GED / Шевелев / Diskret_mat2

10

будем в дальнейшем изображать все контактные стру- ктуры.

Пусть дана булева функция, представленная в КНФ:

f= (A + B)(C +D + E)( F + K ).

Взаписи этой функции содержится три дизъюнкции,

всоответствии с чем изображаем три параллельно сое- диненные группы контактов, а сами группы соединяем последовательно (рис. 15).

A	B	A	B
C	Е	C D	Е
D
U	H	U	H
Рис. 12		Рис. 13

В двух рассмотренных примерах функции являются бесповторными, т. е. каждый аргумент в их записи встре- чается только один раз. Пусть теперь функция содержит повторяющиеся аргументы:

f = A B С + B C D + E .

Контактную структуру строим обычным образом: две цепи последовательно соединенных контактов включаем параллельно и также параллельно подключаем к ним

нормально замкнутый контакт Е . По схеме (рис. 16) видно, что кнопки B и С должны содержать по два контакта, один из которых является нормально замк- нутым, а второй – нормально разомкнутым.

A

C

B

A

F

D

C

D

B

K

Е

Е

Рис. 14

Рис. 15

В предыдущих примерах рассматривались нормаль- ные формы функций. Выясним, как построить структуру по выражению функции, имеющей порядок выше вто- рого. Пусть функция имеет вид

f = (A B + C)( A B + D) + K .

Сначала строим структуры скобочных выражений и соединяем их последовательно, после чего ко всей струк- туре параллельно подключаем контакт K (рис. 17).

A

B

C

A

B

A

B

D

B

C

D

C

K

E

Рис. 16

Рис. 17

Таким образом, на основе любой булевой функции можно построить контактную структуру. Но всякая буле- ва функция имеет много форм аналитического пред- ставления. Следовательно, многими способами может быть реализована и каждая контактная структура. Рассмотрим, например, функцию вида

f = A B + A C + B C .

Ее схема приведена на рис. 18. Для построения схемы необходимо использовать три сложных элемента (кнопки либо реле): два из них должны иметь один нормально замкнутый контакт и один нормально разомкнутый, а третий – два нормально разомкнутых контакта.

A

B

A

B

A

C

C

B

C

Рис. 18

Рис. 19

Упростим функцию:

f = A B + A C + B C = A B + C .

Соответствующая ей контактная структура приведена на рис. 19.

Структуры, изображенные на рис. 18 и 19, являются логически равными, поскольку описывающие их булевы функции тождественно равны. Но первая структура слож- нее второй, поэтому практический интерес представляет лишь вторая структура. Таким образом, физический смысл минимизации булевых функций, описывающих работу контактных структур, состоит в том, что обес- печивается возможность найти минимальную струк- туру, содержащую наименьшее число контактов.

Упражнения

1. Постройте контактную структуру, если f = A B + CD + P Q :

а) (Е41). Найдите число нормально разомкнутых кон- тактов и число нормально замкнутых контактов, необ- ходимых для построения этой структуры;

б) (ТЫС). Ниже приведено шесть наборов значений

аргументов А, В,		С, D, P, Q, Укажите номера тех набо-
ров, на которых двухполюсник замкнут:
1)	0 1 0 1 1 0 ;	3) 0 1 1 0 1 1 ;	5)	1 1 1 1 1 0 ;
2)	1 1 0 0 0 0 ;	4) 0 0 1 1 0 1 ;	6)	1 0 1 0 0 1 ;

в) (ТБМ). Пусть кнопка Р нажата (т. е. P=1). Укажите все наборы значений аргументов А,В,С,D (в десятичной системе), при которых двухполюсник замкнут.

2. (Г12). Найдите общее число контактных элемен- тов (реле или кнопок) и число элементов, содержащих только нормально разомкнутые контакты, если

f = (A + B)(C + D) + (P Q + A B)R .

3. (ОРМ). Найдите общее число контактных элемен- тов структуры, описываемой функцией

f= (АВ + АВ)(СD + C D) + AF + FPQR .

4.(А47). Укажите номера логически равных струк-

тур на рис. 20.

A

C

B

C

A

C

B

C

A

B

B

C

A

B

C

D

C

D

1

2

C

3

D

A

D

A

C

B

C

C

D

B

C

A

B

B

C

C

D

C

D

A

B

D

C

D

4

5

6

Рис. 20 5. Найдите минимальную ДНФ такой булевой функ-

ции, контактная структура которой является логически равной структуре, приведенной на рис. 17:

а) (ИЛ.СИ). Наберите эту функцию (лат.); б) (ТН). Сколько нормально разомкнутых и сколько

нормально замкнутых контактов имеет структура, по- строенная по найденной минимальной ДНФ функции; в) (ИЖ). Для K = 0 укажите десятичные эквиваленты наборов значений аргументов A, B, C, D, на которых структура является проводящей (т. е. вход соединен с

выходом);

г) (34). То же самое для K = 1.

11

2.4. Логический синтез контактных структур

Пусть заданы условия работы некоторой контактной схемы. Чтобы построить структуру, работающую в соот- ветствии с этими условиями, необходимо осуществить ее логический синтез, т. е. выполнить определенные опера- ции, в результате которых разработчик получит полную информацию о том, как должны быть соединены между собой контактные элементы. В большинстве практичес- ких случаев логический синтез сводится к нахождению одной или нескольких булевых функций, описывающих работу искомой структуры. В общем случае последова- тельность действий при синтезе контактных структур состоит в следующим:

1)определяем число n контактных элементов;

2)строим таблицу всех n-разрядных двоичных чи- сел, в которых согласно принятой интерпретации логи- ческих переменных нуль обозначает исходное состояние контактного элемента, а единица – его активное состо- яние (кнопка нажата, реле включено и др.). Тогда каждое n-значное двоичное число таблицы можно рассматривать как n-разрядный набор состояний контактных эле- ментов;

3)каждому двоичному n-разрядному числу ставим в соответствие единицу или нуль (записываем их справа от n-разрядных двоичных чисел) в зависимости от того, дол- жна ли структура быть проводящей или разомкнутой;

4)полученную таблицу рассматриваем как таблицу соответствия (истинности), по которой находим СДНФ булевой функции (либо СКНФ);

5)минимизируем булеву функцию;

6)по минимальной форме строим искомую схему. На этапе построения контактной структуры ее логи-

ческий синтез заканчивается. После этого остается только выбрать вариант подключения построенной структуры к управляемому объекту. На рис. 21 показан основной способ включения контактного двухполюсника в контур релейного управления объектом. На рис. 22 приведена разновидность той же схемы, особенность которой состоит в том, что один полюс (любой) контактного двухполюсника всегда подключен к общей точке.

Контактный		Контактный
двухполюсник		двухполюсник
U		Управляемый
Управляемый
объект	U	объект
Рис. 21		Рис. 22

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Три кнопки A, B, C управляют лампочкой так, что она загорается в том случае, если одновременно

нажаты кнопки							А и В либо одновременно нажаты кноп-
ки В и С.					Построить контактную структуру.
	Таблица 1						В данном случае число контактных
							элементов равно 3, следовательно, табли-
		А В С			f
							ца содержит восемь строк (табл.1). В ка-
	0	0	0	0	0
	1	0	0	1	0		ждой ее строке записано трехразрядное
							двоичное число. Левая колонка является
	2	0	1	0	0
	3	0	1	1	1		вспомогательной, в ней указаны деся-
	4	1	0	0	0		тичные эквиваленты двоичных чисел.
	5	1 0		1	0		Правая часть таблицы обозначена бук-
	6	1	1	0	1		вой f. Согласно условию лампочка долж-
	7	1	1	1	1		на загораться, если нажаты одновре-
							менно две кнопки: А и В. При этом о

кнопке С ничего не говорится. Следовательно, если на- жать все кнопки, то лампочка также должна гореть. Это значит, что в колонке f необходимо поставить единицы в строках, где записаны двоичные числа 110 и 111.

