k_r_№2

U& cd = U& ′cdK = 23,5ej90o В, U& bc = U& ′bcK = 65,8e− j45o В, U& ab = U& ′abK = 32,9ej45o В.

Построенная в такой последовательности диаграмма напряжений является топографической.

Содержание контрольной работы №2

При выполнении контрольной работы необходимо:

1.Расшифровать задание. Листок с заданием вклеить в контрольную работу.

2.Рассчитать любым известным методом токи во всех ветвях заданной цепи.

Результаты расчетов представить в виде комплексов действующих значений и в виде мгновенных значений токов.

3.Составить баланс мощностей для заданной цепи.

4.Определить показания ваттметра, включенного в заданную цепь.

5.По результатам расчетов построить векторную диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую векторную диаграмму напряжений.

6.Полагая наличие индуктивной связи между любыми двумя индуктивностями, записать для заданной цепи уравнения по законам Кирхгофа.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример выполнения варианта контрольной работы №2

Каждый студент получает задание, вариант которого приведен ниже:

Шифр студента			00401 - 30			Источник ЭДС		Источник тока
Номер	Начало	сопротивления
ветви	- конец	R		XL	XC	модуль	аргумент	модуль	аргумент
1	5-3	25		45	0	200	60	0	0
2	3-4	0		40	0	0	0	0	0
3	4-2	55		0	45	0	0	0	0
4	2-6	0		25	45	0	0	0	0
5	6-1	60		0	0	0	0	0	0
6	1-5	50		0	0	0	0	0	0
7	5-4	50		0	55	0	0	0	0
8	4-6	0		60	34	0	0	0	0

Токовая обмотка ваттметра включена в цепь 2. Зажим I * - к узлу 3, U * - к узлу 3, U - к узлу 2. За нулевой потенциал принять потенциал узла №3.

1. Расшифровку задания производим следующим образом. Изобразим в произвольном порядке шесть точек и пронумеруем их цифрами от 1 до 6. Соединив точки в соответствии с колонкой "начало-конец" задания, получим граф цепи (рис.2.8).

Перерисуем полученный граф таким образом, чтобы исключить пересечения ветвей (рис.2.9).

На рис.2.9 цифрами в кружках обозначены точки цепи, определенные заданием, а цифрами без кружков ~ номера ветвей цепи в соответствии с колонкой "номер ветви" задания. Точки 4,5,6 являются узлами цепи.

В каждую ветвь последовательно включаются активные сопротивления, индуктивности, емкости и источники ЭДС в соответствии с исходными данными. Каждому элементу цепи присваивается индекс в соответствии с

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

номером ветви, в которой он находится. Направление включения источника ЭДС определяется по колонке "начало - конец" задания.

Схема электрической цепи, полученная для рассматриваемого варианта задания, изображена на рис.2.10.

Запишем параметры элементов цепи для приведенной схемы

r1 = 25 Ом, XL1 = 45 Ом, XL2 = 40 Ом, r3 = 55 Ом, XC3 = 45 Ом, XL4 = 25 Ом, XC4 = 45 Ом, r5 = 60 Ом, r6 = 50 Ом, r7 = 50 Ом, XC7 = 55 Ом, XL8 = 60 Ом,

XC8 = 34 Ом, E. 1 = 200ej600 В.

2. Расчет цепи с одним источником ЭДС целесообразно проводить методом преобразования. Обозначим направления токов в ветвях заданной цепи

(см.рис.2.10).

Запишем комплексные сопротивления каждой из ветвей:

Z1 = r1 + jXL1 = 25 + j45 Ом, Z2 = jXL2 = j40 Ом, Z3 = r3 − jXC3 = 55 − j45 Ом, Z4 = jXL4 = −jXC4 = j25 − j45 Ом, Z5 = r5 = 60 Ом, Z6 = r6 = 50 Ом,

Z7 = r7 − jXC7 = 50 − j55 Ом, Z8 = jXL8 − jXC8 = j60 − j34 Ом.

