множество со свойством , то есть носитель . Одноточечным нечетким множеством называется множество, носитель которого состоит из одного элемента.
Элементы , для которых называются точками перехода нечеткого множества ;
Множеством уровня ( - срезом) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , определяемое следующим образом
, где . (3.4)
Множество строго уровня определяется в виде . В частности носителем нечеткого множества является множество элементов, для которых . Понятие множества уровня расширяет понятие интервала.
3.3 Нечеткая и лингвистическая переменные
Понятие нечеткой и лингвистической переменных используются при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.
Нечеткой переменной называют тройку чисел , где
- наименование переменной;
- универсальное множество (область определения );
- нечеткое множество на , описывающее ограничения (то есть ) на значения нечеткой переменной .
Лингвистической переменной (ЛП) называются набор , где
- наименование лингвистической переменной;
- множество ее значений, называемое терм-множеством, представляющее собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является . Множество называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;
- синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества , в частности, генерировать новые термы (значения). Множество , где - множество сгенерированных термов, называется расширением терм-множеств лингвистической переменной;
- семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой , в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество.
Замечание. Чтобы избежать большого количества символов поступают следующим образом:
символ используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;
пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например, терм «молодой», является значением лингвистической переменной = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество («молодой»).
Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.
Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная – 80 мм.
Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной , где
- толщина изделия;
- {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};
- [10,80];
- процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» т. п. Например, «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина» и т. д.;
- процедура задания на =[10,80] нечетких подмножеств = «Малая толщина», = «Средняя толщина», = «Большая толщина», а так же нечетких множеств для термов из в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами типа пересечение, объединение и т. п.
Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной ( = {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}) возможны значения, зависящие от области определения . В данном случае значение лингвистической переменной «Толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», то есть в виде нечетких чисел.
Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, приведенными на рис 1. и рис 2.
80
Рис 1.
Функции принадлежности нечетких множеств:
= «Малая толщина», = «Средняя толщина»,
= «Большая толщина».
10 80
Рис.2.
Функция принадлежности нечеткого множества:
«Малая или Средняя толщина» =.