Согласно второму условию лампочка горит, если на- жать одновременно кнопки В и С. При этом о кнопке А также ничего не сказано. Следовательно, в колонке f на пересечении со строками, в которых записаны двоичные коды 011 и 111, ставим единицы. Поскольку в строке 111 уже есть единица, то вторично ее не записываем. Все

								остальные строки колонки f заполняем
				А
В								нулями. Получилась таблица соответст-

Свия. Согласно таблице после минимиза-

Рис. 23	ции получаем: f = B(A + C). Соответству-

ющая контактная структура приведена на рис. 23. Пример 2. Найти минимальную контактную струк-

туру, работающую согласно условиям: кнопки А, В, С, D управляют лампочкой; лампочка горит, если одновремен- но нажаты кнопки В и С, либо одновременно нажаты кнопки А, С, D, а кнопка В не нажата, либо одновременно нажаты кнопки С и D, а кнопки А и В не нажаты.

Без применения булевой алгебры эта задача больше походит на головоломку, для решения которой потребу- ются значительные усилия. С применением же булевой алгебры задачу легко и быстро решит каждый, кто освоил предыдущий материал.

В задаче сформулировано три условия, при которых лампочка горит. Для удобства каждому из них поставим в соответствие отдельную функцию. Согласно первому ус- ловию лампочка горит, если нажаты кнопки В и С, а о кнопках A и D ничего не сказано. Следовательно, функ-

ция f1 принимает единичное значение на всех наборах, на которых В = С = 1. Всего существует четыре таких набо-

ра: 0110, 0111, 1110, 1111. В соответствии с этим в табл. 2

на пересечении строк 6, 7, 14, 15 и колонки f1 записываем единицы, а все остальные места занимаем нулями. В ре- зультате получаем СДНФ: f1 = (6,7,14,15).

Таблица 2

	A B C D				f1	f2	f3
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0
2	0	0	1	0	0	0	0
3	0	0	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	0	0
5	0	1	0	1	0	0	0
6	0	1	1	0	1	0	0
7	0	1	1	1	1	0	0
8	1	0	0	0	0	0	0
9	1	0	0	1	0	0	0
10	1	0	1	0	0	0	0
11	1	0	1	1	0	1	0
12	1	1	0	0	0	0	0
13	1	1	0	1	0	0	0
14	1	1	1	0	1	0	0
15	1	1	1	1	1	0	0

Во втором условии упо- минаются все кнопки: лам- почка загорается всякий раз при А = С = D = 1, В = 0, т. е.

контактная структура замк- нута только на одном набо-

ре 1011. В колонке f2 на пе- ресечении со строкой 11 за-

писываем единицу, а во всех остальных строках ста- вим нули. СДНФ функции

имеет вид f2 = (11).

В третьем условии также упоминаются все четыре кнопки: лампочка горит на наборе 0011. СДНФ функ- ции f3 имеет вид f3 = (3).

Согласно условию зада- чи все три функции необ-

ходимо объединить в одну. В результате такого объединения получаем СДНФ искомой функции:

f = f1 + f2 + f3 = (3, 6, 7, 11, 14, 15).

После минимизации функция принимает вид f = С(В + D).

Получился очень интересный результат. Во-первых, каждая буква входит в выражение функции только один

12

раз. Следовательно, можно использовать лишь простей- шие кнопки. Во-вторых, в минимальной форме функции f нет буквы А. Это значит, что кнопка А на состояние лампочки никакого влияния не оказывает. На лицевой панели устройства, где должны быть размещены кнопки, кнопка А вообще может не иметь контактов.

Пример 3. Построить контактную структуру, управ- ляющую лампочкой при помощи четырех кнопок А,В,С,D следующим образом. Лампочка горит, если одновремен- но нажато не менее двух любых кнопок, либо нажата одна кнопка А, но кнопки В и С не нажаты, либо нажата кнопка D, а кнопки В и С не нажаты.

Рассмотрим первое условие. Что значит «нажато не менее двух кнопок»? Это значит, что одновременно на- жаты либо все четыре кнопки, либо три из них (любые), либо две (также любые).

Случаю, когда нажаты все четыре кнопки, соответ- ствует булева функция вида

f1= (15) = АВСD.

Если нажаты любые три кнопки, то получаем сим- метрическую функцию с а-числом, равным трем:

f2 = S3(A,B,C,D) = (7,11,13,14).

Если нажаты любые две кнопки, то

f3 = S2(A,B,C,D) = (3,5,6,9,10,12).

Согласно второму и третьему условиям имеем:

f4 = (8,9); f5 = (1,9).

Все пять функций объединяем в одну и упрощаем: f = (1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15) = A + D + BC.

Как и в предыдущем случае, для построения структу- ры достаточно четырех простейших кнопок, содержащих по одному нормально разомкнутому контакту.

Упражнения

тактов в структуре, построенной на основе минимальной ДНФ функции, описывающей эту структуру? Сколько всего контактов в структуре, построенной на основе минимальной КНФ?

7.(Б50)! Четыре кнопки управляют одной лампоч- кой так, что лампочка горит, если нажаты точно две кноп- ки (любые). Сколько всего контактов в схеме, постро- енной на основе минимальной ДНФ булевой функции, описывающей эту схему? Сколько всего контактов в схеме, построенной на основе минимальной КНФ?

8.(ФУТ). Четыре кнопки А, В, С, D управляют одной лампочкой следующим образом: лампочка горит, если нажато четное число кнопок. Постройте структуру на основе минимальной ДНФ булевой функции. В устрой- ство введите общее число контактов всей структуры.

9.(ГНИ)! Две группы кнопок А1, А2, А3, А4 и В1, В2, В3, В4 управляют одной лампочкой так, что лампочка за- горается всякий раз, когда набор значений аргументов

группы А равен набору значений аргументов группы В (схема равенства). Постройте контактную структуру на основе минимальной булевой функции (третьего поряд- ка). В устройство введите общее число контактов всей структуры и число нормально замкнутых контактов.

10. (ПО.СИ). В устройство четырьмя кнопками вводятся двоичные коды, где нажатой кнопке соответст- вует единица. Контактная структура включает лампочку всякий раз, когда вводимый код является простым числом. Коды 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 пода-

ваться на вход устройства не будут. Наберите минималь- ную ДНФ булевой функции, описывающей контактную структуру (функцию упростите с учетом неопределен- ных состояний).

1.Постройте контактную структуру, работающую следующим образом: лампочка горит только в том случае, если нажаты кнопки B и D, а кнопки А и С не нажаты. (218)! Найдите булеву функцию f =…, описыва- ющую состояние лампочки (лат.); определите число нормально замкнутых контактов.