Преобразуем заданную цепь. Сопротивление Z9 между узлами 4 и 6 цепи

определится как сопротивление двух параллельных ветвей: ветви с сопротивлением Z8 в и ветви образованной последовательным соединением Z3

и Z4 .

	Z9 =	(Z3 + Z4 )Z8	=	(55 − j45 + j25 − j45)(j60 − j34)	= 8,179 + j31,799 Ом.
		Z3 + Z4 + Z8		55 − j45 + j25 − j45 + j60 − j34

Сопротивление Z10 образовано последовательным соединением Z9 , Z5 и Z6 .

Z10 = Z9 + Z5 + Z6 = 8,179 + j31,799 + 60 + 50 =118,179 + j31,799 Ом.

Сопротивление Z11 определяется как параллельное соединение сопротивлений

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Z10 и Z7 :
Z =	Z10Z7		=	(118,179 + j31,799)(50 − j55)	= 48,636 - j22,485 Ом.
11	Z10	+ Z7		118,179 + j31,799 + 50 - j55

Эквивалентное сопротивление Z0 пассивной части цепи относительно источника ЭДС находим как последовательное соединение Z1, Z2 и Z11:

Z0 = Z1 + Z2 + Z11 = 25 + j45 + j40 + 48.636 − j22,485 = 73,636 + + j62,515 = 96,594ej40,3360 Ом.

Определим токи во всех ветвях заданной цепи. Так как в цепи имеется только один источник ЭДС, то токи в ветвях направим в сторону уменьшения потенциалов.

Комплекс тока в первой и второй ветвях определим как отношение ЭДС к эквивалентному сопротивлению:

				&		200e	j600		j19,6520
&	&			E
I1	= I	2	=	Z0	=	96,594ej40,3360		= 2,071e		А.

Комплекс тока в пятой и шестой ветвях определится выражением

&	&	&				Z7		j19,6520		50 − j55
I5	= I6	= I1	×	Z	7	+ Z	= 2,071e		×	50 - j55 +18,179 + j31,799	=
						10

= 0,907e− j20,2250 А.

Комплекс тока в седьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 5:

&I7 = &I1 - &I5 = 2,071ej19,6520 - 0,907e− j20,2250 =1,493ej42,5710 А.

Находим комплекс тока в третьей и четвертой ветвях:

&

&

&

Z8

− j20,2250

j60 − j34

I3

= I4

= I

5

×

Z8

+ Z3

= 0,907e

×

j60 - j34 + 55 - j45 + j25 - j45

=

+ Z4

= 0,35ej105,1380 А.

Комплекс тока в восьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 6:

&I8 = &I5 - &I3 = 0,907e− j20,2250 - 0,35ej105,1380 =1,145e− j34,6070 А.

По найденным комплексам действующих значений токов запишем их мгновенные значения:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

i	= i		=						× 2,071sin(v × t +19,6520 ) А;
		2				2
1
i3	= i4		=							× 0,035sin(v × t +105,1380 ) А;
								2
i5	= i6		=							× 0,907sin(v × t - 20,2250 ) А;
								2
	i7	=					×1,493sin(v × t + 42,5710 ) А;
					2
	i8	=				×1,145sin(v × t - 34,6070 ) А;
					2

3. Определим комплексную мощность, отдаваемую источником ЭДС:

	~	&	*		j600		− j19,6520
			× I1	= 200e		× 2,071e		= 315,724 + j268,05 В.
	S = E1

Таким образом, активная мощность, отдаваемая источником ЭДС, равна

PE = 315,724 Вт,

а реактивная мощность

QE = 268,05 Вар.

Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях цепи: Pпотр = I12 × r1 + I32 × r3 + I52 × (r5 + r6 ) + I72 × r7 = 2,0712 × 25 + 0,352 × 55 + + 0,9072 × (60 + 50) +1,4932 × 50 = 315,682 Вт.