2.Постройте контактную структуру на четырех кноп- ках A,B,C,D. Лампочка горит, если одновременно нажаты кнопки В и С, а кнопка А не нажата. (289). В устройство введите минимальную ДНФ булевой функции f =… (лат.)

ичисло нормально замкнутых контактов.

3.(УБО). Лампочка управляется четырьмя кнопками

A,B,C,D и горит на наборах 3,5,6,7,9,11,13,14,15. Для ми-

нимальной ДНФ постройте контактную структуру. В уст- ройство введите числа a, b, c, d, где a – число контактов

кнопки A, b – число контактов кнопки B, c – число кон- тактов кнопки С, d – число контактов кнопки D.

4.Три кнопки управляют лампочкой так, что если все кнопки не нажаты, то лампочка горит. При нажатии любой кнопки лампочка гаснет. Постройте минимальную контактную структуру. (ЭЙО)! Найдите число нормально разомкнутых и число нормально замкнутых контактов.

5.На основе минимальной ДНФ постройте контакт- ную структуру при условии, что лампочка, управляемая кнопками A,B,C,D, горит в двух случаях: когда нажаты все кнопки и когда не нажато ни одной кнопки. (УТМ)! Найдите число всех контактов и число нормально замкнутых контактов.

6.(ХНН)! Три кнопки управляют одной лампочкой. Эта лампочка загорается только в том случае, если нажаты точно две любые кнопки. Сколько всего кон-

2.5. Мостиковые структуры

При помощи булевых функций можно строить только последовательно-параллельные схемы. Однако кроме них существуют так называемые мостиковые структуры. Простейшим примером может служить схема, приведен- ная на рис. 24. Мостиковые структуры отличаются следу- ющими особенностями. Во-первых, непосредственно по

выражениям булевых функций их

нельзя, но для всякой

А

В

построить

мостиковой структуры можно найти

С

булеву функцию. (Для нахождения

Е

D

булевой

функции,

описывающей

мостиковую структуру,

Рис. 24

сложную

можно использовать

метод, изло-

женный в подразделе 2.3 «Теории графов» данного пособия.) Во-вторых, мостиковые структуры часто значи- тельно экономичнее соответствующих параллельно-по- следовательных схем. Например, схема (рис. 24) содер- жит пять контактов (букв), а минимальная ДНФ функции, описывающей работу этой схемы, содержит 10 букв:

f = A B + AC D + B CE + DE .

Даже путем повышения порядка функции уменьшить число букв удается только до восьми:

f = A (B + C D) + E (D + B C ).

То же самое относится и к конъюнктивным формам этой функции.

Как же строят мостиковые структуры? Существуют ли методы, позволяющие по булевой функции найти самую (абсолютно) экономичную структуру? Нет. До сих пор не

13

существует общего метода нахождения мостиковых

Если параллельно-последовательная схема построена

структур по заданной булевой функции, тем более – абсо-

на основе ДНФ симметрической функции S2(n), то

лютно экономичных. Однако для частных случаев разра-

мостиковая структура экономичнее параллельно-после-

ботано много различных способов и методов построения

довательной в k раз:

мостиковых структур, хотя и без гарантий того, что они

k = n

2

(n − 1) .

являются абсолютно экономичными. С некоторыми из

них можно ознакомиться по [26].

2(5n − 8)

По этой формуле видно, что с ростом числа перемен-

Упражнения

ных экономичность мостиковой структуры возрастает.

1.

Найдите минимальную ДНФ булевой функции по

Например, при n = 6 мостиковая структура экономичнее

мостиковой структуре (рис. 25). (ПП1). Определите число

параллельно-последовательной в 4,1 раза;

при n = 10 –

простых импликант и число вхождений аргументов

для

в 10,7 раз; при n =20 – в 41,3

раза и т. д.

минимальной ДНФ.

С увеличением а-числа до n/2 экономичность мости-

2.

По схеме,

приведенной на рис. 26, найдите мини-

ковой структуры также возрастает. Например, число N

мальную ДНФ. (ТАФ)! Определите число вхождений ар-

вхождений аргументов функции S3(n) равно:

гументов и число простых импликант для минимальной

N =

3

=

n2

(n − 1)(n − 2)

.

ДНФ. Найдите число вхождений аргументов для мини-

п

6

мальной КНФ.

D

Число M контактов, входящих в мостиковую структу-

А

А

E

ру, для той же функции S3(n)

равно:

D

В

А

А

B

C

E

M = 7n – 18.

B

E

А

С

При n = 6 мостиковая структура экономичнее парал-

C

А

D

D

лельно-последовательной в 5 раз; при n = 10 – в 23,1 раза;

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

при n = 20 – в 187 раз и т. д.

3. По рис. 27 найдите минимальную ДНФ. (У01). Оп-

Упражнения

ределите число вхождений аргументов.

1.

(ФОК). Сколько контактов потребуется для реали-

2.6. Симметрические структуры

зации симметрической функции S2(8) в виде мостиковой

структуры?

Симметрической называется контактная

структура,

2.

(136)! Сколько контактов необходимо для реали-

зации

функции S3(4)

в

классе параллельно-последова-

реализующая

симметрическую

булеву

функцию.

тельных схем (без повышения порядка)

и сколько – в

Известно,

что

симметрические

булевы

функции

с

мостиковой структуре?

одиночными a-числами

не

поддаются минимизации

в

3.

(ТУК). Мостиковая структура, реализующая функ-

смысле

Квайна

(см.

первую часть данного

пособия),

цию S2(n), имеет 32 контакта. Сколько контактов потре-

поэтому

контактные

структуры,

построенные

на

их

буется для реализации функции в классе параллельно-

основе,

являются чрезвычайно громоздкими.

Однако в

последовательных схем,

если порядок функции не по-

классе мостиковых схем существуют очень экономичные

вышать?

E

контактные структуры, реа-

С

D

F

4.

Требуется построить контактную структуру, реа-

лизующие любые симметри-

B

C

D

E

F

лизующую функцию вида

ческие булевы функции.

На-

f = S2(A, B, C, D, E, F) · S3(P,Q,R,S,T).

B

C

D

E

пример,

на рис.

28 показана

а) (987). Сколько контактов необходимо для реализа-

A

B

C

D

E

мостиковая схема, реализую-

ции этой функции с помощью мостиковой структуры?

щая симметрическую булеву

A

B

C

D

б) (У87). Сколько контактных элементов (например,

функцию вида

реле) потребуется для построения этой структуры?

Рис. 28

f = S2(A,B,C,D,E,F),

в) (ЗЕЛ). Сколько всего контактов потребуется, если

зависящую от шести аргументов.

Аналитическое пред-

по этой функции построить параллельно-последователь-

ставление этой функции

в минимальной ДНФ содержит

ную схему (порядок функции не повышать)?

15 конъюнкций по 6 переменных каждая, среди которых

г) (ЯС5). Сколько инверсных букв в схеме, представ-

две переменные представлены в неинверсной

(прямой)

ленной в виде мостиковой структуры?

форме, а все остальные являются инверсными.

Если по

5.

Определите число контактов для двух реализаций

такой функции построить контактную структуру (в клас-

нижеприведенных функций – сначала в классе параллель-

се параллельно-последовательных схем), то в ней окажет-

но-последовательных схем,

затем с помощью мостико-

ся 90

контактов, в то время как мостиковая структура

вых структур:

(рис. 28) содержит всего лишь 22 контакта.

а) (А79)! S0(A,B,C,D,);

в) (ВЕЮ)! S5(A,B,C,D,E);

Пусть n – число аргументов симметрической булевой

б) (АЯН)! S1(P,Q,R,S,T);

г) (ГЕО)! S5(A,B,C,D,E,F).

функции S2(n), представленной в ДНФ. Тогда число N

6.

(ИТП). Мостиковую

структуру,

реализующую

вхождений ее аргументов равно:

функцию S2(5), удлинили вдвое по числу аргументов.

n2 (n − 1)

2

=

Сколько контактов в новой структуре?

N = nCn

2

.

7. (280). В мостиковой структуре, реализующей

Если порядок функции не повышать, то для ее

симметрическую функцию S3(6), приняли

A = 1. При

реализации потребуется столько же контактов.

этом некоторые контакты перестали участвовать в работе

Число M контактов, входящих в мостиковую структу-

схемы и их можно удалить. Сколько контактов останется

ру, построенную по функции S2(n), равно (n ≥ 2):

в структуре после удаления всех неработающих кон-

M = 5n – 8.

тактов?

14

2.7. Полная симметрическая структура
				Шеннона
Шеннон (ударение на букву «е») Клод Эльвуд – аме-
риканский инженер и математик, специалист по матема-
тической теории информации, теории релейно-контакт-
ных схем, математической теории связи, кибернетике.
Полная симметрическая структура Шеннона – это
контактная сеть, имеющая общий полюс и n +1 выходных
полюсов, каждому из которых соответствует симметри-
ческая функция n аргументов с определенным а-числом.
На рис. 29 приведена полная структура для симметри-
ческих функций пяти аргументов. Структура имеет шесть
выходов. Если контактными элементами являются реле,
то выход S0(5) соединен с общим полюсом при выклю-
ченных всех пяти реле. Выход S1(5) соединяется с общим
полюсом, если включено любое одно реле. Выход S2(5)
соединяется с общим полюсом при двух включенных ре-
ле (любых) и так далее до выхода S5(5), который соеди-
няется с общим полюсом, когда включены все пять реле.
S5(5)							По схеме (рис. 29)
							видно, что симмет-
E
							рическая	структура
E	S4(5)
							Шеннона имеет од-
D	E
				Выходные			нородное строение,
D	E	S3(5)
				полюса			и ее можно нара-
C	D	E					щивать до любых
C	D	E	S2(5)				пределов. На осно-
B	C	D	E				ве полной структу-
B	C	D	E		S1(5)		ры построено мно-
A	B	C	D	E			го различных схем,
A	B	C	D		E	S0(5)	имеющих	большое
Общий полюс							практическое		зна-
		Рис. 29
							чение [26].
Упражнения
1.	Пусть номерами				выходов на		рис. 29	являются
а-числа: 0,		1,	2, 3,	4,	5.	Укажите номера		выходов,

соединенных с общим полюсом, если:

а) (281)	A = B = 1, C = D = E = 0;
б) (ВЛИ)	B = C = E = 1, A = D = 0;
в) (ШЕЛ) B = C = D = E = 1,		A = 0.
2. Сколько существует наборов значений аргументов
A,B,C,D,E, на которых с общим полюсом соединен выход:
(МОК) S2(5); (229) S3(5);		(839) S4(5); (ТВС) S5(5).

3.(АЯМ). Структуру, изображенную на рис. 29, рас- ширили на два контактных элемента F и K. Сколько всего контактов в расширенной структуре?

4.(289). Полная симметрическая структура содержит

380 контактов. Сколько в ней контактных элементов?

5.(ЯВЭ). При помощи основной симметрической

структуры реализовали функцию S1(5) + S4(5). Сколько контактов в получившейся схеме?

лампочки с переключателями и источником электричес- кой энергии [24; 26; 31; 33; 56]. Такую схему нередко называют структурой «чет-нечет».

В [26, с. 269–272] эта задача решена следующим обра- зом. В основной симметрической структуре соединили все выходы с четными а-числами. Затем схему упростили путем свертки, т. е. удалили лишние контакты. В резуль- тате получилась структура, приведенная на рис. 30.

А1

…

А2

А3

Аn -1

Аn

А2

А3

…

An -1

А1

А2

А3

Аn -1

Аn

А2

А3

Аn -1

Рис. 30 По схеме (рис. 30) видно, что, последовательно сое-

диняя ячейки, можно построить схему любой длины. Аналогичная схема получается в результате свертки

основной симметрической стркутуры, если объединить ее входы, соответствующие нечетным а-числам.

А1 А2	А3	А4	А5	А6	А7
						Н
220 В
	Рис. 31
На рис. 31 для	n = 7	представлена схема «чет», где в

качестве контактных элементов использованы двухпо- зиционные переключатели, иногда называемые тумбле- рами. Для построения схемы использовано 7 тумблеров, каждый из которых содержит по две переключательные группы контактов, за исключением первого и последнего, содержащих по одной переключательной группе. (Тум- блер – малогабаритный механический переключатель на 2 положения, иногда на 3. В переводе с английского tumble – опрокидываться [47].) В том состоянии тумб- леров, в каком они изображены на рис. 31, лампочка горит. Переведем какой-либо тумблер во второе положе- ние – лампочка погаснет. Включить ее можно любым тумблером, переведя его в противоположное состояние.

Упражнения

1. (ТТО). Пусть А1, А2, …, А7 – разряды двоичного числа на рис. 31. Сколько существует 7-значных чисел,

при которых лампочка горит?

2. (899). Укажите номера нижеприведенных двоич- ных чисел, при которых лампочка на рис. 31 горит, если А1, А2, …, А7 – разряды двоичного числа (все тумблеры

изображены в нулевом состоянии):
1) 1 0 0 1 1 0 1;	4) 1 1 1 0 1 1 1;	7) 1 0 0 1 0 0 0 ;
2) 0 0 1 0 1 0 1;	5) 0 1 0 1 1 1 0 ;	8) 1 1 1 0 0 0 1;
3) 0 0 0 0 1 1 1;	6) 0 0 1 0 0 0 0 ;	9) 1 1 0 0 0 0 1.

2.9.	Пример практического применения
2.8. Структура «чет-нечет»	структуры «чет-нечет»

Применение полной симметрической структуры про- иллюстрируем на примере следующей задачи. В комнате имеется n дверей, на потолке ее укреплена лампочка. Ря- дом с каждой дверью расположен двухпозиционный пе- реключатель. Любой входящий через какую-либо дверь включает лампочку (при помощи переключателя), если она не горит, и выключает ее, выходя через ту же или другую дверь. Требуется построить схему соединения

В многоэтажных жилых домах электрические лампы, освещающие лестничные площадки, бесполезно горят в течение всего темного времени суток (а иногда и светлого). Для жильцов это очень удобно, особенно при отсутствии лифта: в любой момент можно подняться на тот или иной этаж, пройти с одного этажа на другой. При этом хорошо видно номера квартир, нет риска оступиться

15

на ступеньках лестницы. Но это удобство обеспечивается

ре 10 горит одна лампочка (любая). На наборе 11 горят

за счет явного перерасхода электрической энергии.

обе лампочки, соединенные параллельно. По-строить

Наилучшим

представляет-

структуру согласно условиям ее работы.