Реактивная мощность нагрузки определится выражением

Qnp = I12 × (XL1 + XL2 ) + I32 × (-XC + XL4 - XC4 ) + I72 × (-XC7 ) +

+I82 × (XL8 - XC8 ) = 2,0712 × (45 + 40) + 0,352 × (-45 + 25 - 45) +

+1,4932 × (-55) +1,1452 × (60 - 34) = 268,006 Вар.

Таким образом, активные и реактивные мощности и цепи с высокой степенью точности оказываются равными между собой.

4. Для нахождения показания ваттметра, включенного в цепь в соответствии с вариантом задания, необходимо определить напряжение на зажимах U ваттметра. При этом первый индекс у напряжения соответствует узлу, к

которому подключен зажим U* , а второй индекс - узлу, к которому подключен зажим U .

В рассматриваемом примере

U& 32 = &I1 × jXL2 + &I3 (r3 - jXC3 ) = 2,071ej19,6520 × j40 + 0,35ej105,1380 × (55 - j45) = =102,202ej99,9810 В.

Необходимо также знать величину тока, протекающего через токовую обмотку ваттметра. При этом за положительное направление тока принимается ток,

втекающий в зажим I* ваттметра. В нашем примере это ток &I1.

Тогда показание ваттметра определится выражением Pw = U32 × I1 × cosϕ , где

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ϕ = ϕU32 − ϕI1 - разность фаз между напряжением на зажимах ваттметра и протекающим через прибор током.

Pw =102,202 × 2,071× cos(99,981o -19,652o ) = 35,615Вт.

5. Векторы всех найденных токов, отложенные из начала координат комплексной плоскости, представляют собой векторную диаграмму токов. Для

удобства построения найденные комплексные значения токов целесообразно представить в алгебраической форме:

&I1 =1,95 + j0,697 А; &I3 = -0,091+ j0,337 А; &I5 = 0,851- j0,313 А; &I7 =1,099 + j1,01А; &I8 = 0,942 - j0,65 А.

Анализ приведенных значений показывает, что для тока удобно выбрать масштаб mi = 0,2 A / дел.

Характерной особенностью топографической векторной диаграммы напряжений является то, что на ней комплексные потенциалы отдельных точек цепи откладываются по отношению к одной точке, потенциал которой принимается равным нулю. При этом порядок расположения векторов

напряжения на диаграмме соответствует порядку расположения элементов цепи на схеме и каждой точке электрической цепи соответствует определенная точка на диаграмме.

На схеме электрической цепи (см. рис.2.10) определены заданием точки 1 - 6. остальные точки обозначим числами 7-12.

По условию задачи нулевой потенциал имеет точка 3

.

ϕ3 = 0.

Определим потенциалы остальных точек:

ϕ&4 = ϕ&3 - &I1 × jXL2 = 0 - (1,95 + j0,697) × j40 = 27,877 - j77,988 В;

ϕ&7 = ϕ&4 - &I7 × r7 = 27,877 - j77,988 - (1,099 + j1,01) × 50 = -27,07 - j128,487 В;

ϕ&5 = ϕ&7 - &I7 × (-jXC7 ) = -27,07 - j128,487 - (1,099 + j1,01) × (-j55) = = -82,619 - j68,045 В;

ϕ&8 = ϕ&5 - &I1 × r1 = -82,619 - j68,045 - (1,95 + j0,697) × 25 = -131,362 - j85,468 В; ϕ&9 = ϕ&8 - &I1 × jXL1 = -131,362 - j85,468 - (1,95 + j0,697) × j45 = -100 - j173,205 В.

Мы вычислили потенциалы точек одного из контуров заданной цепи. Между точками 3 и 9 этого контура включен источник ЭДС. Вычислим напряжение

U& 39 = ϕ&3 - ϕ&9 = 0 +100 + j173,205 = 200ej600 В.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

.