ся

вариант, когда

освещение

1

A

B

6-й

1

2

3

1

2

3

включается только при необ-

2

3

Н1

Н2

Н1

Н2

U

Н1

этаж

ходимости, а в

течение всего

U

U

остального времени лампы не

5

6

Н2

горят.

В

связи

с этим задачу

4

A

4

5

6

4

5

6

A

B

5-й

сформулируем следующим об-

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

разом. В подъезде жилого дома

этаж

шесть этажей. На лестничной

В условии сказано, что имеется три объекта: источник

площадке каждого этажа име-

питания U и две лампочки Н1 и H2. Если эти три объекта

ется одна осветительная лампа.

никуда не подключены, то имеем шесть свободных выво-

4-й

Требуется установить на эта-

дов (рис. 33). Некоторые из них можно соединить зара-

этаж

жах по одному двухпозицион-

нее. Например, при параллельном включении лампочек

ному переключателю (тумбле-

должны быть соединены между собой выводы 2 и 3, а

ру) так, чтобы любым из них

также выводы 5 и 6. При последовательном соединении

3-й

можно было включить освеще-

одну из этих пар необходимо разомкнуть, вторая останет-

ние

на всех этажах одновре-

ся замкнутой. Поскольку одна пара

выводов

является

этаж

менно и любым выключить.

замкнутой в обоих случаях, то такое соединение можно

Схема

такого

управления

сделать заранее. Пусть это будут выводы 5 и 6. Анало-

освещением лестничных пло-

гично рассуждая, приходим к выводу, что заранее можно

2-й

щадок приведена на рис. 32. Ее

соединить и выводы 1 и 2. В результате получим рис. 34.

этаж

основу составляет схема «чет-

Все остальные соединения могут быть осуществлены

нечет». Пунктирными прямоу-

только при помощи контактов.

гольниками на схеме обозна-

Строим таблицу. В левой ее части записываем

1-й этаж

чены

лестничные

площадки.

наборы значений аргументов А и В (табл. 3). В правой

Внутри прямоугольников изо-

располагаем колонки f4 – 5 , f3 – 4 , f2 – 3 , где f4–5 – это функ-

бражены осветительные лампы

ция, описывающая структуру контактного двухполюс-

и переключатели, а также ука-

ника, соединяющего выводы 4 и 5 на рис. 34; f3 – 4 – функ-

220 В

заны номера этажей. Все лам-

ция, описывающая работу двухполюсника, соединяюще-

пы

соединены

параллельно,

го выводы 3 и 4; f2 – 4 – функция, описывающая двухпо-

Рис. 32

благодаря чему они либо все

люсник, соединяющий

выводы 2 и 3. Код 00 обозначает:

горят, либо все погашены.

обе лампочки не горят. Следовательно, в колонке f4 – 5 не-

На схеме переключатели изображены так, что лампы

обходимо поставить нуль. То же самое и в колонке f3 – 4 .

не горят. Допустим, что жильцу пятого этажа потребо-

В колонке f2 – 3 ставим крестик, обозначающий неопреде-

валось пройти на второй этаж. Он переводит свой пере-

ленное состояние, так как при

f4 – 5 = f3 – 4 = 0

обе лам-

ключатель в противоположное состояние – включается

почки не горят независимо от состояния цепи

f2 – 3 .

освещение на всех этажах. На втором этаже он таким же

Таблица 3

переключателем гасит все лампы.

3

Выход 1

По схеме видно, что она представляет собой после-

А В

f4 – 5

f3 – 4

f2 – 3

1

2

довательность одинаковых ячеек, поэтому может быть

0 0

0

0

×

U

использована в домах с любым числом этажей. Ячей-

0

1

0

1

0

4

Выход 1

ки соединяются между собой четырьмя проводниками.

1 0

1

×

0

5

6

Из них два проводника реализуют схему «чет-нечет», и

1

1

1

0

1

Рис. 36

два использованы для параллельного соединения освети-

тельных ламп.

Переходим к строке 01. Лампочки необходимо сое-

динить последовательно и подключить к источнику U.

2.10. Структуры с перестраиваемой схемой

Так как для этого достаточно соединить точки 3 и 4, то

в колонке

f3 – 4

ставим единицу, а в

двух

оставшихся

соединений

колонках записываем нули.

Суть задач,

рассматриваемых в

данном

подразделе,

Рассмотрим строку 10. Гореть должна одна лампочка,

для

чего достаточно соединить точки

4 и 5. В колонке

состоит в следующем. Дан некоторый набор элементов,

f4 – 5

записываем единицу. Выводы 2 и 3 необходимо ра-

из которых можно составить несколько различных про-

зомкнуть, следовательно, в колонке f2 – 3 ставим нуль. Вы-

нумерованных

схем.

Требуется

построить

контактную

воды 3 и 4 можно замкнуть, но можно и разомкнуть –

структуру так,

чтобы

путем

перевода контактных эле-

в обоих случаях лампочка Н2 гореть не будет. В колонке

ментов в то или иное состояние можно было получить

f3 – 4

записываем крестик.

схему с заданным номером. Все такие задачи решаются

Последняя строка соответствует случаю, когда обе

табличным методом. Поясним это на примерах.

лампочки

соединены

параллельно

и

подключены

к

Пример 1. Две лампочки управляются переключате-

источнику питания U. Для этого соединяем выводы 4 и 5,

	лями A и B следующим образом. На наборе значений ар-	а также 2 и 3, что обозначаем единицами в колонках f4 – 5
	гументов 00 обе лампочки не горят. На наборе 01 обе
		и f2 – 3	. В колонке f3 – 4 записываем нуль, поскольку выво-
	лампочки горят, но соединены последовательно. На набо-
		ды 3 и 4 должны быть разомкнутыми.

16

Находим минимальные формы полученных функций:

f4 – 5 = А;

f3 – 4 = АВ ;

f2 – 3 = АВ.

Вставив соответствующие контактные структуры между выводами 4 – 5, 3 – 4, 2 – 3, получим схему, ра- ботающую согласно заданным условиям (рис. 35).

Пример 2. На рис. 36 приведен выпрямительный мост, источник переменного тока U и две выходные клеммы «Выход 1» и «Выход 2». Контактные элементы А и В управляют схемой следующим образом. На наборе 00 мост отключен от источника U. На наборе 01 мост подключен к источнику U, и постоянное напряжение подается: ПЛЮС – на выход 1, МИНУС – на выход 2. На наборе 10 напряжение подается: ПЛЮС – на выход 2, МИНУС – на выход 1. Набор 11 является неисполь- зуемым. Построить схему согласно этим условиям.

Таблица 4

А

Выход 1

А В

f5 – 6

f1 – 3

f2 – 4

f1 – 4

f2 – 3

U

А

0 0

0

×

×

×

×

0 1

1

0

0

1

1

А

А

1 0

1

1

1

0

0

Выход 2

В

1 1

×

×

×

×

×

А

Рис. 37

Строим таблицу (табл. 4). По таблице находим булевы

функции, описывающие

работу схемы. После минимиза-

ции получаем:

f5 – 6 = А + В;

f1 – 3 = f2 – 4 = А;

f1 – 4 = f2 – 3 = А .

Найденные контактные структуры включаем между соответствующими точками схемы, изображенной на рис. 36. Окончательный вариант схемы, работающей со- гласно заданным условиям, приведен на рис. 37.

Упражнения

1. На схеме (рис. 38) при помощи контактов сое- дините точки 1, 2, 3, 4 так, чтобы обеспечивалось два варианта подключения резисторов к клеммам a и b: если А = 0, то к клеммам подключаются последовательно соединенные резисторы; если А = 1, то к выходам под- ключаются те же резисторы, но соединенные парал- лельно. (ККН)! Найдите выражения следующих функций:

			f1 – 3 = …; f2 – 3 = …; f2 – 4 = … .
		1		+	+	+	+	+
				U1	U2	U3	U4	U5
	R1	R2	А1	А1	А2 А2 А3	А3 А4	А4 А5	А5
	4	a
	2 3
		b				+
					Uвых
	Рис. 38				Рис. 39

2. На рис. 39 приведено пять источников ЭДС: U1, U2, U3, U4, U5, подключенных к выходным клеммам Uвых при помощи пяти контактных элементов – тумблеров А1, А2,

А3, А4, А5. При этом U1 = 48 В; U2 = 24 В; U3 = 12 В;

U4 = 6 В; U5 = 3 В. Пусть буквы А1, А2, А3, А4, А5 соответ- ствуют разрядам пятизначного двоичного числа, где А5 – младший разряд. Сколько вольт составит напряжение Uвых, если при помощи тумблеров установить число:

(СНО) 10011? (УПО) 11110? (ЮЖЕ) 00011?

(370) 00001? (КШИ) 00000?	(ИЯШ) 10010?
3. Пусть на рис. 39 U1 = 80 В;	U2 = 40 В; U3 = 20 В;

U4 = 10 В; U5 = 5 В. Какое двоичное число необходимо

установить при помощи тумблеров А1, А2, А3, А4, А5,

чтобы Uвых было равно:
(ОТС) 125 В?	(АКР) 45 В?	(ЛГИ) 95 В?
(ЕЖВ) 150 В?	(КЛТ) 60 В?	(АОХ) 15 В?

2.11. Примеры контактных структур

Булева алгебра и созданные на ее основе методы синтеза контактных структур обычно дают хорошие результаты, но далеко не во всех случаях. Нередко для того чтобы построить экономичную контактную струк- туру, от разработчика в гораздо большей степени тре- буется инженерная смекалка, чем знание формальных методов проектирования контактных схем.

Таблица 5					5		1		1
А В f1 – 5 f1 – 4 f2 – 4						4	С 3	А В
0 0		0	×	×				М 5	4	С	3
0 1		0	×	×			2				М
								220 В В
1 0		1	1	0	220 В					2
1	1	1	0	1
					Рис. 40				Рис. 41

Пример 1. Конденсаторный электрический двигатель М имеет три вывода: 1, 2, 3. На выводы 1 и 2 подается переменное напряжение (обычно 220 В). Вывод 3 под- ключается к выводу 1 через конденсатор. Двигатель при этом вращается, допустим, по часовой стрелке. Если вы- вод 3 присоединить через конденсатор к выводу 2, то двигатель будет вращаться в другую сторону. Требуется построить схему управления двигателем, используя два переключателя (тумблера) А и В, содержащие по одной переключательной группе контактов: если А = 0, то дви- гатель выключен; если А = 1, В = 0, то двигатель вра- щается по часовой стрелке; если А = В = 1, то двигатель вращается в другую сторону.

При наличии некоторого опыта эту задачу нетрудно решить и без применения булевой алгебры. Но в данном случае возможно применение табличного метода, рас- смотренного в предыдущем подразделе.

На рис. 40 показано, какие выводы можно соединить

постоянно. Введем обозначения: f1–5, f1– 4, f2– 4 – контакт- ные структуры, соединяющие выводы 1 и 5, 1 и 4, 2 и 4

соответственно. Условия работы схемы приведены в табл. 5. Состояния 00 и 01 тумблеров соответствуют случаю, когда двигатель выключен. Крестики обозначают безразличные состояния. Код 10 обозначает вращение двигателя по часовой стрелке, 11 – против часовой стрелки. По таблице находим:

f1–5 = A;	f1– 4 = В;	f2– 4 = B.
Схема, построенная	в соответствии с этими функция-

ми, приведена на рис. 41.

Пример 2. Дано: два тумблера, в каждом из которых содержится по две переключательные группы контактов (как на рис. 31); трансформатор, имеющий сетевую обмотку на 220 В и выходную обмотку на 30 В; нагрузка, например, осветительная лампа накаливания. Два тумбле- ра имеют четыре состояния 00, 01, 10, и 11. Требуется соединить перечисленные элементы так, чтобы к нагруз- ке можно было подключить 0 В; 190 В; 220 В; 250 В.

Эту задачу легко решить формальным путем (таб- личным методом) точно так же, как это показано в предыдущем примере. Однако, идя таким путем, мы будем получать решения, не укладывающиеся в заданные

17

условия по числу контактов. Подобные задачи больше

Обычный логический расчет приводит к схеме, в ко-

походят на головоломки, для решения которых требуется

торой для соединения объектов P и Q требуется три про-

некоторая изобретательность.

водника (рис. 45), что не удовлетворяет условию задачи.

Одно из правильных решений приведено на рис. 46. Суть

А

Н1

его в том, что переменное напряжение выпрямляется при

А

30 В

В

помощи диодного моста. Последовательно с лампочками

Н2

направлениях.

включены

диоды

в

противоположных

4

н

к

3

Rн

1

2

В

Тумблер В при переключении меняет полярность на-

Н3

н

к

пряжения, подаваемого на объект Q. При той полярности,

Звонок

как изображено на схеме, горит лампочка 1. Если принять

220 В

С

В = 1, то гореть будет только лампочка 2.

Рис. 42

Рис. 43

Эта схема, как и предыдущая, является головоломкой.

Однако булева алгебра здесь частично может быть при-

менена (при построении схемы контактных соединений),

Одно из возможных решений приведено на рис. 42.

если сначала догадаться использовать диоды.

В состоянии 00, т. е. когда

А = В = 0 (как изображено на

Пример 5. Два объекта P и Q соединены двумя про-

рис. 42), к нагрузке Rн подключено 220 В.

водниками. На объекте P расположены источник электри-

Пусть

В = 1,

тогда к нагрузке подключится сетевое

ческой энергии и два тумблера А и В. На объекте Q

напряжение 220 В и напряжение 30 В по цепи: точка 2

находятся две индикаторные лампочки. Если А = В = 0, то

нагрузки – н (начало сетевой обмотки) – к (конец сетевой

обе лампочки не горят. При А = 1, В = 0 горит первая

обмотки) – точка 3 – точка 4 – к (конец вторичной

лампочка, вторая не горит. При А = 0, В = 1 горит вторая

обмотки) – точка 1 нагрузки. По этой цепи видно, что к

лампочка, первая не горит. При А = В = 1 горят обе

нагрузке подключена разность сетевого напряжения и

лампочки. Построить схему согласно этим условиям.

напряжения вторичной обмотки, т. е. 190 В.

Булева алгебра здесь не поможет. Это задача на

Пусть теперь

А = 1, В = 0. К нагрузке подключена

смекалку. Решение ее приведено на рис. 47.

сумма

напряжений

сети

и вторичной

обмотки

транс-

Объект P

Объект Q

Таким образом, несмо-

форматора, равная 250 В, по цепи 2 – н – к – н – к – 4 – 1.