Напряжение U 39 оказалось равным заданному напряжению на зажимах источника ЭДС. Это подтверждает правильность выполненных расчетов по определению потенциалов, Найдем потенциалы остальных точек:

j&10 = j& 4 − &I1 × r3 = 27,877 - j77,988 - (-0,091+ j0,337) × 55 = 32,898 - j96,548 B; j& 2 = j&10 − &I3 × (-jXC3 ) = 32,898 - j96,548 - (-0,091+ j0,337) × (-j45) =

=17,713 - j100,656 В;

j&11 = j& 2 − &I3 × (-jXL4 ) =17,713 - j100,656 - (-0,091+ j0,337) × j25 = = 26,149 - j98,37 В;

j& 6 = j&11 − &I3 × (-jXC4 ) = 26,149 - j98,373 - (-0,091+ j0,337) × (-j45) = =10,964 - j102,81В;

j&1 = j& 6 − &I5 × r5 =10,964 - j102,481- (0,851- j0,313) × 60 = -40,081- j83,689 В; j& 5 = j&1 − &I5 × r6 = -40,081- j83,698 - (0,851- j0313) × 50 = -82,619 - j68,0 В;.

.

Сравним значение ϕ5 с полученным выше потенциалом точки 5. Они оказываются равными.

ϕ&12 = ϕ&4 − &I8 × (-jXC8 ) = 27,877 - j77,988 - (0,942 - j0,65) × (-j34) = = 49,944 - j45,959 В;

ϕ&6 = ϕ&12 - &I8 × (jXL8 ) = 49,944 - j45,959 - (0,942 - j0,65) × j60 = =10,964 - j102,481 В.

Потенциал ϕ&6 совпадает с полученным ранее значением.

По вычисленным значениям потенциалов выбираем масштаб по напряжению mu на комплексной плоскости таким образом, чтобы векторы токов и

напряжением были соизмеримы. Принимаем mu = 20 В/ дел. Диаграмма,

построенная по полученным численным значениям токов и напряжений, приведена на рис.2.11.

6. Полагаем, что существует индуктивная связь между индуктивностями L4 и L8 . Наличие индуктивной связи обозначим на рис.2.10 двухсторонней

стрелкой, возле которой указывается взаимная индуктивность М. Одноименные

зажимы индуктивно связанных катушек обозначены на этом же рисунке точками. Так как токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково, то имеет место согласное включение индуктивностей.

Определим число уравнений, необходимое для описания цепи по законам Кирхгофа. Неизвестных токов в цепи - пять. Число узлов в цепи – три. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать два уравнения. Остальные три уравнения запишем по второму закону Кирхгофа,

Для мгновенных значений токов и напряжений уравнения будут иметь вид

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

i1 = i3 + i7 + i8; i5 = i3 + i8;

di1

di1

1

òi7 dt

r1i1 +

L1

+

L

2

+ r7i7 +

= e1;

dt

dt

C7

1

òi7 dt + r3i3 +

1

òi3dt + L

di3

di8

1

òi3dt = 0;

r5i5 + r6i5 − r7i7 −

4

+ M

+

C7

C3

dt

dt

C4

1

òi3dt

di3

di8

1

òi3dt − L8

di8

di3

1

òi8dt = 0.

r3i3 +

+

L4

+ M

+

− M

−

C3

dt

dt

C4

dt

dt

C8

Запишем эти же уравнения в комплексной форме :

&I1 = &I3 + &I7 + &I8; &I5 = &I3 + &I8;

r1&I1 + jϖL1&I1 + jϖL2&I1 + r7&I7 − jϖC1 7 &I7 = E. 1;

r5&I5 + r6&I6 − r7&I7 + jϖC1 7 &I7 + r3&I3 − jϖC1 3 &I3 + jϖL4&I3 + jϖM&I8 − ϖC1 4 &I3 = 0; r3&I3 − jϖC1 3 &I3 + jϖL4&I3 + jϖM&I8 − jϖC1 4 &I3 − jϖL8&I8 − jϖM&I3 + jϖC1 8 &I8 = 0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com