тря

на

существование

А

Если А = В = 1,

то напряжения на нагрузке нет.

хорошо

разработанной

теории контактных стру-

Пример 3.

Даны

три

кнопки, каждая из

которых

В

содержит один нормально разомкнутый контакт и один

ктур, во многих случаях

1

2

нормально

замкнутый;

три

осветительные

лампы

~

наилучшие решения обе-

спечивают не

формаль-

накаливания и электрический звонок (рис. 43). Требуется

ные

методы,

а

опыт,

соединить

их

так,

чтобы

при

нажатии

любой

кнопки

инженерная интуиция и

загоралась соответствующая лампа и звенел звонок. Если

Рис. 47

смекалка

разработчика.

какая-либо лампа перегорит, звонок звенит по-прежнему

с нажатием любой кнопки.

Упражнения

1.

(762). Укажите номера вопросов, на которые Вы

Для решения предыдущей задачи, в принципе, можно

использовать булеву алгебру, если снять ограничение на

ответите «да» (см. рис. 42).

число контактов. В данном же случае мы имеем дело с

1) к выходной обмотке трансформатора (обозначен-

чистой головоломкой и булева алгебра здесь не поможет.

ной «30 В») подключили индикаторную лампочку, заго-

Решение приведено на рис. 44. Схема имеет регуляр-

рающуюся при 30 В. Верно ли, что лампочка будет го-

ную структуру и может быть расширена до любого числа

реть, если напряжение на нагрузке равно нулю?

кнопок и соответствующих им осветительных ламп.

2) будет ли лампочка гореть, если А = В = 0?

Пример 4. Объекты

3)

протекает ли ток через нагрузку Rн при А = В = 1?

P и Q соединены двумя

4) верно ли, что на схеме имеются нормально замк-

Н1

Н2

Н3

проводниками. На объ-

нутые контакты, соединенные параллельно?

екте P расположены ис-

5)

верно ли, что если к нагрузке Rн приложено 220 В,

220 В

А

В

С

точник

электрической

то напряжение выходной обмотки равно нулю?

энергии и два тумблера

6) верно ли, что трансформатор остается включенным

А и В. На объекте Q

независимо от положения тумблеров?

Рис. 44

находятся

две

индика-

2.

(Р92). Укажите номера

вопросов, на которые Вы

торные лампочки. Если

ответите «да» (см. рис. 44).

А = 0,

то обе лампочки не горят.

Если А = 1, В = 0, то го-

1)

будет ли звонок звенеть при нажатии какой-либо

рит только первая лампочка. При А = В = 1 горит только

из кнопок, если все лампы перегорят ?

вторая. Построить схему согласно этим условиям.

2) верно ли, что при нажатии любых двух кнопок

1

А

В

соответствующие лампы соединятся параллельно?

В

3) будет ли звенеть звонок, если одновременно на-

В

В

1

2

жать две любые кнопки?

220 В

4)

верно ли, что при ненажатых кнопках ток через

2

А

P

Q

В

лампы не протекает?

5)

верно ли, что при нажатии кнопки

А ток проте-

220 В

В

P

Q

кает через все три лампы?

Рис. 45

Рис. 46

6) верно ли, что лампы горят одинаково ярко неза-

висимо от числа нажатых кнопок?

18

2.12. Контактные структуры с элементами памяти

До сих пор мы рассматривали контактные структуры, в которых элементы, моделирующие логические перемен- ные (кнопки, тумблеры, реле), устанавливались в то или иное состояние извне. Теперь рассмотрим несколько примеров, где комбинационные структуры управляют элементами памяти, в качестве которых будем исполь- зовать электромагнитные реле, причем эти реле сами

участвуют в работе тех или иных структур.
			Пример 1. Простейшей является
	А		схема, содержащая		одно реле А
			(рис.	48). В исходном состоянии
		f
			реле выключено, т. е. по его обмот-
А			Пуск ке,	обозначенной	прямоугольни-

U

ком, ток не протекает. При нажатии кнопки «Пуск» реле включается

	Стоп	(говорят: «срабатывает»), контакт А
Рис. 48		замыкается и ток протекает по двум
		параллельным цепям – через кон-

такт кнопки «Пуск» и через замкнувшийся контакт А. При отпускании кнопки «Пуск» реле останется во вклю- ченном состоянии (говорят: «реле встало на самобло- кировку»), и при повторном ее нажатии состояние схемы не меняется, в чем и заключается эффект запоминания. Чтобы реле выключить, надо нажать кнопку «Стоп».

По схеме видно, что структура, управляющая обмот- кой реле (точка f ), работает в соответствии с булевой функцией

f = (А + П) С ,

где П – кнопка «Пуск», С – кнопка «Стоп».

Схема, приведенная на рис. 48, нашла широчайшее применение в промышленности для включения различ- ных электротехнических объектов, таких как однофаз- ные и многофазные электродвигатели, трансформаторы, электромагниты, нагревательные элементы, мощные осветительные лампы и др.

Пример 2. Рассмотрим более сложную схему с само- блокировкой реле (рис. 49). На схеме пять реле, управ- ляемых контактными структурами вида

fi = Пi + Ai S1(A1, A2, A3, A4, A5),

где Пi – кнопка «Пуск», управляющая i-м реле (i = 1, 2, 3, 4, 5); S1(A1, A2, A3, A4, A5) – симметрическая булева функ- ция с а-числом, равным единице.

	А1	А2	А3	А4	А5
+	f1	f2	f3	f4	f5
U
А1	П1 А2	П2	А3 П3	А4 П4	А5 П5
				А5	S1(5)
	А2	А3	А4
А1	А2		А3	А4	А5
	А1	А2	А3	А4

Рис. 49

Схема работает следующим образом. После нажатия

кнопки, например П1, включится (сработает) реле А1 и встанет на самоблокировку, так как симметрическая

структура вида

S1(5) = S1(A1, A2, A3, A4, A5)

при А1 = 1 замкнута. Нажмем теперь другую кнопку, до- пустим, П3. Окажутся включенными два реле: А1 и А3. Но при А1 = А3 = 1 структура S1(5) разомкнута, вследствие чего реле А1 выключится, структура S1(5) замкнется и реле А3 встанет на самоблокировку. Таким образом, при нажатии i-й кнопки i-е реле включается, а ранее включен-

ное реле, номер которого не равен i, выключается. Пример 3. Рассмотрим схему простейшего реле вре-

мени, в котором, как и в предыдущих случаях, исполь- зуется самоблокировка (рис. 50). В исходном состоянии реле выключено, конденсатор заряжен до напряжения источника питания U. Нажмем кнопку «Пуск». Реле включится и контактом А встанет на самоблокировку, а

контактом А схема отключится от источника питания. Когда конденсатор разрядится, реле выключится, конден- сатор начнет заряжаться через резистор R, если к этому времени кнопка «Пуск» будет отпущена.

Выдержка, т. е. время, в течение которого реле вклю- чено, может достигать 10 – 15 с. Для больших выдержек данную схему использовать нецелесообразно, так как потребуется батарея конденсаторов слишком большой емкости.

		А
		А		А	В
		+	U	f1	f2
	R Пуск
	+	А		В	А
			Стоп
	U	+		Пуск 1	Пуск 2
		С		А	В
		Рис. 50		Рис. 51

Пример 4. В схемах управления реверсивными двига- телями используются два реле, две кнопки «Пуск» и одна кнопка «Стоп» (рис. 51). Если нажать кнопку «Пуск 1», двигатель начнет вращаться, допустим, по часовой стрел- ке. Если нажать кнопку «Пуск 2», двигатель будет вра- щаться против часовой стрелки (двигатель на рис. 51 не изображен). Главное требование к схеме заключается в том, чтобы исключить одновременное срабатывание обо- их реле (во избежание короткого замыкания в цепях электропитания двигателя). Это условие выполнится, если контактные структуры, управляющие обмотками реле, представить булевыми функциями вида:

f1 = В (А + П1) С ;

f2 = А (B + П2) С ,

где П1 – кнопка «Пуск 1», П2 – кнопка «Пуск 2», С – кнопка «Стоп». Если А = 1 (включено реле А под действи-

ем кнопки «Пуск 1»), то f2 = 0 и реле В включить невоз- можно. При С = 1 (нажата кнопка «Стоп») обе функции

равны нулю и реле А выключается. Теперь можно нажать кнопку «Пуск 2». Реле В включится и встанет на само-

блокировку. Так как В = 1, то f1 = 0 и реле А включить невозможно.

Таким образом, смена направления вращения дви- гателя осуществляется только через кнопку «Стоп», чем исключается одновременное включение обоих реле.

Однако если при выключенных реле кнопки П1 и П2 нажать одновременно, то на какое-то время оба реле все же, в принципе, могут включиться. Чтобы исключить и

это явление, можно использовать сложные кнопки П1 и П2, содержащие по одному нормально разомкнутому

С = 0;

19

контакту и по одному нормально замкнутому, а функции f1 и f2 представить в виде:

f1 = В (А + П1 ) С П2 ;

f2 = А (В + П2 ) С П1 .

Пример 5. На схеме простейшего кодового замка для сейфа (рис. 52) обозначено: А1, А2, …, А6 – тумблеры, расположенные на внутренней стороне двери сейфа; с их помощью устанавливается «правильный» код, являю-

щийся ключом для замка; В1, В2, …, В6 – кнопки, выве- денные на внешнюю сторону той же двери; с их

помощью вводится ключ, чтобы открыть дверь сейфа; А – реле, срабатывающее при вводе «правильного» кода. Кнопка «Пуск» нажимается после ввода ключа. При помощи этой кнопки подается питание на электромагнит, перемещающий ригель (задвижку) замка. В случае ввода «неправильного» кода реле А не включается и под дейст- вием кнопки «Пуск» сирена подает сигнал тревоги.

Тумблеры на внутренней стороне двери сейфа

Сброс

						f	+
А1	А2	А3	А4	А5	А6		U
					А	А
						К электромагниту
В1	В2	В3	В4	В5	В6	А	замка
					Пуск		Включение
Кнопки на внешней стороне двери сейфа
						А сирены

Рис. 52

Главной в схеме является структура, управляющая обмоткой реле А и описываемая функцией

f = (ϕ + А) С,

где С – кнопка «Сброс»; ϕ – функция, описывающая схе- му равенства двух двоичных чисел, одно из которых – ключ, второе – код, заданный при помощи тумблеров:

ϕ = ( А1В1 + А1В1)(А2В2 + А2 В2 ) &…& (А6 В6 + А6 В6 ).

В исходном состоянии (как изображено на рис. 52) имеем: f = 1. Это нерабочее состояние. При помощи тумблеров установим какой-либо ненулевой код, напри- мер 110010. Тогда

А1 = А2 = А5 = 1, А3 = А4 = А6 = 0

и функция f принимает вид

f = ( 1 2 3 4 5 6 + ) С,

По этой записи видно, что если одновременно нажать

три кнопки В1, В2 и В5 и не нажимать ни одной из других кнопок, то f = 1, при этом реле включается, становится на

самоблокировку и аргумент А принимает единичное зна- чение. Теперь под действием кнопки «Пуск» сейф откроется.

Схема, приведенная на рис. 52, управляется шестью кнопками. Если ключ неизвестен, то при однократной попытке, случайно нажимая кнопки, сейф можно открыть с вероятностью, равной 1/64 (если учитывать и нулевой код). Чтобы снизить эту вероятность, достаточно увели- чить число кнопок (и тумблеров). Например, при 20 кноп- ках вероятность случайного ввода «правильного» кода

равна 1/1048576. В общем же случае вероятность слу- чайно открыть сейф равна 1/2n, где n – число кнопок на

внешней стороне двери.

Пример 6. Три реле P, Q, R управляются тремя

кнопками П1 – «Пуск 1», П2 – «Пуск 2» и П3 – «Пуск 3». Если нажать одну из этих кнопок, то соответствующее

реле включается, но на самоблокировку не становится. Если же нажать одновременно любые две из пусковых кнопок, то соответствующие реле включаются и оба становятся на самоблокировку. При нажатии всех кнопок включаются все три реле и также становятся на само- блокировку. Выключаются реле кнопкой С – «Стоп». Построить схему, работающую согласно перечисленным условиям.

	P		Q		R
+	f1		f2		f3
U
P	P	P	Q	Q	P
Стоп	Пуск 1		Пуск 2		Пуск 3
Q	R	Q	R	R	R

Рис. 53

Решение приведено на рис. 53. Символами f1, f2, f3 обозначены функции, моделирующие контактные струк-

туры двухполюсников, управляющих работой реле:

f1 (С,П1,P,Q,R) = С (П1 + PQ + PR);

f2 (С,П2,P,Q,R) = С (П2 + PQ + QR);

f3 (С,П3,P,Q,R) = С (П3 + QR + PR),

где цепи самоблокировки представлены функциями

λ1 = С (PQ + PR);

λ2 = С (PQ + QR);

λ3 = С (QR + PR).

В исходном состоянии все переменные равны нулю. Если нажать кнопку «Пуск 1», то включится реле P. Тогда набор значений переменных примет вид:

С = 0; П1 = 1; П2 = 0, П3 = 0, P = 1, Q = 0, R = 0.

На этом наборе получим следующие значения

функций:
f1 = 1; f1 = 0;	f1 = 0;
λ1 = 0; λ2 = 0;	λ3 = 0.

Цепь самоблокировки не замкнется, так как λ1 = 0. Следовательно, после отпускания кнопки «Пуск 1» реле P

выключится.

Очевидно, что схема работает точно так же, если на- жать только одну из кнопок «Пуск 2» и «Пуск 3». В обо- их случаях цепи самоблокировки остаются разомк- нутыми.

Нажмем одновременно две первые кнопки. Включатся реле P и Q. Набор значений переменных примет вид:

П1 = 1; П2 = 1, П3 = 0, P = 1, Q = 1, R = 0.

Цепи самоблокировки первых двух реле замкнутся, так как на этом наборе λ1 = λ2 = 1. Следовательно, после отпускания кнопок реле P и Q останутся во включенном состоянии.

Если нажать одновременно первую и третью кнопки, то реле P и R встанут на самоблокировку, так как при

этом λ1 = λ3 = 1. То же самое относится и к реле P и R. На этом краткое знакомство с контактными струк-

турами закончим. При необходимости в существующей литературе можно найти подробности по любому во- просу, связанному с синтезом релейных схем, их приме- нением и перспективами развития.